高二数学教案：8.1椭圆及其标准方程(一)

1、课题： 8 1 椭圆及其标准方程（一）教学目的：1理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3能由椭圆定义推导椭圆的方程4启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点： 椭圆的定义和标准方程教学难点： 椭圆标准方程的推导授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识， 能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技

2、能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系( 数形结合思想的具体表现) 仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲

3、线是平面解析几何研究的主要对象圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点， 并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习， 学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、 抛物线奠定了基础根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时 ，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时 ，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时 ，以椭圆为载体的动点轨迹方

4、程的探求教学过程 ：一、复习引入：11997 年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条彗星消 息 ，从 1997 年 2 月中旬起 , 海尔波普彗星将逐渐接近地球，过 4 月太阳以后 , 又将渐渐离去 , 并预测 3000年后 , 它还将光临地球上 空1997 年 2 月至 3 月间 , 许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，第 1页共 6页可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用， 指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课

5、的主题）2. 复习求轨迹方程的基本步骤：3手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 f1 , f2 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（ 1）轨迹上的点是怎么来的？（ 2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）二、讲解新课：1椭圆定义 ：平面内与两个定点 f1 , f2 的距离之和等于常数（大于| f1 f2|）的点的轨迹叫作椭圆 ，这两个定点叫做 椭圆 的焦点 ，两焦点 间的距离叫做椭圆的焦距注意 : 椭圆定义中容易遗漏的两处地方

6、：p（ 1）两个定点 - 两点间距离确定（ 2）绳长 - 轨迹上任意点到两定点距离和确定f1f2思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关( 为下面 离心率 概念作铺垫 )2. 根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点 f1 , f2 的直线为 x 轴，线段 f1 f2 的垂直平分线为y 轴设 p( x, y) 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c0 ） .则 f1 (c,0), f2 (c,0) ，又设 m与 f1 , f2 距离之和等于 2a( 2a 2c) （常数）

7、pp pf1pf22ay又 pf1( x c) 2y 2 ，pf1of2x( x c) 2y 2( x c) 2y 22a ，化简，得(a2c2 )x 2a2 y 2a2 (a 2c 2 ) ，由定义2a2c ,a 2c20令 a 2c 2b 2 代入，得b 2 x 2a 2 y 2a 2b 2 ，第 2页共 6页两边同除 a 2b 2得x2y 21a2b2此即为 椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是f1 ( c,0)f2 (c,0) ，中心在坐标原点的椭圆方程其中 a 2c2b2注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在 y轴上（选取方式不同，调换x, y

8、 轴）焦点则变成 f1 (0,c), f2 (0, c) ,只要将方程 x2y 21中的 x, y 调换，即可得a2b2y2x21 ，也是 椭圆的标准方程ya2b 2pf2理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐ox在 x2y2f1标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；1a 2b 2与 y 2x21这两个标准方程中，都有 ab0 的a 2b2要求，如方程x2y21(m0, n0, mn) 就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形mn式的标准方程， 可与直线截距式xy1 类比，如 x 2y 21中，由于 ab ，所以在 xaba 2b2轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上 (即看 x2 , y2 分

9、母的大小 )三、讲解范例：例 1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是 (-4,0) 、（4， 0），椭圆上一点p 到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（ 0， 2）和（ 0,2 ）且过（3,5 ）22解：（1 ）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x2y 21 ( ab0)a 2b 2第 3页共 6页2a10,2c8a5, c4b2a 2c252429所以所求椭圆标准方程为x2y2125 9 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为y2x21(a b 0)a2b2由椭圆的定义知，2a( 3 )2( 52) 2 ( 3 ) 2( 52)22222310

10、11021022a10又 c2b2a 2c 21046所以所求标准方程为y 2x21016另法： b2a 2c2a24可设所求方程y2x 21，后将点（3,5 ）的坐标代入可求出a ，从而求a2a 2422出椭圆方程点评：题（）根据定义求若将焦点改为(0,-4)、（ 0， 4）其结果如何；题（）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程； 其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程四、课堂练习：1 椭圆 x 2y21上一点 p到一个焦点的距离为5，则 p 到另一个焦点的距离为（）259a.5b.6c.

11、4d.102. 椭圆 x2y 21 的焦点坐标是（）25169a.( 5， 0)b.(0 ， 5)c.(0 ， 12)d.( 12，0)第 4页共 6页3.已知椭圆的方程为x 2y 2）81 ，焦点在 x 轴上，则其焦距为（m 2a.28m2b.22 2mc.2m28d.2 m2 24.a 6, c1, 焦点在 y轴上的椭圆的标准方程是5.方程 x 2y 21表示椭圆，则的取值范围是（）3sin( 2)4 .3 .88 .3 .88kk3(k ）882k2k3(k ）88参考答案：1.a 2.cy 2x 25. 3.a 4.13635五、小结：本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点

12、 :椭圆的定义中 ,2a 2c0 ；椭圆的标准方程中, 焦点的位置看 x ,y 的分母大小来确定； a 、 b 、 c 的几何意义六、课后作业 ：1判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c 的值 x 2y21； x2y21； x2y21 ； 4 y 29 x236224242答案： 表示园；是椭圆a2,b2, c2； 不是 椭 圆 （ 是 双 曲线 ）； 4 y29x 236 可 以 表 示 为 x 2y 21 ， 是 椭 圆 ，2 232a3, b2, c52x 2y2；若 cd 为过左焦点 f1 的弦，椭圆161的焦距是，焦点坐标为9则f2 cd 的周长为答案：2c27 ; 1 (

13、7 ,0),f2 ( 7 ,0);416fa第 5页共 6页3 方程 4x 2ky 21的曲线是焦点在y 上的椭圆，求 k 的取值范围答案： 0 k44 化简方程：x2( y 3) 2x2( y 3) 210答案： x 2y 211625x2y2上一点 p 到焦点 f1的距离等于6 ，则点 p到另一个焦点2的距离是5 椭圆1f10036答案： 46 动点 p 到两定点 f1(-4,0)， f2(4,0)的距离的和是8，则动点 p 的轨迹为 _答案： 是线段 f1 f2 ，即 y 0( 4x4)七、板书设计 （略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:( 口答 )(1)a=4,b=3, 焦点在 x轴； (2)a=5