第二章 波函数和薛定谔方程.ppt

1、第二章 波函数和Schrodinger方程,薛定谔,Erwin Schrodinger,(1887-1961),2.1 波函数的统计解释,波由粒子组成 波是大量粒子运动的表现（如水波），那么粒子流的衍射现象应该是粒子之间的相互作用形成的。 但是减少入射粒子流密度,让粒子近似地一个个从粒子源射出后仍有衍射现象 这种说法错误,波和它所描写的粒子之间到底是什么关系?,2.1 波函数的统计解释,自由粒子对应的波是平面波，平面波在整个空间传播，粒子充满整个空间？ 许多平面波的叠加对应粒子？ 在传播过程中发生色散 群速： 相速 发生色散，粒子解体,粒子由波组成，粒子=波包？,2.1 波函数的统计解释,波恩

2、：波函数的统计解释最正统,经典粒子,能量E 动量P 确定的轨道,干涉 衍射 物理量的周期分布,经典波,无确定轨道,出现几率的周期性分布,2.1 波函数的统计解释,Max Born真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来。 粒子用一波函数 来描述， 在t时刻，在 范围内，接收到粒子多少是与 成正比 如果 是归一化的，则表示接收到粒子的几率 当发射粒子非常稀疏时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为,波函数的统计解释,波函数 不是对物理量的波动描述。 其意义是，在 处发现粒子的几率正比于 波函数不代表物理实体，是一个几率波； 波函数不能告诉你，t时刻测量时

3、，粒子在什么位置，在任何位置都有一定的可能性 越大，说明在r处出现的几率越大,而不能确定测量的结果：到底出现在哪里,波函数的统计解释,如果有很多个全同的体系，在t时刻测量粒子的位置可能的结果是 则测得粒子在r1 r1dr的几率为,波函数的统计解释,波函数给出体系一个完全的描述(例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值和测得该能量值的几率等) 因此，可以说波函数描述了体系所处的量子状态。以 描述体系，就称体系处于 态，或称 为体系的态函数,波函数基本性质,的平方可积 除了个别孤立奇点外，波函数连续单值有界 在势能有限大小的间断处，波函数在该处的导数仍连续 不确定性: i) 表示同一个

4、态（归一化） ii)位相不确定性 （ ）：不影响几率 量子:几率性，计算平均值,波函数的归一化,在 处发现粒子的几率正比于 比例系数为C，,归一化波函数,归一化条件,归一化因子,归一化后， 才表示几率,波函数,平面波如何归一？ 能量连续 波函数在多粒子体系中的推广 粒子1位于,.,的几率是,2.2 态叠加原理,波函数的统计解释是粒子波粒二象性的表现（粒子的位置，动量取值的概率由波函数给出） 微观粒子的波粒二象性还可以通过态叠加原理表现出来 波函数的线性叠加 如果1， 2. n 是体系的一个可能态,则cnn 是体系的可能态，并称 为n态的线性叠加态。,2.2 态叠加原理,经典物理波遵从叠加原理

5、1，2a1b2 惠更斯原理：空间任意一点的P的光强可以由前一时刻波前上所有点传播来的光波在P点线性叠加而得 干涉、衍射,2.2 态叠加原理,量子力学的叠加原理 波函数是可能性和概率 干涉项的概率性 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同粒子之间的干涉,2.2 态叠加原理,波叠加原理的表述 如果1，2是体系可能的状态则 c11+ c22也是这个体系可能的状态 在中,体系处于1，2 态的几率分别是c12和c22,干涉项,2.2 态叠加原理,波叠加原理的表述 如果1， 2. n 是体系的一个可能态,则 cnn 是体系的可能态，并称 为n态的线性叠加态。 在中,体系处于1，2. n态的几率分别是c1

6、2，c22 cn2 任何时候观测到的都是一整个粒子,而不是cn2个粒子 =概率相干 线性叠加：叠加次序不重要,动量几率分布函数,以确定P运动粒子的波函数 按照态叠加原理，粒子的状态可由不同p值的平面波的线性叠加,坐标表象和动量表象,互为傅立叶变换，是波函数的两种不同的描述方式,以动量为自变量：动量表象,以坐标为自变量：坐标表象,C(p,t) 2：t时刻粒子具有动量p的几率 处在(r,t) 的粒子,动量无确定值,2.3 薛定谔方程,经典力学 牛顿方程 线性方程 二阶全微分方程，只有一个独立变量t 唯一性 方程系数不含状态参数，有普适性,量子力学 ？方程,2.3 薛定谔方程,量子力学 线性方程(态

7、叠加原理的直接要求) 系数不含状态参数（动量，能量） t，x，y，z均为变量=偏微分方程 解唯一性 h进入方程式 h0，牛顿方程,2.3 薛定谔方程,由波函数已知的自由粒子导出方程的可能形式 自由粒子 已知解=方程式(不唯一),2.3 薛定谔方程,由波函数已知的自由粒子导出方程的可能形式,动量算符,能量算符,力学量用 算符表示!,2.3 薛定谔方程,自由粒子,如果有势场,薛定谔方程！ 波动方程,量子力学基本假定 方程得到的结论和实验比较进行验证 波函数不用正弦、余弦形式 表征量子体系特征的量h进入了方程,2.3 薛定谔方程,一般情况:,推广:,同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学算符表示,

