3_8065044_1.计数的基本原理

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 325 中国 高考数学母题 (第 107 号 ) 计数的基本原理 计数的基本原理有 :加法原理、 乘法原理 和 容斥原理 ,其中 ,分类计数加法原理与分步计数乘法原理是建立计数理论的始点定理 ,容斥原理是加法原理的深化 . 母题结构 :( )(加法原理 ):完成一件事有 在第 i=1,2, ,n),那么完成这件事共有 m1+ + ( )(乘法原理 ):完成一件事需要两个步骤 ,做第 i=1,2, ,n),那么完成这件事共有 ( )(容斥原理 )若 |X|表示有限集合 X 的元素个数 ,则 :| B)|=|U|-(|A|+|B|)+|A B|. 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年大纲高考试题 )某同学有同样的画册 2 本 ,同样的集邮册 3 本 ,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 ,每位朋友 1 本 ,则不同的赠送方法共有 ( ) (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种 解析 :设画册为 A,集邮册为 的个数分类 :一 ,有 4种送法 ;二 ,有 种送法 ;共有 4+6=B). 点评 :分类是解决计数问题的最根本的手段 准统一 ,达到 不重复且不遗漏 ,分类计数是 高考命题的有意而为 ,因此 ,分类计数 是 高考的方法 型 母 题 . 同 类 试题 : 1.(2009 年浙江高考 试题 )甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的 台阶上 ,若每级台阶最多站 2 人 ,同一级台阶上的人不区分 站的位置 ,则不同的站法种数 是 (用数字作答 ). 2.(2009年浙江高考 试题 )某书店有 11种杂志 ,2元 1本的 8种 ,1元 1本的 3种 0元钱买杂志 (每种至多买一本 ,10元钱刚好用完 ),则不同买法的种数是 _(用数字作答 ). 子题类型 :(2013 年 北京 高考试题 )将序号分别为 1,2,3,4,5的 5张参观券全部分给 4人 ,每人至少 1张 ,如果分给同一人的 2 张参观券连号 ,那么不同的分法种数是 . 解析 :完成这件事须两步 :第一步 ,把 5 张参观券 分成 4 组 ,其中 ,一组 的 2 张 参观券连号 的分法有 :1 与 2,2 与 3,3 与4,4 与 5 连号 ,计 4 种 ;第二步 ,将 4 组分给 4 人 ,有 故 完全这件事有 46 种 分法 . 点评 :分步计数法的关键 是 分步 ,分步的关键是各步骤都不可缺少 ,且要求相互独立 ,即步步相依 ,步步对接 ;应用 分步计数法 :一是 确定完成这件事的步骤 ;二是求解完成每一步的不同方法数 . 同 类 试题 : 3.(2010年全国 高考 试题 )将标号为 1,2,3,4,5,6的 6张卡片放入 3个不同的信封中 张 ,其中标号为 1,2的卡片放入同一信封 ,则不同的 放法共有 ( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 4.(2003年复旦 大学 保送生考试 试题 )划船 时有 8人 ,有 3人只能划右 边 ,1人只能划左 边 ,共有 种分配方法 (注 :划船 时两边各 4 人 ). 子题类型 :(2010 年重庆高考 理 科 试题 )某单位安排 7位员工在 10 月 1日至 7日值班 ,每天 1人 ,每人值班 1天 ,若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天 ,丙不排在 10 月 1 日 ,丁不排在 10月 7 日 ,则不同的安排方案共有 ( ) (A)504 种 (B)960 种 (C)1008 种 (D)1108 种 解析 :设 U=7 位员工中的甲、乙排在相邻两天的 排列 ,A=甲、乙排在相邻两天 ,且 丙排在 10月 1 日 的 排列 ,B=甲、乙排在相邻两天 ,且 丁排在 10 月 7 日 的 排列 ,则 |U|=440,|A|=|B|=40,|A B|=8 不同的安排方案 326 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 共有 :| B)|=|U|-(|A|+|B|)+|A B|=1440240+48=1008 种 C). 点评 :容斥原理是讨论包容和排斥 计数问题 的有力方法 :令 U 是一 类元素 的集合 ,则 分别 是 U 的具有性质 P 和 集 ,则 不 具有性质 的 元素 个数 =| B)|=|U|-(|A|+|B|)+|A B|. 