四色猜想的证明

1、四色猜想的证明吴道凌（广东省广州市，）摘 要：四色猜想至今未得到书面证明。根据其定义的国家概念和着色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规律，从而给四色猜想一个书面证明。关键词：四色；猜想；证明；国家；着色中图分类号：O157.5 文献标识码：A 1852年，英国学者弗南西斯格思里(Francis Guthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。1976年，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Hake

2、n)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。1 四色猜想相关定义及表述方法四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界，只有这种交点的国家不需区分着色。四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平

3、面上。在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界，个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本命题的论证。如为单连通区域，国家里边将不存在内边界，如为多连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1示。

4、下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国圈。用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈，一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线条连接各处表示连通。把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭合圈围闭的区域，如图2示。其中，外闭合圈之外，一些邻国可能跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其它一个或多个邻国相邻，一些邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干邻国之间的连线，同理，每个内闭合圈之内也将可能存在若干邻国之间的连线。另外，邻国里边也许包含若干小区域，两国连邻时，共有边界也许不只一段，多段共有边界之间将存在若干小区域，相当于圆圈及连线里边可能包含

5、若干小区域，各小区域分别由若干国家组成，这些小区域并不影响对所需研究的国家及其邻国的着色讨论，因此，暂不予考虑。除了若干闭合圈围闭的阴影部分区域为所需研究的一收稿日期：2009-3-26作者简介：吴道凌，高级工程师，硕士个国家外，其它圈线围闭的若干区域可以不存在其它国家，也可以存在若干国家。这里未反映国家外可能存在的不属于任何国家的区域情况，对于这种情况，我们可把这种区域也当作国家，只是，如果这种区域有不相连通的多个时，为不与本猜想命题相左，这种区域的着色可不统一。根据国家及共同边界定义，这种表示两国相邻或一国连通的连线总是不相交的。2 一个国家及其邻国圈构色2.1 国链及三色圈的构色及链接规

6、律若干个国家以某种方式连接而成的构造形式简称构形，使构形相邻国家着上不同颜色的过程简称构色，最多只需三种颜色的构形简称三色构形。由若干个国家一个连接一个形成的一条区域链简称国链（用L表示），除首尾两国仅与一国连接外，其余各国均与另两国连接，当构成国链的国家个数为奇数个（包括一个）时，称为奇链，为偶数个时，称为偶链。现为国链构色，自左至右，当第一个国家着色A时，第二个国家可着色B，以后逢单着色A，逢双着色B，最后一个国家，奇链可着色A，偶链可着色B。由此可见，国链可以两种颜色构色。将上述国链的首尾相接即构成闭合国链，简称国圈，国圈上各国家之间，每一国仅与另两国连接。对国圈进行构色时，两色偶链首尾

7、着色不同，首尾相接时原来的着色即能满足要求；两色奇链首尾着色相同，不能满足国圈着色要求，但只要将首尾中的一个国家改变为第三种着色，国圈即可构色。因此，最多采用三种颜色即可对国圈进行构色。以后将最多只有三种构色的国圈称为三色圈（用S表示）。国链及国圈构色示意图如图3示。将一条国链的两端国分别与一个构形的一个国家连接，或与同一个国家连接，称为链接。如果链接的是一个三色构形，国链构色时在涵盖构形可能有的三色范围内选择颜色，自国链一端开始，受与之连接的构形一个国家的一个约束，首个国家只剩余两种选择，依此类推，倒数第二个也有两种选择，但最后一个多了一个来自构形的约束，如果这个约束与倒数第二个一致，那最后

8、一个仍有两种选择，如果这个约束与倒数第二个不一致，那最后一个仍有一种选择。因此，一条国链链接一个三色构形而成的新构形仍为三色构形，链接不需增加三色或三色以上构形的构色。图4示意了国链与一个三色圈的链接情况。三色圈链接一条国链后，新构形仍为三色构形，继续链接其它国链，构形仍保持为三色构形。将构造一个构形后剩余的区域叫余域（用Y表示）。可以看到，在一个无限平面或球面上，构造一个三色圈后，一般出现两个不相连通或相邻的余域，每个余域均由该三色圈围闭。一条国链链接三色圈后，根据定义，两个被链接国将把三色圈分为两段（当只有一个被链接国时，认为其中一段只有这一个国），分别与国链构成一个新三色圈，国链所在区域

