控制系统的时域分析法

1、第三章 控制系统时域分析法,动态性 3.1 典型系统的瞬态响应及性能指标 3.2 零、极点对系统响应的影响 稳态性3.3 反馈控制系统的稳态误差 稳定性3.4 劳斯-霍尔维茨稳定性判据,瞬态响应（动态响应） 是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起，到稳 定状态为止，随时间变化的过程。 瞬态响应分析方法： 1. 直接求解法 一阶和二阶系统 2. 间接评价法 高阶系统 3. 计算机仿真法 高阶系统,3.1 系统的瞬态（动态）响应及性能指标,1、阶跃信号,3.1.1 典型输入信号,当A=1时，则称为单位阶跃信号。,2、斜坡信号,当A=1时，则称为单位斜坡信号。,3、抛物线信号,当A =1时，则称

2、为单位抛物线信号。,4、脉冲信号 单位脉冲信号的表达式为：,当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称 d(t) 函数)。,其中A为幅值，w =2p/T为角频率。,5、正弦信号,系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。,3.1.2 系统性能指标,1、最大超调量sp响应曲线偏离稳态值的最大 值，常以百分比表示，即,最大超调量说明系统的相对稳定性。,2. 峰值时间tp响应曲线到达第一个峰值所需的 时间，定义为峰值时间。 3.延滞时间td响应曲线到达稳态值50%所需的时间，称为延滞时间。,4. 上升时间tr反映动态初期的快慢，有2种定义： (1) 响应曲线

3、从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。 一般对有振荡的系统常用“(2)”，对无振荡的系统常用“(1)”。,5. 调整时间ts响应曲线从零开始到进入误差 允许范围内所需时间。 误差允许范围通常用稳态值的绝对百分数给出，如稳态值的95%105%（或98%102%。,1、一阶系统的瞬态响应,3.1.3 瞬态响应分析阶跃输入作用下,其中 是开环时间常数，K为开 环放大系数。,开环传递函数为,该一阶系统的闭环传递函数为,其中,(T0)为闭环系统时间常数,闭环放大系数。,取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为,r(t)=1(t)或R(s)=

4、1/s，输出响应的拉氏变换为：,1）响应的稳态值 所谓稳态，就是在t时，输出响应的值,K越大，c()越 1,但K不可能为无穷大，表明系统存在稳态误差,系统的时间常数为,2）响应的瞬态过程,对响应c(t)求导数,单调下降，即表明在t=0时c(t)变化率最大,当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值,t = T， c(1T) = 0.632 c() t = 3T， c(3T) = 0.950c() t = 4T， c(4T) = 0.982c() 响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差）的时间后进入稳态。所以ts=3T （5%误差）或ts= 4T （2%误差）,3）稳定性 当T0,系统发散，

5、不稳定,结论：,动态没有超调，即sp0； ts3T（95） 或 ts4T（98） tr=2.2T （10%到90%） td=0.69T 其中,当闭环系统传递函数的极点为正数（即T0)时，系统不稳定。,存在稳态误差，K越大，稳态误差越小,闭环系统时间常数,2、二阶系统的阶跃响应,其中z 称为阻尼比，wn称为无阻尼自然振荡频率.,r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输出响应的拉氏变换为：,二阶系统的特征方程为,当 1,当 1,为两个不相等的实数根,为两个相等的实数根,当01时,为一对共轭的复数根,其中,称为有阻尼振荡频率,当 0,为一对共轭的虚数根,当0,1）z ，称为过阻尼情况 此时，系统有两

6、个不相等的实数根为,拉氏反变换,对于单位阶跃输入,响应曲线如图,稳态：c ()=1 e ()=0 特征：无超调；,其中有两项为指数衰减，,靠近虚轴，起主导作用,靠近虚轴的极点1对系统响应影响更大一些。,例,如果z ,系统可近似为一阶环节，极点为,实际上一般误差精度情况下，当1.5时，系统可近似为一阶环节。,2） z =，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn 根的分布如图,系统输出的拉氏变换为,取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为,特征：它既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程；且一般上升速度比过阻尼快。 稳态误差也为零。,响应曲

7、线如图所示，,3）0 1，称为欠阻尼情况 有一对共轭复数根,式中,称为有阻尼振荡频率。,单位阶跃信号r(t)=1(t)时，系统输出的拉氏变换为,对上式求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)：,令,那么,根的分布为,特征： 它是一衰减的振荡过程； 其振荡频率就是有阻尼振荡频率d； 而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数和 n决定。,系统的误差为：,当t时，稳态误差e ()。,s1,2= jwn,4） =，称为无阻尼情况 系统的特征根为一对共轭虚根，即,此时单位阶跃响应为,特征： 它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn 。 没有稳态，称为临界稳定,5）z

