数学物理方法课件：14_2 分离变量法－1维热传导_第1页
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文档简介

1、分离变量法,将解表示为 时间函数X(x)空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数控制方程。 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)Tn(t),必须是线性问题，叠加原理才成立；,基本步骤： 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。,分离变量法：均匀杆的热传导问题,问题设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布为 ，求杆上的温度变化规律。,定解问题,假设：(1)杆圆周表面绝热，(2)等截面

2、处温度相等，那么，此问题为一维热传导问题,两端温度不变的杆的热传导问题,采用分离变量法求解：,边界条件,固有值问题：和两端固定弦振动方程的固有值问题相同,两端温度不变的杆的热传导问题,该边值问题的固有值为： 固有函数为：,初始值问题，关于T(t)的方程,两端温度不变的杆的热传导问题,则定解问题的解为 由初始条件得,算例：原始温度分布,x,T,u(x, 0),算例：系数cn随n的变化,n,log10(cn),算例：温度变化图n=30,x,u,t=0,t=10s,t=20s,t=30s,t=40s,算例：中点的温度变化,t,u(0.5l, t),杆的热传导问题：改变定解条件,改变边界条件：一个或两

3、个为第二类或第三类边界条件； 这种定解问题的求解方法与上述问题相同； 一般地，固有值与固有函数会发生改变。,假设：杆表面绝热；等截面处温度相等。,绝热,绝热,两端绝热杆的热传导问题,问题下面考虑杆的两端 处绝热，初始温度分布为 ，并且无热源的有限长杆的热传导问题，定解问题为,两端绝热杆的热传导问题,使用分离变量法求解：,两端绝热杆的热传导问题,（1）当 时，方程没有非平凡解。 （2）当 时，方程有解 （常数），是特征值吗？ （3）当 时，方程有如下形式的通解：,两端绝热杆的热传导问题：解,该边值问题的固有值为： 固有函数为：,时间函数方程,两端绝热杆的热传导问题,则定解问题的解为 由初始条件得,两端绝热杆：算例,x,T,x,u,t=0,

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