同 类 试题 : 5.(2009 年 江西 高考试题 )50 名学生参加甲、乙两 项体育活动 ,每人至少参 加了一项 ,参加甲项的学生有 30 名 ,参加乙项的学生有 25 名 ,则仅参加了一项活动的学生人数为 ( ) (A)50 (B)45 (C)40 (D)35 6.(2010 年四川高考文 科 试题 )由 1、 2、 3、 4、 5 组成没有重复数字且 1、 2 都不与 5 相邻的五位数的个数是 ( ) (A)36 (B)32 (C)28 (D)24 7.(2011年大纲高考试题 )某同学有同样的画册 2本 ,同样的集邮册 3本 ,从中取出 4本赠送给 4位朋友 ,每位朋友 1本 ,则不同的赠送方法共有 ( ) (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种 8.(2009 年陕西高考 试题 )从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个 奇数和两个偶数 ,组成没有重复数字的四位数的个数为( ) (A)300 (B)216 (C)180 (D)162 9.(2008 年辽宁高考 试题 )一生产过程有 4 道工序 ,每道工序需要安排一人照看 、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序 ,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人 ,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人 ,则不同的安排方案共有 ( ) (A)24 种 (B)36种 (C)48 种 (D)72 种 10.(2009 年辽宁高考 试题 )将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列 ,记第 i 个数为 ai(i=1,2, ,6),若 1,3,5,a1a3则不同的排列方法种数为 ( ) (A)18 (B)30 (C)36 (D)48 11.(2008 年武汉 大学 保送生考试 试题 )7 个人站在一排 ,如果甲必须站在正中间 ,并且乙、丙两人不站在两端 ,那么排法数为 . 12.(2009 年湖北高考 试题 )从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动 ,每人一天 ,要求星期五有一人参加 ,星期六有两人参加 ,星期日有一人参加 ,则不同的选派方法共有 ( ) (A)120 种 (B)96 种 (C)60 种 (D)48 种 13.(2011 年 大纲高考试题 )4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门 ,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有 ( ) (A)12 种 (B)24 种 (C)30 种 (D)36 种 14.(2009 年全国 高考 试题 )甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 ,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( ) (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种 15.(2009年 江 西 高考试题 )已知全集 U=A ( (有 若 A 则 A ) (A) (B)m+n (C) (D)6.(2009 年 湖南 高考试题 )某班共 30 人 ,其中 15 人喜爱篮球运动 ,10 人喜爱兵乓球运动 ,8 人对这两项运动都不喜爱 ,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 17.(2009 年 陕西 高考试题 )某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组 ,每名同学至多参加两个小组 ,已知参加 数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人 ,同时参加物理和化学小组的有 4 人 , 则同时参加数学和化学小组的有 人 . 18.(2010 年重庆高考文 科 试题 )某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 (端午节假期 )值班 ,每天安排 2 人 ,每人值班 1 天 ,若 6 位员工中的甲不值 14 日 ,乙不值 16 日 ,则不同的安排方法共有 ( ) (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 19.