9、构造国链后将再出现两个余域，分别被两个新三色圈围闭。在新构形的余域中再继续构造链接的国链，将可能再出现新三色圈围闭的新余域。当然，上述将区域一分为二的提法是不定的，如果三色圈或国链扩大到充满一个或两个余域，余域将只有一个或不存在，如果某些国家或连接线里面还有余域，余域将可以更多，但无论如何，每个余域均由三色圈围闭，且互不连通或相邻。2.2 邻国圈构色考察一个国家的外邻国圈。当邻国圈各国之间每国仅与另两国相接，邻国圈将是一个国圈，最多只需三种构色。但如上所述，一般邻国圈构成的闭合圈外，各邻国之间还可能存在其它连线，这些连线将不可能相交，可能的情况是多条连线层层包围，其中，最外围的一条连线将包围若

10、干个邻国和连线，其外再也不存在邻国之间的连线。把被最外围连线包围的邻国称近邻，一条最外围连线两端的邻国称被链接国，不存在这种跨邻国连线的邻国称邻国链，则一般邻国圈将由若干段近邻、被链接国和若干段邻国链连接而成，如图5（1）示， J1、J2、J3等为各段近邻（各段近邻内各邻国包括被链接国之间的可能连线未示），L1、L2、L3等为邻国链。在不改变各国构形的情况下，将图5（1）等效表示为图5（2），由于各被链接国与各邻国链等最外层邻国（统称远邻）之间每国均与另两国连接，因此，它们将共同构成一个三色圈（图中外圈），简称远邻圈，一般邻国圈可看作各近邻通过被链接国与一个远邻圈连接而成。其中，某段近邻（假设

11、图中J1）对应的两个被链接国如果同属一个邻国，则将其合并为一个表示。处于一条最外围连线范围内的一段近邻，各邻国之间的连线及与被链接国的连线同样不可能交叉，因此，一段近邻与三色圈的连接总可这样构成：自被链接国开始，逐一链接由部分邻国组成的国链。如图6示的一段近邻，就可参照图4与三色圈连接，连接后的构形仍为三色构形，各近邻和被链接国将构成若干三色圈围闭可能存在的各余域。依此类推构造其它近邻，最终形成的一个邻国圈将仍为三色构形，若干邻国围闭的可能存在的各个余域，包括先前暂未考虑的可能存在于各邻国或连线里边的余域，均由三色圈围闭。把若干近邻和被链接国构成的若干三色圈统称为近邻圈。同理可构造任一可能存在

12、的内邻国圈，同样，把其最内层邻国构成的三色圈称为远邻圈，其它邻国构成的三色圈称为近邻圈。因此，可得结论：推论一：任一国家，其所有邻国构成的邻国圈，将由最内和最外层邻国组成的若干远邻圈及其它邻国组成的若干近邻圈构成，所有邻国最多只需三种构色，可能存在的各个余域均由若干邻国组成的三色圈围闭。2.3 一个国家构色如上所述，将一个国家着上有别于其邻国圈的最多第四种颜色，将可满足着色要求。此时，该国家及其所有邻国总共最多只需四种构色，各余域由若干邻国构成的三色圈围闭。3 双圈构形及其构色在上述任一由三色圈S1围闭的余域中对另一可能国家及其邻国继续构色，同理，该国家的所有邻国将构成若干三色圈，围闭余域中剩