8、 -1时，系统呈振荡发散； 当z-1时，系统呈指数发散；,根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位 阶跃响应曲线族,如图所示。,由图可见，在特定z值下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计成欠阻尼系统。,3、欠阻尼二阶系统的性能指标,1）上升时间tr（从0到100%c()） 令c(tr)=1，就可求得,结论： tr与有阻尼振荡频率wd成反比。因此wd应当越大越好。 一定，wn必须加大； 若wn为固定值，则越小，tr也越小。,2）峰值时间tp,对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到,结论：峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比； 当wn一定, 越小，tp也越小。,到

9、达第一个峰值时，n=1,所以,3）最大超调量sp,t= tp代入上式，可得到最大百分比超调量,结论： 最大百分比超调量完全由决定； z越小，超调量越大。 当z =时，sp %= 100%， 当z =时，sp % =。,4） 调节时间ts,根据调节时间ts的定义,其中为误差范围,是衰减曲线的包络线，所以上式可写为,对上式两边求自然对数可得,取0.02时，,取0.05时，,如果z 0.9范围内，,0.02,如果z 0.9范围内，,或,或,二阶结论：,如何选取z和wn来满足系统设计要求，总结几点如下： 当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts则应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过

10、大。 增大wn ，能使tr ， tp和ts都减少。 最大超调量sp只由z决定, z越小，sp越大。 所以，一般根据sp 的要求选择z值，通过调整系统的n ，改变调整时间ts ;在实际系统中，z值一般在0.40.8之间.,例 已知系统的方块图如图所示。要求系统的性能指标为p20%，tp1秒。试确定系统的K值和A值，并计算过渡过程的特征量tr 、 ts值。,与具有标准形式的传递函数相比较得,首先由给定的p求取相应的阻尼比，即由,解得0.456,及,解：闭环传递函数为,其次由已知条件tp1求取无阻尼自然振荡频率n， 即由,解得n 3.53弧度/秒,再次由,解得K12.5,以及由2 n 1KA解得,最

11、后计算得,初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r(t)的作用下,3.1.4 线性定常系统重要特性,重要特性 当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数； 当系统输入信号为原来输入信号的积分时，系统的输出为原来输出的积分；积分常数由零初始条件决定。,其拉氏变换为,系统的输出为,若系统的输入为,那么,可以利用已求出的阶跃响应求脉冲响应和斜坡响应。,以一阶系统为例,阶跃响应为,脉冲响应为,斜坡响应为,线性时变系统和非线性系统都不具有此特性。,C为积分常数,解出,所以斜坡响应为,3.2 零极点对二阶系统响应的影响,式中q+2l=m，k+2r=n。,实际的控制系统，多数是高于二阶

12、的系统，即高阶系统。高阶系统的传递函数一般可以写成如下形式,将上式写成为零极点的形式，则,高阶系统的响应是由惯性环节和振荡环节(二阶系统)的单位阶跃响应构成; 各分量的相对大小由系数Ci、Ai、和Bi决定；所以了解了各分量及其相对大小，就可知高阶系统的瞬态响应。,不失一般性，若没有重极点，则,当某极点-pi靠近零点，而远离其它极点和原点，则相应的系数Ci越小； 若一对零极点互相很接近，则在输出c(t)中与该极点对应的分量就几乎被消除。,当系统是稳定的， 各分量的衰减快慢由-pi、 zniwni决定，也即系统极点在S平面左半部离虚轴越远，相应的分量衰减越快。 各分量所对应的系数决定于系统的零、极

13、点分布。,若某极点-pi远离零点、越接近其它极点和原点，则相应的系数Ci越大；该瞬态分量影响也就越大。 系统的零点、极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。 结论： 对于系数很小（影响很小）的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计。 将靠近虚轴衰减慢的极点称为主导极点。,例如以下一个五阶系统,可近似看成以s1、s2为主导极点的二阶系统。,3.3 反馈控制系统的稳态误差,稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统反馈值与希望输出值之间的最终偏差； 稳态误差是指系统对典型输入信号（包括扰动信号）作用下的稳态误差； 稳态误差受什么因素影响，如何降低系统的

14、稳态误差；,3.3.1 稳态误差的概念,1、稳态误差定义： 如图,对于单位反馈系统，稳态误差可写为,稳态误差定义为,误差的定义e(t),误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数为,根据终值定理，稳定系统的稳态误差为,稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关。,当输入信号的形式确定后，系统的稳态误差将只取 决于系统的结构和参数。,2、控制系统按积分环节数分类,若控制系统的开环传递函数为,说明系统有N个积分环节串联，或表示在s=0处，有N重极点，因此称系统为N型系统。 当N=0， 1， 2，时，则分别称之为0型、 1型、 2型系统,3.3.2 稳态误差的计算,计算不同参考输入信号时的稳态误

