归纳、演绎.二

1、第四节 归纳策略,当我们面对一个一般性的普遍命题,或研究某一对象集的共同的性质时,由于没有从具体到抽象、从个别到一般的归纳过程作铺垫，往往造成数学解题的困难。这种情况下，我们常用的解题策略是归纳，或称为以退为进策略、特殊化策略，就是还原或补上从具体到抽象、从个别到一般这一归纳过程。先研究几个个别的较为具体的对象，先分析几种简单、特殊的情况，以从中发现解决问题的途径。 归纳策略是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索问题的思想，它符合人类认识的基本规律，也是数学研究和发现的重要方法。,归纳策略是处理数学问题的一种重要的解题策略,归纳策略也称为以退求进或特殊化策略。它是从特殊到一般的一种考察对象、研

2、究探索问题的思想.,通常解题，只是想到进的一面，而很少想到退所谓“进”就是从题设条件出发逐步深入地解决，这对简单问题的解决是非常有用的。但遇到较复杂的问题时，只想进有时会感到无门可入，怎谈逐步解决？而所谓“退”即是把比较复杂的问题“退”成最简单、最原始的问题，把这简单问题想通了，想透了，原来的问题也就解决了。,华罗庚教授曾告诉我们：“善于退，足够地退，退回到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”又云：“先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”这就是以退求进的思想。,事物的特殊性中包含着普遍性，即共性寓于事物的个性之中。相对于一般情况而言，特殊的事物往往显

3、得简单、直观和具体，并为人们所熟知，因而当我们处理问题时，对于有些较复杂的问题，当从一般角度难以解决时，可以通过考察研究特殊情况，去探求规律和解题方法。,通过对特殊情形的研究，对寻求一般解法的思路、规律也有一定的作用，因此，特殊化在解题中的另一个优点就是具有“估测探路”的功效。,“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。” 希尔伯特,例2 两个边长为a的相同正方形，其中一个正方形的顶点是一个的中心，求两个正方形的重叠部分面积.,解：从一般退到特殊，考虑两个正方形位置关系中的特殊情形，它们重叠部分面积为,E,F,D,N,G.,M,分析,归纳策略常见的情形有:从一般退到特殊，从复

4、杂退到简单，从抽象退到具体，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况。由简单情况的解决，再归纳、概括、发现一般性。相应的具体做法表现为取值、枚举、递推、极端、试验、特殊化等。,的度数是多少？,练一练,连结CG 得凸五边形DEFGC,ABC+BAG =AGC+BCG,A+B+C+D+E+F+G = (52)1800,将复杂的问题先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出一般规律，然后用得出的一般规律去指导问题的解答。,在解题时可引导学生先退回来研究特殊情形。 如：“用1、2、3、4四个数字组成两个两位数，使两个数的乘积最大，应怎样 排列？”要使两个因数的乘积最大，显然较

5、大的数应填在十位上，这样得到4132和4231两种可能性。通过 计算可知：41324231，经过比较发现：41324231， 引导学生概括出解题规律： （1 ）较大的数应填在最高位； （2）较小的数与较大的数搭配写； （3）所组成的 两个数的差应最小。 根据这一规律，再回过头来解答原题：把6 个数字分为三组，8和7为较大数， 应填在两个因数的百位上；6和5为中间数组，填在两个因数的十位上；4和3为较小数，应填在两个因数的个位 上。采用小数与大数搭配的方法，使所组成的两个数的差最小，从而得到“853 764”的乘积最大。,用3、4、5、6、7、8六个数字组成两个三位数，使这两个数的积最大，应怎样

6、排列？（第七册）,“归纳策略”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论,从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况。由简单情况的解决，再归纳、概括、发现一般性。,总之，当我们在探求某些数学问题的解法时，碰到一些疑惑费解或难以入手的困难,我们要善于找到事物内部间相互关系，不妨把复杂的问题退到较为浅显、熟知的知识，就能有一种“柳暗花明又一村”的感觉，最终使我们对事物的认识达到一种新的境界。,一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。 在

7、多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。 但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。,练一练,解法：考虑点E的特殊位置 （E与B重合）， 如图：此时，四边形EBCD退化 为三角形DBC，,5演绎策略,与归纳法相反，有些数学题的具体情境、具体细节可能会掩盖了更为一般的普遍规律，从而不利于发现数学规律。这时，我们可以把问题一般化，通过对整体性质或本质关系的考察，使原问题得到解决，这种策略称为演绎策略，即推进到一般。归纳策略是先退后进，先树木后森林；演绎策略是先进后退，先森林后树木。,从“特殊到一般

8、”和“从一般到特殊”，是认识事物的普遍规律。 归纳策略是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索问题的思想。 演绎策略是将待解决的问题，通过对它的一般形式问题的解决而使原问题获得解决,它是从一般到特殊的一种考察对象、研究探索问题的思想。,演绎策略不仅有助于命题的推广，而且是解决问题的有效途径。波利亚说：“雄心大的计划，成功的希望也较大。这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。较多的问题可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。”运用演绎策略的关键是仔细观察、分析问题的特征，从中找出能使命题一般化的因素。,具体问题,具体问题的解决,一般问题的解决

9、,一般问题,一般化,具体化,演绎策略的基本过程：,当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是演绎策略。 这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般，更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。,演绎策略是解决问题的有效方法，也是科学探索的常用方法。实施演绎策略通常有以下三个步骤： （1）要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使题目一般化的有关因素； （2）从不同的因素入手，通过抽象、概括或猜想，常常可以得到多种一般性问题，要力求从