4多服务台的情形[m_m_c]

4. 多服务台的情形多服务台的情形 M/M/C4.1 标准的标准的 M/M/C模型模型即：即： M/M/C: /FCFS标准的 M/M/C模型与标准的 M/M/1模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即 1= 2= 3= c= ， 整个服务机构的平均服务率为： c(nc 时 ) 或 n(n=c时，为 c ， 故可得差分方程：2文库专用利用递推法解该差分方程可求得状态概率为：(1 n=c)这里： ， 1(nc), (nc)3文库专用系统的运行指标为：4文库专用例 4. 某售票所有三个窗口，一个队列形成 M/M/C系统。顾客到达服从泊松流 =0.9人 /M， 服务时间服从负指数分布， =0.4人 /M， 求：(1) 空闲的概率 ; (2) 平均队长 Ls， Lq; (3) 平均等待时间和逗留时间 W q,W s;(4)顾客到达后必须等待的概率 .解 : (1)5文库专用(2)(3)6文库专用(4)为计算简化，现专门根据 =/c 值和 c值编制了 Wq 数值表可供使用，其结构为：顾客到达后必须等待的概率7文库专用例如上题中可查表得：=0.75,c=3,W g=0.7568文库专用4.2 M/M/C 型系统和型系统和 C个个 M/M/1型系统的比较型系统的比较上面说的是 M/M/C型系统，系统中只有一个队列，若系统 c个服务台前各有一个队列，则是 c个M/M/1系统的迭加（见下面图示），虽然这两种系统看上去相似，但其运行指标却有很大差别。9文库专用现仍以上面的例 4进行分析。如果除排队方式外，其它条件不变，顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队后坚持不换，这就形成了上面的队列，每个队列的平均到达率为 1= 2= c=/c=0.9/3= 0.3 人 /M.这样，原来的系统就变成了 =0.3 人 /M的 3个 M/M/1型子系统，且相互独立。按M/M/1求解并与上面的比较得：从上表可知， M/M/C系统明显比 C个 M/M/1系统的指标优。 10文库专用4.3 系统容量有限制的情形系统容量有限制的情形（ M/M/C/N/ ）设系统的容量最大限制为 N(C ） ,当系统中顾客数 n已达到 N（ 即队列中的顾客数已达 N-C） 时，再来的顾客将被拒绝，其他条件与标准的 M/M/C型相同。此时的状态概率为：11文库专用其中：运行指标为：12文库专用4.4 顾客源为有限的情况顾客源为有限的情况（ M/M/C/M）设顾客源为有限 m,且 mc， 顾客到达率是按每个顾客考虑的。在机器维修模型中就是有 m台机器， C个修理工，机器故障率就是每个机器单位运转时间出故障的期望次数，系统中顾客数 n就是出故障的机器台数。当 nC 时，无排队，有 c-n个修理工空闲 ；当 c=0即 x是服从均值为 1的负指数分布。 Ey=E1+x=2,Vary=Var1+x=Varx=1根据 P-K公式：19文库专用人20文库专用定长服务时间 M/D/1模型 服务时间是确定的常数，例如在一条装配线上完成一件工作的时间是常数。自动的汽车冲洗台，冲洗一辆汽车的时间也是常数，这时 :T=1/， VarT=021文库专用例 6 某实验室有一台自动检验机器性能的仪器，要求检机器的顾客按普阿松分布到达，每小时平均 4个顾客，检验每台机器所需时间为 6分钟。(1) 在检验室内机器台数 Ls（期望值）(2) 等候检验的机器台数 Lq(3)每台机器在室内消耗时间 Ws(4)每台机器平均等待检验的时间 Wq =4 E(T)=1/10 =4/1022文库专用5.3 爱尔朗服务时间爱尔朗服务时间 M/Ek/1模型模型如图示，若顾客必须经过 k个服务站，在每个服务站的服务时间 Ti相互独立，并服从相同的负指数分布（参数为 k ）， 那么 服从 k阶爱尔朗分布。23文库专用则 M/Ek/1模型的运行指标为：24文库专用例 7 某单人裁缝店做西服 ,每套需经过 4个不同的工序 ,4个工序完成后才开始做另一套 .每一工序的时间服从普阿松分布 ,期望值为 2小时 .顾客到达服从普阿松分布 ,平均订货率为 5.5套 /周 (设一周为 6天 ,每天 8小时 ).问一顾客为等到做好一套西服的期望时间为多长？=5.5套 /周设 为平均服务率（单位时间做完的套数）1/为平均每套所需要的时间1/4为平均每工序所需要的时间=1/8套 /小时 =6套 /周解=5.5/6 = 7.218825文库专用6 经济分析经济分析 排队系统优化排队系统优化排队系统优化问题分为两类：系统设计和系统控制优化。前者称为静态问题，研究如何使设备达到最大效益或机构最为经济。后者称为动态问题，研究如何运营可使某个目标达到最优，该问题是多年来的研究重点之一。因涉及更多的数学知识，本节我们只讨论静态问题。从静态考虑，排队系统主要涉及两项费用：等待损失费用和服务费用。服务费容易确切计算，而等待费不易确定。它们之间的关系如下图示：26文库专用研究这类问题，对离散变量常用边际分析法，对连续变量常用经典的微分法。也可用 NLP及 DP.图中的服务水平主要是平均服务率 ， 其他是服务设备（台数 c） 及队列限制 N等也可以通过服务强度 表示。服务水平费用27文库专用6.1 M/M/1 模型中的最优服务率模型中的最优服务率 1、 标准的标准的 M/M/1 Model设： Cs为在 =1时服务机构的单位时间费用，Cw为每个顾客在系统停留单位时间的费用。则总单位时间成本 z为 :28文库专用2、系统容量为、系统容量为 N的情形的情形该系统中顾客到达后在系统中超过 N个时，将被拒绝 ,拒绝 概率为 PN, 则