概率论与数理统计知识要点

1概率论与数理统计知识要点1、一定条件下必然发生为确定现象。在个别试验中结果不确定，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象，称为随机现象。2、随机试验特点：1)可以在相同条件下重复进行。2)每次试验的结果可能不至一个，并且能事先明确试验的所有结果。3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3、随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S(Sample)。E 的每个结果称为样本点。4、样本空间 S 是其自身的子集，每次试验中总是发生，称为必然事件。 为样本空间的子集，但其为不可能事件。5、概率论中， “事件发生”：设 E 的样本空间为 S，A、B、Ak 为 S 的子集。1)若 A 包含于 B，即指 A 发生必然导致 B 的发生。若 A 包含于 B，B 包含于 A，即A=B，称事件 A 与事件 B 相等。2)事件 AB 为二者的和事件，当且仅当二者之一发生时，事件发生。类似的， 为 n 个事件的和事nk1件，其为可列个事件的和事件。3)事件 AB 为二者的积事件，当且仅当二者同时发生时，事件 AB 发生。其积事件也记为 AB。4)事件 A 与 B 的差事件为 A-B,属于 A 且不属于 B。当且仅当 A 发生 B 不发生时，事件 A-B 发生。5)若，则称二者互不相容或互斥，6)AB=S 且 AB=，则 A 与 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为对立事件。6、事件运算满足：交换律：结合律：分配率：德摩根率：7、频率：相同条件下进行 n 次实验，则事件 A 发生的次数 nA 为事2件 A 的频数，nA/n 为 A 的频率，即(记)fn(A)=nA/n。频率具有如下基本性质：1。0fn(A)1； 2。fn(S)=1；3。若 A1 到 AK 是两两互不相容事件，则8、概率：E 是随机试验，S 为其样本空间。对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，即(记)事件 A 的概率 P(A)。1。非负性：对于每一个事件 A，有 P(A)0； 2。规范性：对于必然事件 S，有 P(S)=0；3。可列可加性：设下列两两互不相容，即对于 AiAj=，i 不等于j，有：概率性质：性质 1 P()=0；性质 2 (有限可加性)若 A1 到 An 是两两互不相容事件，则有性质 3 设 A、B 是两个事件，若 A 包含于B，则 性质 4 对任一事件 A，P(A)1；性质 5(逆事件的概率) 对任一事件 A，；1)(AP性质 6(加法公式)对任意两事件 AB，有9、等可能概型(古典概型)1。 特征:试验的样本空间包含有限个元素；实验中每个基本事件发生的可能性相同。32。 等可能概型中事件 A 的概率计算公式：10、条件概率1。 定义：设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，称 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率。非负性：对每一事件 B，有 P(B|A)0;规范性：对必然事件 S，有 P(S|A)=1；可列可加性：设 B1，B 2.是两两互不相容的事件，则有2。 乘法定理 设 P(A)0，则有 P(AB)=P(B|A)P(A)，即乘法公式。P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)3。 全概率公式设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，B1、B 2、 、 、B n为样本空间 S 的一个划分，且P(Bi)0，则即全概率公式4。 贝叶斯公式设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E 的事件，4B1、B 2、 、 、B n为样本空间 S 的一个划分，且P(A)0，P(B i)0，则即贝叶斯公式特别的，在全概率公式和贝叶斯公式中，取 n=2 时，公式分别为11、独立性设两事件 AB，若满足 P(AB)=P(A)P(B)则事件 AB 相互独立。1。 设 A、B 是两事件，且 P(A)0。若 A、B相互独立，则 P(B|A)=P(B)，反之亦然。2。 若 A、B 相互独立，则下列事件也相互独立 3。 设 A、B、C 是三个事件，若满足等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称 ABC 相互独立。12、设随机试验的样本空间为 S=e 。5X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数。称 X=X(e)为随机变量。1。 某些随机变量，其全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，称为离散型随机变量。要掌握其统计规律，必须且只需知道 X 所有的可能取值以及取每一个可能值的概率。2。 设离散型随机变量 X 所有可能取值为xk(k=1、2、.)X 取各个可能值的概率，即事件X=x k的概率为 PX=x k=pk,k=1、2、.即离散型随机变量的分布律。也可如下表示Pk满足：p k0，k=1、2、.； ；1kp3。 三种重要的离散型随机变量1)(0-1)分布随机变量 X 只能取 0 和 1 两个值。分布律如下： 则称 X 服从。)(,1pkpkPk以 p 为参数的(0-1)分布或两点分布。6其分布律也可写成2)伯努利试验、二项分布设试验 E 只有两个可能结果： ,则称 EA及为伯努利试验。