13、余的区域，其中，最外层邻国构成的三色圈S2将与S1共同围闭新余域，其它新余域全部由其自身邻国围闭，如图7示（其它可能三色圈未示）。S1、S2之间，各国家可能存在各种连接情况，部分或全部国家可能是两个三色圈的共同国家（简称共域），因此，S1、S2的着色不一定能够统一，S1、S2的组合构形不一定是三色构形，其中的新余域不一定由三色圈围闭。当S1、S2完全重叠时，全部国家均为共域，S1、S2为同一三色圈；当S1、S2之间各国完全不连接时，它们互不影响，各自可以统一的最多三种颜色构色，其中的新余域仍由三色圈围闭。而一般的组合构形，构色则比较复杂。由两个国圈及两圈之间各国的不同连接组合而成的构形称为双圈

14、。下面对各种可能的双圈构形及其构色予以研究。3.1 不可变构形及其连接如图8示，上下两条国链L1、L2，自左至右构造各链的国家及它们之间的连接。首先连接它们左端第一个国家组成基本链，而后在其右边每增加L1或L2一个国家时，该国总与L2或L1现有右端国连接，两条国链这种连接的构形称为不可变构形。不可变构形中不可能再添加国链之间的连接线，构形的这种连接称为充分连接。当所构造国家为L1、L2共域时，不可变构形终结，该共域为其单端域；或者当所构造国家不充分连接（即不与另一国链现有右端国连接）时，不可变构形也终结，构造该国前L1、L2各一个端国为其双端域。不可变构形两端不断构造国家，如果L1、L2闭合成

15、圈前两端分别出现上述终结情况之一，不可变构形将不闭合。本节讨论的就是这种不可变构形，其端部按国家个数不同（即具有单端域或双端域）分两种形式，端部部分国家的一般构造形式如图9示。由图8可见，用A、B、C三种颜色对不可变构形构色时，选定相邻两国构色后，以后连接的每国因总是受到前面两国的约束，在三色中能且只能有一种选择，因此，不可变构形是三色构形，且确定其中相邻两国构色后，在三色范围内每国的着色将不可变。另外，构形中的每个余域均由三个国家围闭，即由三色圈围闭。不可变构形两种端部形式的不同组合，将构成三类构形：两端单域、单双域各一端、两端双域。不可变构形是一种关联构形，即用A、B、C三色对其构色，指定

16、一端构色时，另一端的构色将受到关联而不能任意选择。根据不同类型及其两端构色的不同关联特点，不可变构形可分如下八种：同色构形、异色构形、双异构形、单异构形、顺单构形、错单构形、顺双构形、错双构形，其端部形式及构色特点如图10示。 构造不可变构形并以某种形式终结后，再继续构造不可变构形时，这种构形称为两个不可变构形的连接。如图11（1）示，不可变构形的连接有如下三种基本形式：单铰连接：两个不可变构形共有一个单端域。双铰连接：两个不可变构形的同链双端域连接。可变连接：两个不可变构形的单端域连接。另外，不可变构形还可能出现图11（2）示等连接形式，它们相当于在不可变构形之间或在上述一些基本连接部位链接

17、一个或一个以上国家，按照上面论述，这种链接不增加不可变构形或其连接构形构色，因此，研究不可变构形或其连接构形的构色时，可将所有国链链接构形先行约除，剩余的可能连接形式，就只有上述三种基本形式。双铰连接处的余域由四国围闭，如果这四国是三色圈，则必须至少有两国同色，且存在于对角，反之，如果有一个对角国同色，则双铰四国肯定是三色圈。因构成可变连接的两个单端域着色必定相异，因此，就其对不可变构形连接后的构色影响而言，两个单端域连接的构形（或称可变连接）等同于一个异色构形，反之，一个异色构形等同于一个可变连接。若干不可变构形的连接相当于将一个大的不可变构形的部分国家之间的连线去掉，未闭合前，仍为三色构形

