高等代数与解析几何第七章13习题线性变换与相似矩阵答案

第七章 线性变换与相似矩阵习题 7.1习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？（1）设 是线性空间 中的一个固定向量，（） ， ，解：当 时， 显然是 的线性变换；当 时，有 ， ，则，即此时 不是 的线性变换。（） ， ；解：当 时， 显然是 的线性变换；当 时，有 ， ，则，即此时 不是 的线性变换。（2）在 中，（） ， 解： 不是 的线性变换。因对于 ，有 ，所以 。（） ；解： 是 的线性变换。设 ，其中 ，则有，。（3）在 中，（） ，解： 是 的线性变换：设 ，则， 。（） ，其中 是 中的固定数；解： 是 的线性变换：设 ，则， 。（4）把复数域 看作复数域上的线性空间， ，其中 是 的共轭复数；解： 不是线性变换。因为取 ， 时，有 ，即 。（5）在 中，设 与 是其中的两个固定的矩阵， 。解： 是 的线性变换。对 ， ，有，。习题 7.1.2 在 中，取直角坐标系 ，以 表示空间绕 轴由轴向 方向旋转 900的变换，以 表示空间绕 轴由 轴向方向旋转 900的变换，以 表示空间绕 轴由 轴向 方向旋转 900的变换。证明 （表示恒等变换），；并说明 是否成立。证明：在 中任取一个向量 ，则根据 ， 及 的定义可知：， ， ； ， ； ， ，即 ，故 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为 ，所以 。习题 7.1.3 在 中， ， ，证明 。证明：在 中任取一多项式 ，有。所以 。习题 7.1.4 设 ， 是 上的线性变换。若 ，证明。证明：用数学归纳法证明。当 时，有命题成立。假设等式对 成立，即 。下面证明等式对也成立。因有，即等式对 也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若 是 上的可逆线性变换，则 的逆变换唯一；（2）若 ， 是 上的可逆线性变换，则 也是可逆线性变换，且。证明：（1）设 都是 的逆变换，则有 ，。进而 。即 的逆变换唯一。（2）因 ， 都是 上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知 是可逆线性变换， 为 逆变换，有唯一性得。习题 7.1.6 设 是 上的线性变换，向量 ，且 ， ， 都不是零向量，但 。证明 ， ， 线性无关。证明：设 ，依次用 可得，得 ，而，故 ；同理有：，得 ，即得 ；依次类推可得 ，即得 ，进而得 。有定义知 ， ， ， 线性无关。习题 7.1.7 设 是 上的线性变换，证明 是可逆线性变换的充要条件为 既是单射线性变换又是满射线性变换，即 是一一变换。证明： 已知 是可逆线性变换，即存在 。若 ，则两端用 作用即得 ，因此 是单射线性变换。若任取 ，则存在 ，使得 ，即 是满射线性变换。已知 既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定义新的变换： ，定有 ，且有 ，规定 ，有 ，同时有 ，即有 。由定义知 是可逆线性变换。习题 7.1.8 设 是 上的线性变换，证明（1） 是单射线性变换的充要条件为 ；（2） 是单射线性变换的充要条件为 把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。证明：（1） 已知 是单射线性变换，对 ，则有，由单射得 ，即 。已知 ，若 ，则有 ，得，即得 ，故 是单射。（2） 已知 是单射线性变换。设 线性无关，现证也线性无关。令 ，整理有 ，而 是单射，有，已知 线性无关，所以，故 也线性无关。已知 把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若，则有 ，并一定有 。否则若，则说明向量 线性无关，而 表示 把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由可得 ，即 是单射线性变换。习题 7.1.9 设 是 中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略）习题 7.1.10 设 ， 是 上的线性变换，且 证明（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 。证明：（1）因为 ， 。所以，从而 或 。又因为。故 。（2）因为 ， ，所以。习题 7.1.11 设 与 分别是数域 上的 维与 维线性空间，是 的一个有序基，对于 中任意 个向量 ，证明存在唯一的线性映射 ，使 ， 。证明：先证明存在性。对任意的 ， 有唯一的线性表达式我们定义显然有 ， 。现验证 为 到 的一个线性映射。（1）对任意的向量 ，因为，由定义得。（2）对任意的 ，因为 ，由定义得。所以 为 到 的一个线性映射。再证唯一性：若另有 到 的一个线性映射 ，也使得， 。则对任意向量 ，一定有。由 在 中的任意性，可得 。习题 7.1.12 设 与 分别是数域 上的 维与 维线性空间，是线性映射。证明 是 的子空间， 是 的子空间。又若 有限，证明 。这时称 为的零度，称 为 的秩。证明：（1）先证 与 分别为 与 的子空间，对 ， ，有 ，所以 ，故 为 的子空间；同理，对 ，则 ，使 ， ，所以所以 为 的子空间.（2）再证因 有限，不妨设 ， ，在 中取一个基，再把它扩充为 的一个基 ，则是像空间 的一个基.事实上，对 ，存在 ，使得 。设 ，则有即 中的任意向量都可由 线性表示。现证向量组 线性无关：设 ，有 ，即，所以向量 可由向量组线性表示，进而有，整理有，又因 线性无关，所以必有 ，因此 线性无关，即 为 的一个基，故。习题 7.1.13 证明 关于定义 7.1.12 中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成 上的一个线性空间。证明：现证明定义 7.1.12 中所定义的线性映射的加法 与数量乘法 都是从 到 的线性映射。事实上，对 ， ，有故 为 到 的线性映射。同理，对 ， ，有，故 为 到 的线性映射。另外线性映射的加法 与数量乘法 显然满足：（1） 结合律： ；（2）交换律: ；（3）存在零线性映射 ，对 ，有 ；（4）对 ，有负线性映射 ，使得；（5） ； （6） ； （7） ；（8）