8、注意！,2.3 薛定谔方程,动量在直角坐标中先用分量表示，再代入算符表示； 如果出现的物理量为 则取 只在直角坐标中适用，先用直角坐标表示，然后用动量算符替换动量分量，最后再换到其他坐标,注意！,2.3 薛定谔方程,薛定谔方程的两个惯例 只在直角坐标中适用 将H分成三部分: 与坐标无关的动量二次式 只依赖于坐标的函数,2.4 粒子流密度和粒子数守恒,在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率不随时间变，即 因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动包含在薛定谔方程中,2.4 粒子流密度和粒子数守恒,粒子数守恒定律,2.4 粒子流密度和粒子数守恒,体积v中粒子出

9、现概率的变化率,矢量J在体积V的界面S上法向分量的面积分,J为概率流密度矢量 体积v中增加的概率v外部穿过边界S流进v的概率,2.4 粒子流密度和粒子数守恒,无限远处波函数为0,在整个空间内，找到粒子的概率与时间无关,所以波函数可以归一化！,为什么在空间找到粒子数的总几率与t无关？,质量：量子力学中的质量守恒,电量：量子力学中的电量守恒,2.4 粒子流密度和粒子数守恒,由于概率密度和概率流密度连续 波函数的标准条件 有限 连续 单值,2.5 定态薛定谔方程,定态：U=U(r,t)=U(r), 不显含t,可用分离变数法求特解,时间的函数,位置的函数,不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。,2

10、.5 定态薛定谔方程,角频率确定 E为体系所处状态的能量 能量具有确定的值定态 定态中概率密度和概率流密度都与时间无关,哈密顿算符,2.5 定态薛定谔方程,由于波函数为几率波，加上一些特殊的边界要求，能满足方程的解就只有某些E值，分立的值En，而测量值只能是这方程有非零解所对应的值,本征方程,算符H的本征值,属于本征值E的本征函数,2.5 定态薛定谔方程,体系在初始时刻（t0）处于一定能量的本征态n，则在以后任何时刻，体系都处于这一本征态上，即 。它随时间变化仅表现在e指数上 体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。 几率流密度矢，不随时间变化,2.5 定态薛定谔方程

11、,任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随时间变化。 任何不显含 t 的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。,2.6一维无限深势阱,令,由波函数连续性 在xa时,n为正偶数,n为正奇数,波函数归一化,在xa时，0,2.6一维无限深势阱,是驻波：由两个沿相反方向传播平面波叠加而成 粒子被束缚在阱中：束缚态，能级分立 能量最低的态为基态 本征函数的奇偶性由势 能函数的对称性决定 n有n-1个节点,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,2.6一维无限深势阱,思考 如果势阱的宽度突然或者缓慢变化粒子的波函数如何变化？,例题：一维无限深方势阱中粒子的动量分布,连续性条件,归一：,基态n1,例：电子处于基态，

12、阱壁突然变化后电子处于基态的几率,阱壁突然变化，状态来不及变化,留在基态的几率,2.7 线性谐振子,势场在平衡位置附近展开 U(x)k(x-x0)2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动，理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生，湮灭算符,2.7 线性谐振子,势能 在平衡点附近的运动 经典力学中谐振子的运动是简谐振动 X=asin(t+) 量子力学中？,2.7 线性谐振子,令,无量纲变量,看方程在两边边界上的渐进行为： 使函数在中间取值范围内有与渐近行为相同的形式,思路,正号舍去,1、看方程在两边边界上的渐近行为：

13、 2、使函数在中间取值范围内有与渐近行为相同的形式,H()需在有限时有限，在趋于时使有限,3、求级数解，找递推关系，把H展开成的幂级数 4、看解在无穷远处的渐近行为，级数必须含有有限项才能使有限：无限求和截断为有限的多项式 5、求出波函数=归一化,解方程思路,2.7 线性谐振子,递推关系,当,当 很大时，H()中第+2与第项系数之比,当 很大时， 中+2与项的系数之比,很大时，两个函数行为相当， 要使级数有限，必须在某个项中断,2.7 线性谐振子,2.7 线性谐振子,Hn为厄密多项式 n为多项式的最高幂次,零点能,2.7 线性谐振子,波函数正交归一,厄密多项式的递推关系,对称性,n为宇称,节点

14、：,有n个根，n个节点,2.7 线性谐振子,2.7 线性谐振子,一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并 一维束缚态波函数可取为实数 能量本征函数性质（x） EU, (x) Asin(kx+) 震荡解 EU, (x) exp(-x)指数衰减解 节点数: 基态无节点,第n个激发态有n个节点 对称性: 若U(x)=U(-x)，波函数可具有确定的宇称 本征函数正交归一,一维薛定谔方程的普遍性质,一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并,假设1，2都是能量本征值E对应的波函数：简并,束缚态：无穷远处波函数为0,一维束缚态波函数可取为实数,为实数,维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并,波函数相差一个实位相，表示同一个状态 取0，,2.8 势垒贯穿,前面有堵墙，怎么走？ 经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走 势垒能不能穿透？几率？与势垒高度和宽度有什么关系？ 什么条件下全透射无反射?,2.8 势垒贯穿,1、EU0,2.8 势垒贯穿,1、EU0,波函数连续 波函数的一级导数连续,反射,透射,2.8 势垒贯穿,1、EU0,入射波概率流密度,反射波概率流密度,透射波概率流密度,2.8 势垒贯穿,反射系数,透射系数,1、EU0,2.8 势垒贯穿,2、EU0,2.8 势垒贯穿,2、EU0,如果粒子的能量和U0相比很小，使k3a1,势垒高度