18、，但前后两端着色的关联性将可能发生变化。如果选定一端构色后，另一端仍可任意构色，这种构形称为不关联构形，由三个及三个以上国家构成的国链就是一种不关联构形。对于关联性变化问题，这里先讨论一些单铰和可变连接的情形。如图12示，若干个同色构形通过单铰连接后仍为同色构形，一个异色构形和若干个同色构形通过单铰连接后仍为异色构形，两个（或多个）异色构形和若干个同色构形通过单铰连接后为不关联构形，因此，以后在研究这些连接后的构形一端着色对另一端的影响时，可根据关联性的一致性用等同的同色、异色或不关联构形表述。图中，阴影部分代表同色构形，可变连接代表异色构形，三个国家组成的国链等同不关联构形，在A、B、C三色

19、中，指定左端着色A，右端所标为可以选择的着色。不可变构形通过可变连接的情形等同于与异色构形的单铰连接。3.2 双圈构形对上述构造不可变构形或其连接的两条国链L1、L2继续构造国家，直至闭合构成双圈构形。同理，将不影响双圈构色的所有国链链接构形先行约除，双圈的一般构形将只有图13示三种形式：不可变双圈：不可变构形两端不断构造国家，两条国链分别闭合成国圈后，仍未出现共域，且所有国家均充分连接。双圈中所有余域均由三个国家围闭。可变双圈：由若干不可变构形通过单铰、双铰或可变连接并闭合构成的双圈。双圈中除双铰连接处的余域由四个国家围闭外，其它余域也由三个国家围闭。可约双圈：存在由两个国圈各多于两国围闭的

20、余域，或存在三个或三个以上连续共域的双圈。可约双圈可逐一约除国链，直至成为一个最简单的三色构形。3.3 双圈构色由上述构形可知，可约双圈可以三色构色，而另两种双圈却不一定可以三色构色，下面对这两种双圈的各种可能情况进行构色。3.3.1 可变双圈中不存在双铰连接的情况这种双圈存在若干单铰和可变连接，参照图12的等同构形可以发现，由若干同色构形通过单铰连接并闭合的双圈，或存在两个或两个以上可变连接（或异色构形）的双圈，均可以三色构色，除此之外不能三色构色的双圈，均可简化等同于一个同色构形两端通过可变连接闭合的情况。图14（1）表示一个同色构形通过两个单端域1、5可变连接构成的双圈。用三色构色时，1

21、、5同色，构形不能满足构色要求，注意1之后构造的2、3、4国家构色，因1、4分别与2、3连接，故1、4、5同色，设同着色A。图中4与3同属L2，将3着色D，它将不影响剩余其它构形采用A、B、C三色的构色，暂予忽略，如图14（2），因1、2是一个可变连接，整个构形必成为可约双圈，可以三色构色。其中，5逆时针至2、4的结构不变，4、5同色，设着色A，1、2分别着色B、C。因L1、L2的共域1、5及3在L2中的两个邻国1、4总共只有两种颜色A、B，故将L2中所有着色C的国全部更换着色D时，将不影响双圈构色，如图14（3）示。此时，双圈共需A、B、C、D四种构色，L1为A、B、C三色，L2为A、B、D

22、三色，均为三色圈，双圈中的所有余域均由其中三种颜色国家围闭。如4与2同属L1，则将2着色D，同理可得L2为A、B、C三色，L1为A、B、D三色等结论。由此可见，可变双圈中不存在双铰连接情况时，最多可以四色构色，且构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中余域由三色圈围闭。3.3.2 可变双圈中同时存在双铰和若干其它连接的情况如图15示，一个双异构形和任一不可变构形通过单铰和双铰连接成圈时，不可变构形在双铰处的两国总可选择A、B、C中的两色满足双圈构色，即双圈可以三色构色。上图不可变构形并不限制两端构色的关联性，因此，无论其中是否存在其它各种连接，结论总是成立。如将图中单铰更换为可变连接，即使所有不可变

