3_8064940_5.函数零点问题的类型解法

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 689 中国 高考数学母题 (第 195 号 ) 函数零点问题的类型解法 函数的零点 是 函数 研究 的 重要课题 ,也是高考的热点问题 ,高考中的 函数 零点 问题有两类 :求 函数的零点 个数和已知 函数的零点 个数 ,求 参数 的取值范围 ;解决 函数 零点 问题 的主要方法有 :图像法 和 转化 法 . 母题结构 :( )(零点 定理 ):若函数 f(x)在 a,b上连续 ,且 f(a)f(b)0),讨论 h(x)零点的个数 . 解析 :( )设 曲线 y=f(x)与 x 轴 相切于点 (),则 f(0,f (0 1=0,3a=0 1,a=( )当 x (1,+ )时 ,h(x)=f(x),g(x) g(x)=只需讨论 f(x)在 (0,1)内 的零点 ;由 f(x)=x3+1 f(0)=41,f(1)=a+45;由 f (x)=3x2+a f (0)=a,f (1)=3+a; 当 a 0 或 a ,f(x)在 (0,1)内单调 当 a 0 时 ,f(x)零点的个数 =0 h(x)零点的个数 =0;当 a ,f(x)零点的个数 =1 h(x)零点的个数 =1; 当 即 ,方程 f(x)=0 在 有两个实数根 . 2.(2013 年 山东 高考试题 )设函数 f(x)=c(e=2071828 为自然对数的底数 ,c R).( )求 f(x)的单调区间 ,最大值 ; ( )讨论关于 x 的方程 |f(x)根的个数 . 子题类型 :(2016 年 高考 全国乙 试题 )已知函数 f(x)=(ex+a(. 690 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )若 f(x)有两个零点 ,求 a 的取值范围 . 解析 :( )由 f (x)=(a); 当 a 0 时 ,f(x)在 (- ,1)上递减 ,在 (1,+ )上递增 ;当 a=f(x)在 (- , + )上递增 ; 当 f(1)=-e,f(2)=a,取 f(x)有两个零点 ; 当 f(x)有 三 个零点 ; 当 ,f(x)在 x=取得极小值 f(极大值 ;( )当 a=1时 ,f(x)=线 l:y=y f(x)没有公共点 (x= 上没有实数解 ; 当 k=1 时 ,方程在 R 上没有实数解 ; 当 k1 时 ,方程 (x=11k = g(x)=g (x)=(x+ 1)g(x)在 (- ,递减 ,在 () 上递增 g(x) ) ,所以 ,11( )求 f(x)的单调区间和极值 ; ( )证明 :若 f(x)存在零点 ,则 f(x)在区间 (1, e 上仅有一个零点 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 691 8.(2011 年天津 高考 试 题 )已知 函数 f(x)=4x R,其中 t R. ( )当 t=1 时 ,求曲线 y=f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程 ; ( )当 t 0 时 ,求 f(x)的单 调区间 ; ( )证明 :对任意的 t (0,+ ),f(x)在区间 (0,1)内均存在零点 . 9.(2015 年 江 苏 高考试题 )已知函数 f(x)=x3+b(a,b R).( )试讨论 f(x)的单调性 ;( )若 b=数 c 是与 a 无关的常数 ),当函数 f(x)有 3 个不同的零点时 ,a 的取值范围恰好是 (- , (1,23) (23,+ ),求 c 的值 . 10.(2011 年福建高考 试 题 )已知 a,b 为常数 ,且 a 0,函数 f(x)=b+f(e)=2(e=是自然对数的底数 ). ( )求实数 ( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )当 a=1时 ,是否同时存在实数 (f(1(11 m=121202 ,则 h (x)=22 h(x)在 2,+ )内递增 h(x) h(2)= ) 函数 f(x)在 1-m,各恰有一个零点 ,即方程f(x)=0 在 有两个实数根 . ( )f(x)在 (- ,21)上 递增 ,在 (21,+ )上 递减 x)=f(21)=c;( )令 g(x)=f(x)-| 当 x 1 时 , g(x)=g (x)=g(x)在 1,+ )上 单调递 增 ;若 g(1)=21e+c0,即 c方程 在 (0,1)上 有一个根 ;若 g(1)=21e+c 0,即 c 方程 在 (0,1)上 没有根 ;综上 ,当 c有两个根 ;当 c=有一个根 ;当c0,g(1)= a(),x)=2a)a) h(x)=3x)x (),则 h (x)=1x) x)=h(2e)=25a 的取值范围 是 (- ,2) (25,+) . ( )由 f(0) 1 |a|+a 1; 当 a 0 时 ,|a|+a 1 0 1;当 a0 时 ,|a|+a 1 aa (- ,21; ( )由 f(x)=(+|a( 当 x a 时 ,f(x)=x,其对称轴 x=f(x)在 (- ,a)内单调递减 ; ( )由 f(x)+ x+ 2x+24x;令 g(x)=x+24x(x0),则 g (x)=11x( g(x)在 (0,2)内单调递减 ,在 (2,+ )内单调递增 x)=g(2)=3; 当 2,即 a=2时 ,f(x)+x=2; 当 23,即 a 2 时 ,f(x)+ ( )f(x)存在 极小值 f( k )=2 ),无 极 大 值 ;( )由 f(x)存在零点 f( k )=2 ) 0 k e; 当k=f(x)在区间 (1, e 上单调递减 ,且 f( e )=0 x= e 是 f(x)在区间 (1, e 上的唯一零点 ; 当 kf(x)在区间 (1, e 上单调递减 ,且 f(1)=21e )=2时 ,f(x)在 (- , (2t,+ )上 单调递增 ,在 (t)上 单调递减 ;( ) 当2t 1,即 t 2 时 ,f(x)在 (0,1)单调递减 ,且 f(0)=,f(1)=t+30;若 t (1,2),则 f(0)0 f(x)在区间 (0,1)内 有一个 零点 . ( )由 f (x)=3x(x+32a);当 a=0 时 ,f(x)在定义域内单调递增 ;当 ,f(x)在 (- , (0,+ )内单调递增 ,在 ()内单调递减 ; ( )当 a=0时 ,f(x)有 1个零点 ;当 f(,且2743a+47 ,f(x)有 3 个零点 f(0)0 由a 的取值范围恰好是 (- , (1,23) (23,+ ) c 的可能组为 ,23;验证知 ,当 c=3时 ,不合 题 意 .故 c=1. ( )由 f(e)=2 b=2;( ) 当 a0时 ,f(x)在 (0,1)上 单调递 减 ,在 (1,+) 上单调递 增 ; 当 a