高中数学圆锥曲线方程知识点总结

1、最新资料推荐8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义： 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于定长 （定长通常等于2a，且 2aF1 F2）的点的轨迹叫椭圆。PF 1PF 22aF 1F 2 方程为椭圆 ,PF1PF22aF F无轨迹 ,12PF 1PF 22aF1F 2 以F 1,F 2为端点的线段（ 1）椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上： x2y 21( ab 0) .a 2b 2ii.中心在原点，焦点在 y轴上： y2x 21(ab0) .a 2b 2注： A. 以上方程中 a, b 的大小 a b 0 ，其中 b2a2c2 ；B.在 x2y21

2、和 y2x2 1两个方程中都有a b0的条件，要分清焦点的位置， 只要看 x2和a2b2a2b2y2 的分母的大小。一般方程： Ax 2By 21( A0, B0) .椭圆的标准方程：x2y 21的参数方程 为xa cos（一象限应是属于0） .2b2ayb sin2椭圆的性质顶点： (a,0)(0,b) 或 (0,a)( b,0) .轴：对称轴： x 轴， y 轴；长轴长2a，短轴长 2b .焦点： (c,0)(c,0) 或 (0, c)(0, c).焦距： F 1 F 22c, ca 2b 2 .准线： xa2或 ya 2.cc离心率：cac00e 1，且 e 越接近1c 就越接近 abe

3、(0e1).，从而就【a越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab 时， c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。】焦（点）半径：i. 设 P (x 0 ,y 0 ) 为椭圆 x2y21(ab0) 上的一点， F 1,F 2为左、右焦点，则PF 1aex0, PF 2aex02b2aii. 设 P( x0 , y0 ) 为椭圆x2y 21( ab0) 上的一点， F 1, F 2为上、下焦点，则PF 1aey0, PF 2aey0b2a 21最新资料推荐22由椭圆第二定义可知：pF 1 e( x0a

4、 ) aex0 ( x00), pF 2e( ax0 ) ex0a( x00) 归结起来为 “左加右减 ”.cc注意：椭圆参数方程的推导：得N (a cos,b sin)方程的轨迹为椭圆 .通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标： d2b2( c, b 2) 和 (c, b2)a 2aa若 P 是椭圆： x2y2焦点三角形的面积：1 上的点 . F 1,F 2 为焦点，若F 1PF 2，则 PF 1F 2b 2a 2的面积为 b 2 tan （用余弦定理与PF 1PF 22a可得）。若是双曲线，则面积为b2cot22 。（ 3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆x 2y 21(ab 0) 的

5、离心率是ec (ca 2 b2 ) ，方程a 2b 2ax 2y 2t (t 是大于 0 的参数， ab 0) 的离心率也是 ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a 2b 2a2.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线L （ F 不在 L 上）的距离的比为常数 e（ 0e 1 ）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F 为椭圆的焦点，定直线L 为椭圆焦点 F 相应的准线。二、双曲线方程1. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1 ，F2 的差的绝对值等于定长 （定长通常等于2a，且 2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点 F 为双曲线的焦点， 定直线 L 为双曲线焦点F 相应的准线

6、。3最新资料推荐三、抛物线方程（ 1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是xp；22（ 2）抛物线的性质设 p0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 2 2 py图形 yyy yxxxxOOOO焦点p,0)pF (0,pF (0,pF (F (,0)2222准线方程xpxpy

7、pyp2222范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称轴x 轴y 轴顶点（ 0， 0）离心率e 1焦半径PFpx1PFpx1PFpy1PFp222y12通径2p2p2p2p焦点弦x1+ x2+ px1+x2+py1+y2+py1+y2+p注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的 .y 22 px （或 x 22 py ）的参数方程为x2pt 2（或x2 pt）（ t 为参数） .y2 pty2 pt 24最新资料推荐四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e 的点的轨迹 .当

8、0e1 时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线；当e0 时，轨迹为圆（ ec ，当 c0, a b 时） .【弦长公式 AB1 k2 x1 x2(1 k 2 )( x1 x2 ) 24x1x2 】a2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F 2 的距离之的距离之差的1到两定点 F ,F和为定值 2a(2a|F 1F2|)12的绝对值为定值 2a(02a1）（ 0e0)xy1(a0,b0)y22 px方程a 2b2a 2b2程参数xa cosxasec2yb sinyb tanx2 pt (t 为参数 )方程(参数 为离心角）(参数

9、 为离心角）y2 pt范围 a x a， b y b|x|a ，yRx 05最新资料推荐中心原点 O（ 0，0）原点 O（ 0， 0）顶点(a,0), ( a,0),(a,0), ( a,0)(0,b) , (0, b)对称轴x 轴， y 轴；x 轴， y 轴 ;长轴长 2a, 短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点F1 (c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)(0,0)x 轴pF (,0)x= a 2x= a 2准线ccx=-p2准线垂直于长轴，且在椭圆准线垂直于实轴， 且在两顶点的外 .内侧 .焦距2c（ c= a 2b2 ）2c （ c=a2b 2 ）离心率ece1)c(e1)( 0eaa【备注 1】双曲线：（ 1）等轴双曲线：双曲线x2y 2a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y（ 2）共渐近线的双曲线系方程：x 2y 2(0) 的渐近线方程为x 2y 2a 2b2a 2b 2为 xy0时，它的双曲线方程可设为x 2y 2(0) .aba 2b2【备注 2】抛物线：准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .e=1x ，离心率 e2 .0 如果双曲线的渐近线（ 1）设抛物线的标准方程为y 2 =2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为p ，顶点到准线的距离 p ，焦点到准线的距离为2p.2（ 2）已知过