高三数学教案直线与平面垂直2

1、9.3 直线与平面垂直【教学目标】掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.【知识梳理】1直线与平面垂直的判定类别语言表述应用判如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,证直线和平面垂直那么这条直线和这个平面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,证直线和平面垂直定那么这条直线垂直于这个平面如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一 证直线和平面垂直条也垂直于同一个平面2直线与平面垂直的性质类 别语 言 表 述图示字 母 表 示应 用如果一条直线和一个平面垂a证两条直直 ,那么这条直线和这个平面aab线 垂 直性内的任何一条直线都垂直bb质如果两条直线同

2、垂直于一个aba证两条直ab平面 , 那么这两条直线平行线 平 行b3点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离4直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和平面的距离【点击双基】1.“直线 l 垂直于平面 内的无数条直线”是“l ”的A. 充分条件B. 必要条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件答案： B2.给出下列命题，其中正确的两个命题是直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面直线 m平面 ，直线 n m，则 n a、b 是异

3、面直线，则存在唯一的平面，使它与 a、b 都平行且与 a、 b 距离相等A. B.C.D.解析：错误 .如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交 .正确 .如下图，平面 ， A ， C ， D ，B 且 E、F 分别为 AB、 CD 的中点，过 C 作 CG AB 交平面 于 G，连结 BG、 GD .第 1页共 5页CAHFEGB D设 H 是 CG 的中点，则 EH BG， HF GD . EH平面 ， HF 平面 .平面 EHF 平面 平面 . EF ， EF .错误 .直线 n 可能在平面 内 .正确 .如下图， 设 AB 是异面直线a、b 的公垂线段， E 为 AB 的中点， 过

4、E 作 a a，b b，则 a、 b确定的平面即为与 a、 b 都平行且与 a、 b 距离相等的平面，并且它是唯一确定的 .AbaEbaB答案： D3.在正方形 SG G G中， E、F 分别是 G G 、G G的中点， D 是 EF 的中点，沿 SE、SF1231223及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1、G2、G3 三点重合， 重合后的点记为 G，那么，在四面体 S EFG 中必有A. SG平面 EFGB.SD平面 EFGC.FG平面 SEFD.GD 平面 SEF解析：注意折叠过程中，始终有SG1G1E， SG3G3F ，即 SGGE， SGGF，所以 SG平面 EFG .选 A

5、.答案： A4.在直四棱柱 ABCD A1 B1C1D 1 中，当底面四边形ABCD 满足条件 _时，有 A1CB1D 1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）A1D1B1C1ABDC答案： A1C1 B1D1 或四边形A1B1C1D 1 为菱形等5.设正方体ABCD A1B1C1D 1 的棱长为1，则DCABD 1C1A1B 1（ 1）A 点到 CD 1 的距离为 _；第 2页共 5页（ 2）A 点到 BD 1 的距离为 _；（ 3）A 点到面 BDD 1B1 的距离为 _ ；（ 4）A 点到面 A1BD 的距离为 _ ；（ 5）AA 1 与面 BB1 D1D 的距离

6、为 _.答案：（ 1）6（ 2）6（ 3）2（ 4）3（5）223232【典例剖析】例 1.已知直线 AB 与平面 相交于点 B，且与的角都相等，求证： AB 与平面 垂直证明：在上取BCBDBE， AB 与 BC 、 BD 、 BE 所成的角都相等， ABBCABBDABBE 则 AB ( BC BD ) 0，即 AB DC 0，从而 AB CD又 AB BC AB BE ， AB ( BC BE ) 0，即 AB EC 0，故 AB CE而 CD CE=C，所以内过 B 点的三条直线CDAB平面BC，BD ， BE 所成ABE例 2.如图 9-10, 在正三棱柱 ABC -A 1B1C1

7、中 ,A 1 A=AB, D 是 CC1的中点 ,F 是 A 1B 的中点 .求证 : (1) DF平面ABC;(2)AFBD分析要证“线面平行”,可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；而证明“线线垂直”，除考虑三垂线定理及其逆定理外，还可由线面垂直证得.证明(1)(方法 1) 取 AB 中点 G, 连 FG,CG.1 F 是 A B 的中点 , FG A A 且FG2 A1 A,11又 D是 CC1 的中点 ,于是 FG与 DC平行且相等 ,从而 CDFG是平行四边形 . FDCG. FD 平面 ABC, CG平面 ABC,FD平面 ABC.( 方法 2) 取 A1 A的中点 M , 连

8、 FM , MD ,F 是 A1B 的中点 , MF / AB .从而 MF / 平面 ABC , 同理 MD / 平面 ABC .MF , MD 是平面 DFM 内的两条相交直线,平面 DFM/ 平面 ABC .故 DF / 平面 ABC .(2)ABCA1 B1C1 是正三棱柱 ,A1 A平面 ABC ,A1 AAB .第 3页共 5页A1 AAB , 且 F 是 A1 B 的中点 ,AFA1B .由 (1) 知 ,CGAB ,又 A1 ACG ,CG平面 A1 AB ,FD / CG ,DF平面 A1 AB ,由三垂线定理知AFBD .例 3.如图，正方体 ABCD -A 1B1C1D

9、1中，EF 是异面直线 AC ，A 1D的公垂线，则 EF 与 BD 1 的关系为（）A. 相交不垂直B. 相交垂直C.异面直线D.平行直线证明： 连结 AB 1，CB 1 D1D平面 ABCD DB是 D1B 在平面 ABCD上的射影而 AC平面 ABCD ，且 AC DB，由三垂线定理有D1B AC，同理可证D1B B1C D1B平面 ACB1 （1） B1C A1D，而 EFA1D EFB1C又 EF AC1（ 2） EF平面 ACB由（ 1）（ 2）及线面垂直的性质定理，知EF/BD 1。注 本题看似平行问题，但要利用线面垂直的判定，性质定理，说明了平行问题与垂直问题的紧密联系例 4如

10、图，直三棱柱ABC-AB C 中， ACB=90,AC=1,CB=2 ，侧棱111的两条对角线交于点 D， B1C1 的中点为 M，求证： CD 平面 BDM证明：连结 A1C ，ACB90 , BCAC ，在直三棱柱 ABCCC1AC ， AC平面 CB1 ， AA11 ， AC 1 12， A1CBC ，D是侧面 AA1 B1B 的两条对角AC线的交点， D 是 A1B 与 AB1 的中点， CDBD ，连结B1C ，取 B1C 的中点 O ，连结 DO ，则 DO / AC ， AC平面 CB1 ， DO 平面 CB1 ， CO 是 CD 在平面 B1C 内的射影。在BB1C 中， tanBB1C2BAA1=1，侧面A A1 B 1BA1 B1C1 中AA1DCC 1MB1在 BB1M 中， tan BMB12 ，BB1CBMB1 B1C BM ， CD BM , BMBD B ， CD平面 BDM .【知识方法总结】线面