23、构形均为单异构形，一个单异构形经过可变连接后必将构成一个等同双异构形。如双圈中存在异色构形，其关联性与可变连接一样。因此，可得到如下结论：存在双铰连接的双圈中，如果还存在可变连接、异色构形或双异构形时，可以三色构色。当不存在可变连接、异色构形或双异构形时，在所有双铰与其它连接的各种情况中，不能采用三色构色的除外可能情况为：双圈存在若干个双铰连接和一个单铰连接（若干单铰连接的同色构形可等同为一个单铰看待），单铰连接处的两个不可变构形均为单异构形。只有一个单铰、一个双铰连接的这种构形如图16示，其中，如采用三色构色，两个单异构形与单铰端同色的另一端域分别存在于L1和L2时，双铰处有对角同色国家，双

24、圈仍可三色构色，同时存在于L1或L2时，双圈无法用三色构色。当双圈存在一个单铰和两个双铰连接，且通过单铰连接的两个不可变构形均为单异构形时，即两个单铰连接的单异构形再通过两个双铰连接两端双域构形构成双圈，如图17示，通过组合可以发现，两端双域构形与其中一个单异构形双铰连接后的组合构形，多数等同于一个双异构形，少数等同于单异构形，但与另一单异构形的组合可如图16（1）示，因此，这种双圈均可以三色构色。 当存在多个双铰连接时，通过组合可以发现，任意两个两端双域构形双铰连接后可构成一个等同的顺单或错单构形。与上述同理，这种构形最终可等同于图15或图16（1）所示构形，因此也可以三色构色。因此，又可得

25、到结论：双圈中如存在一个单铰和多于一个双铰连接时，双圈可以三色构色。综上所述，存在双铰连接的双圈中，如果还同时存在若干个单铰或可变连接，只有图16（2）所示构形（包括含有多个同色构形的单铰连接情形）的双圈无法以三色构色，其它均可以三色构色。下面研究图16（2）双圈构色。注意其中一个单异构形在单铰端的1、2、3、4国，如图18（1）示，4与3同在L2上，对3着色D，它将不影响双圈其它各国用A、B、C着色，暂予忽略，1、2将成为可变连接，此时双圈可以A、B、C三色构色，如图18（2）示，对1着色A，另一单异构形双端域将出现着色A的国家，再将双铰的对角国也着色A。3在同一L2中只有1、4两个邻国，将

26、L2中有别于1、4着色的某一着色各国全部更换着色D（设4着色B，则选C），将不影响双圈构色，如图18（3）示，此时，双圈共需A、B、C、D四种构色，L1为A、B、C三色，L2为A、B、D三色，双圈中的所有余域均由其中三种颜色国家围闭。如4与2同在L1上，则将2着色D，同理可得L2为A、B、C三色，L1为A、B、D三色等结论。 由此可见，存在双铰连接的可变双圈中同时存在其它连接时，最多可以四色构色，且构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中余域由三色圈围闭。3.3.3 可变双圈中只存在双铰连接的情况先看只有一个双铰连接的情况，即一个两端双域构形通过一个双铰闭合构成双圈，如图19示。如果两端双域构形为错

27、单或错双构形，构成双铰的四个国家1、2、3、4将出现一对或两对对角同色国，双圈可以三色构色。此外的两端双域构形，即顺单或顺双构形，三色构色时双铰四国中将出现一对或两对同链同色国，双圈不可以三色构色。参照图19示端部部分国家的一般构造形式，顺双构形如图20（1）示（图中2着色B）；顺单构形同色两国为L1的1、3时，如图20（1）示（图中2着色C）；同色两国为L2的2、4时，如6至M不只一个国家时，如图20（3）示，如6即是M时，如图20（5）示。引入第四色D，上述双圈均可以四色构色，且双圈中所有余域均由三色圈围闭：图20（1）中，将3、4分别改着色D、A，L1中与1、5异色的C或B色国家全部改着

28、色D，如图20（2）（只显示部分端部国家）构成双圈，L1着A、D、B（或C）三色，L2着A、B、C三色；图20（3）中，将6、4分别改着色D、C， L2中全部B色国家改着色D，如图20（4）构成双圈，L2着A 、C、D三色，L1着A、B、C三色；图20（5）中，将3、4、5分别改着A、B、D，再将L1中与5两邻国异色的所有C或B色国家改着色D，如图20（6）构成双圈，L2着A 、B、C三色，L1着A、D、B（或C）三色。 存在两个双铰连接时，如图21（1）示。如果存在单同色构形（即顺单或错单构形），该单同色构形一端两国着色（设为B、C）必定与另一端某国着色（设为A）不同，如图21（2）示，将A