15、差 1、单位阶跃输入 系统参考输入为单位阶跃函数，R(S)=1/s,令,称Kp为位置误差系数,对于0型系统：N0,开环放大系数,这种没有积分环节的0型系统，阶跃输入的稳态误差为一固定值 K愈大，ess愈小 ，称为有差系统 。,对于1型系统或1型以上系统：N1,对阶跃输入而言, 1型系统或1型以上系统没有稳态误差；,0型系统可通过增大K值减小稳态误差或增加型号数消除稳 态误差。,2、单位斜坡输入,令,称Kv为速度误差系数，此时,对于0型系统：N0,这种没有积分环节的0型系统，对于等速度输入(斜坡输入)不能紧跟，最后稳态误差为；,对于1型系统：N1,开环放大系数,具有单位反馈的1型系统，其输出能跟

16、踪等速度输入，但 总有一定误差；其稳态误差与K成反比。,对等速度输入而言,2型系统或2型以上系统没有稳态误差； 对等速度输入，要使系统稳态误差定或为零，必需N1。 也即必须有足够的积分环节数。,对于2型系统或2型以上系统：N2,2、单位抛物线输入,令,称Ka为加速度误差系数，此时,对于0型或1型系统：N0，1,0型或1型系统，对于等加速度输入(抛物线输入)不能紧跟，最后稳态误差为；,对于2型系统：N2,开环放大系数,具有单位反馈的2型系统，其输出能跟踪等加速度输入，但 总有一定误差；其稳态误差与K成反比。,对等加速度输入而言,3型系统或3型以上系统没有稳态误差； 对等加速度输入，要使系统稳态误

17、差定或为零，必需N2。 也即必须有足够的积分环节数。,对于3型系统或3型以上系统：N3,小结 应当记住位置误差、速度误差和加速度误差这些术语意味着稳态时在输出位置上的偏差。,例 已知两个系统如图 所示，当参考输入为 时，试分别求出两个系统的稳态误差。,解 :系统a为1型系统， 其Ka=0，不能跟随r(t)的3t2分量， 所以 ess= 系统b为2型系统， 其 Ka= K=10/4， 所以 ess =6/ Ka= 2.4 当输入为阶跃、斜坡和抛物线函数的组合时，抛物线函数分量要求系统型号最高；计算稳态误差应按最高阶输入形式计算。,3.3.3 主扰动输入引起的稳态误差,假如主扰动n(t)的作用点如

18、图所示：,例,分别计算当r(t)和n(t)为阶跃输入时的系统稳态误差 解：,系统为I型系统，当r(t)=1(t)时，稳态误差为零，即,当n(t)=1(t)时,稳态误差不为零,若,当n(t)=1(t)时,对于扰动的稳态误差等于零,系统还是I型系统，当r(t)=1(t)时，对于参考输入稳态误差 仍然为零，即,扰动引起的稳态误差 不仅与积分环节有关； 而且还与积分环节所在位置有关。,若扰动为阶跃函数n(t)=1(t)，则,当,扰动作用点以前的系统前向通道传递系数G1(0)越大， 由一定扰动引起的稳态误差就越小。 对于要求无差系统，应该扰动作用点以前的G1(s)中包 含积分环节，才能保证稳态误差为零。

19、,结论： 关于降低或消除稳态误差的问题,降低参考输入引起稳态误差的措施： 增大系统开环传递系数可减小有差系统的稳态误差； 增加开环传递函数中积分环节数，使系统型号提高，可消除有差系统的稳态误差； 降低扰动引起稳态误差的措施： 增大扰动作用点以前的前向通道传递系数以降低有差系统由扰动引起的稳态误差。 增加扰动作用点以前的前向通道中积分环节数，使系统型号提高，可消除有差系统由扰动引起的稳态误差；,3.4 稳定性,明确稳定性的含义 明确线性系统稳定性的充要条件 劳斯判据 两种特殊情况如何处理 劳斯判据的应用,3.4.1 稳定性的概念,摆的示意图 平衡点“a” 稳定的平衡点； 平衡点“d” 不稳定的平