(2010 年四川高考 理 科 试题 )由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( ) (A)72 (B)96 (C)108 (D)144 20.(2006 年武汉 大学 保送生考试 试题 )a、 b、 c、 d、 e 五人站成一排准备合影 ,如果 a 要求既不与 b 相邻 ,也不与 c 相邻 ,那么不同的排法有 ( ) (A)12 种 (B)24 种 (C)36 种 (D)72 种 按 某一 台阶最多站 的人数 分类 : 最多站 1人 ,即 三人 站 不同台阶 ,有 10; 最多站 2人 ,即 其中二人站 同一级台阶 ,有 26;共有 210+126=336. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 327 设买 2 元的 m 本 ,1 元的 n 本 ,则 2m+n=10,且 0 n 3,所以 0 103 4 m 5,故 10 元钱买杂志有如下情况 : m=4,n=2,有 10 种情况 ; m=5,n=0,有 6 种情况 10+56=266 种情况 . 完成这件事须 三 步 :第一步 :把 1,2的卡片放入同一信封 ,有 第二步 :从余下的 4张卡片 选 2张放入另一个 信封中 ,有 第三步 :把余下的 2 张卡片 放入第三个 信封中 ,有 共有 8 种 . 第一步 :分边 ,从 8人 中除去 只 能划右边 的 3人 和 只能划左边 的 1人 ,余下的 4人 中选 1人划右边 ,余下的 3人划左边 ,有法 ;第二步 :排序 ,每边的 4名 队员排序 ,均有 法 共有 44)2=2304种 方法 . 设 U=x|x 为 50 名学生 ,A=x|x 为 参加甲项的学生 ,B=x|x 为 参加乙项的学生 ,W=x|为 仅参加了一项活动的学生 ,则 |U|=50,|A|=30,|B|=25,由 |U|=|A B|=|A|+|B|-|A B| |A B|=5 |W|=|A|+|B| B|=B). 设 U=1、 2、 3、 4、 5 组成没有重复数字的五位数 ,A=1 与 5 相邻 的五位数 ,B=2 与 5 相邻 的五位数 ,则 |U|=120;|A|=8;|B|=8;|A B|=1,2 与 5 相邻的 五位数 个数 =2;由 | B)|=|U|-(|A|+|B|)+|A B|=120 -(48+48)+12=A). 设画册 为 A,集邮册为 的个数分类 :一 ,有 4种送法 ;二 ,有 种送法 ;共有 B). 两个偶数中含 0,0 的排法有 有 08; 两个偶数中不含 0,08+72=180. 甲在 第一道工序 : 甲在第 四道工序 : 甲不在 第一 、 四道工序 :6. 因 1 2 4 6 时 ,种取法 ,a2,a4,33种取法 ; 时 , 种取法 ,a2,a4,33种取法 ; 时 , 种取法 ,a2,a4,33种取法 2+2+1)0,选 (B). 1 88; 0. 分步 :第一步 :从 4 位同学中选 2 人选修课程甲 ,有 种 ,第二步 :考虑余下的 2 人选修课程乙、丙 ,各有 2 种选法 ,计有 2 2=4 种 4=24 种 . 第一步 :甲 先选有 第二步 :乙 选 424. 因 全集 U=A B 中有 m 个元素 ,由 |A B|+| B)|=|U| |A B|+n=m |A B|=D). 设全集 U=某班 同学 ,A=喜爱篮球运动 ,B=喜爱兵乓球运动 ,则 |U|=30,|A|=15,|B|=10,| B)|=8;由 | B)|=|U|-(|A|+|B|)+|A B| |A B|=3 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数 =|A|-|A B|=152. 设全集 U=班有 36名同学 ,A=参加数学小组 ,B=参加物理小组 ,C=参加化学小组 ,则 |U|=36,|A|=26,|B|=15, |C|=13,|A B|=6,|B C|=4,且 A B C= |A B C|=0;由 |U|=|A|+|B|+|C|-|A B|-|B C|-|C A|+|A B C| 36=26+15+13 A| |C A|=8. 考虑 6位员工 值班 ,有 0种 ;甲 值 14日 ,有 0种 ;乙 值 16日 ,有 0种 ;甲 值 14日 ,乙 值 16日 ,有 2 种 ;共有 90-(30+30)+12=42 种 C). 设 U=六位偶数 ,A=1与 5 相邻的 偶数 ,B=3 与 5 相邻的 偶数 ,则 |U|=60,|A