29、在双铰处的对角国也着色A，其所在构形在另一双铰端将至少有一国着色不为A，这可在另一双铰处构成至少一个B或C对角同色国，因此，这种构形可以三色构色。如果两个不可变构形均为双同色构形（即顺双或错双构形），由于它们通过一个双铰连接后必可构成单同色构形，这可看成一个单同色构形通过一个双铰闭合成圈，该组合单同色构形如为错单构形，则仍可三色构色；如为顺单构形（只有顺双、错双构形各有一个的情况才必须出现这种组合构形），设同色两端着色A时，组合单同色构形中的双铰必定出现着色A的对角同色国，令另一对角国不同色，如图21（3）示，引入第四色D，令组合构形的某端A国及对角同色A国保留不变，另一端A国及其它相关各国均

30、可参照上述一个双铰连接的形式重新构色，使构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中所有余域均由三色圈围闭。当双圈中存在多于两个双铰时，由于任意两个不可变构形通过双铰连接后将可构成一个单同色构形，如上所述，双圈将可以三色构色。由此可见，可变双圈中只存在双铰连接时，最多可以四色构色，且构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中余域由三色圈围闭。3.3.4 不可变双圈的情况往一个方向不断构造国家直至构成不可变双圈的全程中，如果L1、L2的国家总是交替出现且最终个数相同，这样构成的不可变双圈称为规则圈，否则，不可变双圈称为不规则圈，如图22示。双圈中任一国家总与同一国圈的两国连邻，此外，规则圈中，任一国家与另一国圈的

31、两国连邻，不规则圈中，将出现至少一个国家同时与另一国圈的三个或三个以上国家连邻，该国在双圈中至少有五个邻国。 现对不规则圈进行构色。图23（1）中显示了具有至少五个邻国的国家2及其邻国1、3、4、5、N，其中4、5、N至少有三个国家。令2着色D，它将不影响其它各国采用A、B、C三色的构色。其它各国的构形如图23（2）示，是5等国家通过4、N与不可变构形链接而成的可约双圈，因此，该构形可以A、B、C三色构色，且1、3最多只有其中两色。将L1中某种1、3异色的所有国家全部更换着色D，该构形及2的构色依然成立，如图23（3）示。最终，不规则圈最多可以四色构色，且构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中余域

32、由三色圈围闭。对于规则圈，对局部部分国家采用A、B、C三色构色，如图24（1）示，可以看到，一条国链中的任一色，自左至右每隔两个出现一个，两条国链各三国组成的构形构色不断循环出现，因此，如果一个国圈中国家个数为3n个时（n为1、2、3），这种规则圈可以三色构色。当一个国圈中国家个数为3n+1个时，假设起始基本链着色A、B，则两个国圈最后一个国家着色将分别也为A、B，它们与基本链之间无法连接构成规则圈，如图24（2）示。引入第四色D，先对图中虚线范围内“W”构形四个角的国家着色进行调整，下面两角A、B着色互换，上面两角更改着色D，然后将L1中其它所有B色国家更改着色D，如图24（3）示，两个三色圈可以构成规则圈，其中，L1着色A、C、D，L2着色A、B、C。当一个国圈中国家个数为3n+2个时，假设起始基本链着色A、B，则两个国圈最后一个国家着色将分别为B、C，它们与基本链之间无法连接构成规则圈，如图24（4）示。引入第四色D，将L1中所有B色国家更改着色D，如图24（5）示，两个三色圈可以构成规则圈，其中，L1着色A、C、D，L2着色A、B、C。由此可见，不可变双圈最多可以四色构色，且构成双圈的两个国圈为三色圈，双圈中余域均由三色圈围闭。综合上述