20、衡点； 稳定性与初始位置有关。,运动小球 平衡点“a”：当小球的起始偏差不超出区域d、e,为稳定平衡点 当小球的起始偏差超出区域d、e,为不稳定平衡点,稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界输入无关。 稳定性的定义有很多种，介绍两种： 定义一： 在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。此时系统 称为有界输入有界输出稳定，简称BIBO稳定。 定义二： 就是指系统当扰动消失后，若系统能够恢复平衡状态，则 称系统是稳定的；若扰动消失后不能恢复平衡状态，而偏 差越来越大则称系统是不稳定的。 表征了系统由初始偏差状态回复平衡状态的性能。,1、稳定性的定义,系统稳定性可按齐次微分方程式来分析。,这时，在

21、任何初始条件下，若满足,则称系统是稳定的。,(*),2、线性系统稳定的充要条件 假如单输入单输出系统是由输入输出微分方程式来描述的,设上式有k个实根pi (i1，2，k)， r对共扼复数根(iji) ，(i=1，2，r)，且k+2r=n，则齐次方程的解的 一般式为,式中系数Ai、Bi和Ci由初始条件决定。,若所有pi0，i0(即都是负数)，则(*)满足，系统最终能恢复至平衡状态，所以是稳定的 ; 或所有pi0，i0，i0，则系统仍是稳定的，输出按指数曲线衰减； 若pi或i中有一个或一个以上是正数，则条件式(*)不满足，t时偏差越来越大，系统是不稳定的; 只要pi中有一个为零，或i中有一个为零(

22、即有一对虚根)，则式(*)不满足，系统输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态。这时称系统处于稳定的临界状态。 线性系统稳定的充分必要条件是： 所有的特征根均为负数或具有负的 实部。也就是它的所有极点均在S 平面的左半部分。,3.4.2 劳斯（Routh）稳定性判据,1、系统稳定性的初步鉴别 已知系统的特征方程式如下：,式中所有系数均为实数；并设an0，线性系统稳定的必要条件 是所有系数均为正数 。 如果有负系数或零系数，系统就不稳定,设an.0，各项系数均为实数。,2、劳斯判据 1877年提出的代数判据 ，无需求解特征方程。,sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 a

23、n-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 sn-2 d1 d2 d3 s1 f1 s0 g1,表中,直至bi项均为零，再计算下一行,1）列写劳斯表,2）考察劳斯表左端第一列各数的符号,直至ci项均为零； 依次计算，直到算到s0行为止。,sn an an-2 an-4 sn-1 an-1 an-3 an-5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 s0 g1,线性系统稳定的充分与必要条件是： 劳斯行列表左端第一列各数均为正数。,若各数均为正数，系统稳定； 若有负数，系统不稳定； 第一列符号变化的次数，即为右半平面极点的个数,为了数学上运算简化，可以

24、将一行中所有各数均乘一个正整数，不影响稳定性判断。,例 设有下列多项式：,用劳斯判据判断系统的稳定性 。,s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 1 5 s1 -6 s0 5 系统不稳定； 且有两个不稳定根；,例 设有下列多项式：,用劳斯判据判断系统的稳定性。,s4 1 1 1 s3 3 3 0 s2 0 1,s1 (3-3)/ s0 1 因为(3-3)/0,所以系统不稳定； 且有两个不稳定根；,当某行第一列元素为零，而其余元素不全为零时，将第一列零元素设为， 为非常小的正数。,例 设有下列多项式：,用劳斯判据判断系统的不稳定根的个数。,s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 0

25、0 0,s2 24 50 s1 112.7 0 s0 50 只有一个不稳定根；,当某行出现全零行时，将建立辅助多项式。,8 96 0,出现全零行时意味着存在关于原点对称的极点,以全零行上一行系数建立辅助多项式P(s),前面三个例子就是已知系统，分析其稳定性系统分析； 当一个系统某些参数可调整，根据稳定性的要求确定参数 范围系统设计 ；,3、稳定裕量的检验 相对稳定性：是指在稳定的情况下有多少稳定裕量。 特征方程的左半平面的根越靠近虚轴稳定性越差，稳定裕量越小，相对稳定性越差；,即把虚袖左移a,将上式代入特征式，得以z为变量的新的特征方程式， 然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s=-a)的右边。 如果所有根均在新虚轴的左边(新劳斯行列表第一列均为正数)，则说系统具有稳定裕量a。,可移动s平面的坐标轴，然后再应用劳斯判据。 令 s=z-a,例 要使系统稳定，试确定K的范围,解：首先写出闭环特征方程,s4 1 3 K s3 3 2 0 s2 7/3 K s1 2-9K/7 0 s0 K,要使系统稳定，必须第一列所有元素为正，,例 检验特征方程式，2s3+10s2+13s+4=0 是否有根在右半平面，并检验有几