《常微分方程》练习题库参考答案

江苏师范大学数学教育专业 常微分方程练习测试题库参考答案 一、 判断说明题 1、在线性齐次方程通解公式中 C 是任意常数而在常数变易法中 C（ x）是 x 的可微函数。将任意常数 C 变成可微函数 C（ x），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。 2、因 p(x)连续， y(x)= xp(x) )在 p(x)连续的区间有意义，而 xp(x) ) 0。如果 0，推出 y(x)=0,如果 y(x) 0,故零解 y(x)=0 唯一。 3、 （ 1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数， f,g 为已知函数， y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。 （ 2） 它是常微分方程，理由同上。 （ 3） 它不是常 微分方程，因 y 是未知函数， y(y(y(x)也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。 4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 5、 把 微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 6、 y f(x,y)主要特征是 f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有 x,另一因式仅含 y，而方程 p(x,y)dx+q(x,y) 是可分离变量方程的主要特征，就像 f(x,y)一样， p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。 7、二元函数 f(x,y)满足 f(rx,rm f(x,y),r.0,则称 f(x,y)为 m 次齐次函数。 m=0 则称它为 0次齐次函数。 8、如果 f(x,y)是 0 次齐次函数，则 y f(x,y)称为齐次方程。 如果 p(x,y)和 q(x,y)同为 m 次齐次函数，则 为齐次方程。 如果 q 0 则y)q(x, y)p(x, f(x,y)，由 p,q 为 m 次齐次函数推知 f(x,y)为 0 次齐次函数故y f(x,y)为齐次方程。 9、 求解齐次方程经常用变换 y=z 10 、二、 计算题 1、方程变形为 642 yx 的分子，分母两条直线交点为（ 1,2） 作变换21于是得到 vu 42 ，它已经是齐次方程。 2、令 z=x+y+1,则1是+f(z), 只要 f(z) 0,可分离变量得 x= )(1 3、 p(x)=线性齐方程初值问题解公式即得 y=4、用线性方程通解公式： y= (C+ (C+2)=2+ 5、公式求得方程通解 y(x)=x) (C+ x2 x) 2x)x)(c+31 利用初始条件代入上式 y(0)=0=C,故 y=31x) 6、 x 看作自变量， y 看成函数，则它是非线性方程，经变形为 x+y 以 x 为未知函数 ,y 是自变量，它是线性方程，则通积分为 x=(c+ ) =y)、 解：将方程变形为 x2 y2 1 2当 0,y 1 时积分得 22x y+y +x1=c 8、 解： 这是齐次方程。令 y=方程化为 321uudu= 221z ln|z|=ln|用 z=y=22 y=0 也是原方程的解。 9、解： . 方程右边分子，分母两条直线交点为（ =()作变换 u=x+2,v=方程化为 vu 22，此为齐次方程，令 v=简单计算得122 z 分得33)1(1uz z C 原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3 +3 10、解 当 0y 时，分离变量得 等式两端积分得 1 即通解为 21 11、解 齐次方程的通解为 e 令非齐次方程的特解为 e)( 代入原方程，确定出 x 5原方程的通解为 e + 由于 2，所以原方程是全微分方程 取 )0,0(),(00 方程的通积分为 10 30 23 即 4224 2 13、解 令 ，则原方程的参数形式为 （ 2 分） 由基本关系式 t d)e1( 积分有 t )1( 得原方程参数形式通解 (解 原方程为恰当导数方程，可改写为 0)( 即 1 分离变量得 积分得通积分 21221 15、 解 方程的特征根为 01 ， 52 齐次方程的通解为 21 e 因为 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 c i n)(1 代入原方程，比较系数得 0252512525确定出 501A， 501 )5s i c o 21 x 16、解 特征方程为 01411 即 0322 特征根为 31 ， 12 31 对应特征向量应满足 00314 131 11 21112 对应的特征向量为 2122方程组的通解为 程右边分子，分母两条直线交点为（ =()作变换 u=x+2,v=方程化为 vu 22，此为齐次方程，令 v=简单计算得122 z 分得33)1(1uz z C 原方程通积分为 y=x+c(x+y+1)3 +3 18、解：（！）此为贝努利方程。令 z= y 得x,它是线性方程。 此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解 y=变换 y=贝努利方 程z +2z=再将方程 给两种解法。 （ 2）此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解 y=变换 y=贝努利方程z +2z=再将方程 给两种解法。 19、 20、 21、 22、 23、 24、 三、 证明题 1、 证明：设有两个解 y1(x),x),则 y1 (x)+p(x) y1(x) 0, y2 (x)+p(x) x) 0,则 （ y1(x) x)） y(x)( y1(x)+x)=( y1 (x)+p(x) y1(x)+ y2 (x)+p(x) x) 0 表明 y1(x) x)仍是解。 2、 证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 又由已知条件，知0方程的一个解。 假如方程的非常数解 )(对有限值0 ，那么由已知条件，该解在点 ),(00 左侧）延展这样，过点 ),(00 )( 这与解的唯一性矛盾，因此0 3、 证明 如果 )(1 和 )(2 是二阶线性齐次方程 0)()( 的解，那么由刘维尔公式有 x0 d)(0 e)()( x 现在， 0)( 有 x t )(e)()( 0、 5、 补充题库 1 答案： 18 19 20 27 28 37 38 44 45 49 50 56 57 62 63 68 69 71 72 81 82 87 88 92 93 94 95 97 98 100 101 105 106 113 114 122 123 132 133 138 139 143 144 145 146 150 151 156 2 157 162 163 164 16