设 P(A)=p(0=0； ；1)(xf对任意实数 ，)(,2121xx；dxfFXxPx 21)( 1221若 f(x)在点 x 处连续，则有 。)( fF三种重要的连续性随机变量1)均匀分布9若连续性随机变量 X 具有概率密度则称 X 在区间（a,b）上其 他,0,1)( bxabxf服从均匀分布。记为 。f(x)=0),(baU且 1)(dxf102)指数分布若连续性随机变量 X 具有概率密度其中 为常数，则称 X其 他,0,1)(/xexf 0服从参数为 的指数分布。易知 f(x)=0 且。X 的分布函数为：1)(dxf。服从指数分布的随机变其 他,0,)(/xeF量具有下列有意思的性质：对于任意 s,t0,有称为无记| tXPsXtsXP 忆性。3)正态分布若连续性随机变量 X 具有概率密度，其中 为xexf x,21)(2)( )0(,常数，则称 X 服从参数为 的正态分布或,11高斯分布，记为 .f(x)=0 且),(2NX。具有下列性质：1)(dxf曲线关于 对称。表明对于任意 有 0h； XPXhP 当 时取到最大值 。 离 越x 21)(f x远， 的值越小，表明对于同样长度的区)(f间，当区间离 越远，X 落在这个区间上的概率越小。在 处曲线有拐点，曲线以 轴为x Ox渐近线。若固定 ，改变 的值，图形沿 轴平移x而形状不改变。 为位置参数。若固定 ，改变 ，由于最大值可知当 越小时，图形越尖。21)(fX 的分布函数为： ，特别，dtexFxt2)(21)(当 时，称随机变量 X 服从标准1,0正态分布。标准正态分布概率密度和分布函数如下： ， ，易知2/)(texdtexx2/1)(1)(x12一般，若 ，只要通过一个线性),(2NX变换就能将其化成标准正态分布。引理 若 ，则),(2 )1,0(NXZ尽管正态变量的取值范围是 ，但其值,(落在 内几乎是肯定的，即常说)3,(的 法则。3上 分位点：设 ，若 满足条件)1,0(NXz则称点 为标准正态分,0,zXP布的上 分位点。由图形对称性知： z115、数学期望1)定义 设离散型随机变量 X 的分布律为若级数 绝对收敛，则称,.21,kpxXPk 1kkpx级数 的和为随机变量 X 的数学期望，1kk记为 E(X)。即 。1)(kkpxXE设连续型随机变量 X 的概率密度为 ，若)(xf13积分 绝对收敛，则称积分 的dxf)( dxf)(值为连续性随机变量 X 的数学期望。记为。数学期望又叫均值。dxfXE)()(2)泊松分布 数学期望 ，)(X)(XE)(D均匀分布 的数学期望 ，),(baU2)(ba3)数学期望的几个重要性质(假定 E 都存在)设 C 为常数，则有 ；CE)(设 X 为一个随机变量，C 为常数，则有；)()(E设 X，Y 为两个随机变量，有 )()()(Y此种情况可以推广到有限多个情形；设 XY 为相互独立的随机变量，；)()(YEXYE16、方差1)定义设 X 为一个随机变量，若)(2E存在，则称其为 X 的方差，即(记).)(/)(XVarD14为均方差或标准差，记为 .)(XD X随机变量 X 的方差表达了 X 的取值与其数学期望的偏离程度。若 较小，则表示)(DX 的取值集中在 的附近，反之，则表示)(EX 的取值较分散。 。22)()(XEX2)(0-1)分布 ,p)( 1pD泊松分布 数学期望 ，X)( )(D均匀分布 的数学期望),(baU12abX指数分布 ，)E2(XD二项分布 的,(pnbXnpE) )()(pn正态分布 的2N(2XD3)方差的几个重要性质(假定 E 都存在)设 C 为常数，则有 ；0)(CD设 X 为随机变量，C 为常数则有 ;)()(2XDC。)()(XD设 X，Y 为两个随机变量，有,若二)()(2)()()( YEXEY者相互独立，则 ；)DXD的充要条件是 X 以概率 1 取常数0)(XD即 .E1)(EP4)切比雪夫不等式15设随机变量 X 的 , 则对任意)(E2)(XD正数 ，不等式 成立。 2| P17、协方差及相关系数 量为随机变量 X 与 Y 的协方)()(YEXE差，即(记)为 ,XCovX 与 Y 的相关系数 )(,YDovY1)设(X,Y)是二维随机变量。若 ,.21),(kXE存在，称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。2)若 存在，称它为 X 的,.32,)(kEk 阶中心矩。3)若 存在，称它为 X 和 Y 的,.1,)(lkYXlkk+l 阶混合矩。4)若 存在，称,.321,)()( lkYEElk它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。依照上述定义，X 的数学期望 是 X 的一)(E阶原点矩，方差 是 X 的二阶中心矩，)(D),(YCov是 X 和 Y 的二阶混合中心矩。18、1)样本平均值 ，观察值为niiX116；样本方差 ，观察值为nix1 )(122XnSi；)(212nSi样本标准差 ，观察值为)(1222 XnnSii；样本 k 阶（原点）矩)(122 xnSii，观察值为 ；,.,1kXAiik ,.21,1kxnaiik样本 k 阶中心矩 观察值为,.32,)(1XnBikik。,.32,)(1xnbikik2)来自正态总体的几个常用统计量的分布1。 分布2设 是来自总体 的样本，则称统计量 服从自nX,.2 )1,0(N2212.nX由度为 n 的 分布，记为 ，此处自由度是指上式右端包含的独立变量的个数。2n分布的概率密度为)(2172。 T 分布3。 F 分布183)正态总体的样本均值与样本方差的分布易知 态分布，于是可得以下定理：有以下定理：1919、设总体 X 的分布函数形式易知，但其一个或