等腰三角形难题

1、等腰三角形补充练习一选择题（共3小题）1在abc中，b=30，点d在bc边上，点e在ac边上，ad=bd，de=ce，若ade为等腰三角形，则c的度数为（）a20b20或30c30或40d20或402如图，网格中的每个小正方形的边长为1，a、b是格点，以a、b、c为等腰三角形顶点的所有格点c的个数为（）a7个b8个c9个d10个3如图所示，在abc中，ab=ac，bad=，且ae=ad，则edc=（）abcd2 填空题（共14小题）5 在同一平面内，已知点p在等边abc外部，且与等边abc三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则apc的度数为 6 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的

2、夹角为45，则这个三角形的底角为 7 有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是 度8如图，bac=（090），现只用4根等长的小棒将bac固定，从点a1开始依次向右摆放，其中a1a2为第1根小棒，且a1a2=aa1，则角的取值范围是 9如图，在abc中，ac=bcab，点p为abc所在平面内一点，且点p与abc的任意两个顶点构成pab，pbc，pac均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点p的个数为 个10如图所示，abc为等边三角形，aq=pq，pr=ps，prab于r，psac于s，则四个结论正确的是 p在a的平分线上； as=a

3、r； qpar； brpqsp11如图，在aba1中，b=20，ab=a1b，在a1b上取一点c，延长aa1到a2，使得a1a2=a1c；在a2c上取一点d，延长a1a2到a3，使得a2a3=a2d；，按此做法进行下去，an的度数为 12 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为 13如图，等边三角形abc中，d、e分别为ab、bc边上的两动点，且总使ad=be，ae与cd交于点f，agcd于点g，则= 14如图所示，在abc中，ab=ac，bac=80，p在abc内，pbc=10，pcb=30，则pab= 15线段ab和直线l在同一平面上则下列判断可能成立

4、的有 个直线l上恰好只有个1点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个2点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个3点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个4点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个5点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个6点p，使abp为等腰三角形16如图，abc为正三角形，面积为sd1，e1，f1分别是abc三边上的点，且ad1=be1=cf1=ab，可得d1e1f1，则d1e1f1的面积s1= ；如，d2，e2，f2分别是abc三边上的点，且ad2=be2=cf2=ab，则d2e2f2的面积s2= ；按照这样的思路探索下去，dn，en，fn分别是abc三

5、边上的点，且adn=ben=cfn=ab，则sn= 17 已知等腰abc的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 18如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 度2017年08月23日139*2832的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共4小题）1（2016秋资中县期末）在abc中，b=30，点d在bc边上，点e在ac边上，ad=bd，de=ce，若ade为等腰三角形，则c的度数为（）a20b20或30c30或40d20或40【解答】解：如图所示，ad=bd，b=30，adc=60，de=ce，可设c=edc=，则ade=60，aed=2，根据三角

6、形内角和定理可得，dae=120，分三种情况：当ae=ad时，有60=2，解得=20；当da=de时，有120=2，解得=40；当ea=ed时，有120=60，方程无解，综上所述，c的度数为20或40，故选：d2（2016春乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，a、b是格点，以a、b、c为等腰三角形顶点的所有格点c的个数为（）a7个b8个c9个d10个【解答】解：如图所示，以a为圆心，ab长为半径画弧，则圆弧经过的格点c3、c8、c7即为点c的位置；以b为圆心，ab长为半径画弧，则圆弧经过的格点c1、c2、c6、c4、c5即为点c的位置；作线段ab的垂直平分线，垂直平分线没有经过格

7、点故以a、b、c为等腰三角形顶点的所有格点c的个数为8个故选（b）3（2015天心区校级自主招生）如图，已知等边abc外有一点p，p落在bac内，设p到bc、ca、ab的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3h1=6，那么等边abc的面积为（）a4b8c9d12【解答】解：设等边三角形abc的边长为a，连接pa、pb、pc，则spab+spacspcb=scab，即ah1+ah2ah3=，a（h2+h3h1）=，h2+h3h1=6，a=4，scab=12，故选（d）4（1998杭州）如图所示，在abc中，ab=ac，bad=，且ae=ad，则edc=（）abcd【解答】解：根据题意：在ab

8、c中，ab=acb=cae=adade=aed，即b+edc=c+edc化简可得：=2edcedc=故选a二填空题（共14小题）5（2016江西模拟）在同一平面内，已知点p在等边abc外部，且与等边abc三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则apc的度数为15或30或60或75或150【解答】解：根据点p在等边abc外部，且与等边abc三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：ap1c=15，ap2c=30，ap3c=60，ap4c=75，ap5c=150故答案为：15或30或60或75或1506（2016秋东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与

9、另一腰的夹角为45，则这个三角形的底角为67.5或22.5【解答】解：有两种情况；（1）如图，当abc是锐角三角形时，bdac于d，则adb=90，已知abd=45，a=9045=45，ab=ac，abc=c=（18045）=67.5；（2）如图，当efg是钝角三角形时，fheg于h，则fhe=90，已知hfe=45，hef=9045=45，feg=18045=135，ef=eg，efg=g=（180135）=22.5，故答案为：67.5或22.57（2013香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36或60度【解答】解

10、：假设等腰三角形甲为abc，等腰三角形乙为def（如图所示）顶角为d根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将d挪到b点，使bc与de重合，df与ab重合，如果a为锐角，则f点在ab边上，由于cf=ac，由图知是不可能的如果a为钝角，则f点在ab延长线上，由于cf=ac，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的底角，故可以解得甲的底角是36度；当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，1=2=3=60，即甲的底角是60故答案是：36或608（2013泰州一模）如图，bac=（090），现只用4根等长的小棒将bac固定，从点a1开始依次向右摆放，其中a1a2为第1根小棒，且a1a

11、2=aa1，则角的取值范围是1822.5【解答】解：a1a2=aa11=a2a1a3=2，2=a2a4a3=+2=3，3=a2a4a3+=4，由题意得：，1822.59（2013宜兴市一模）如图，在abc中，ac=bcab，点p为abc所在平面内一点，且点p与abc的任意两个顶点构成pab，pbc，pac均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点p的个数为6个【解答】解：如图所示，作ab的垂直平分线，abc的外心p1为满足条件的一个点，以点c为圆心，以ac长为半径画圆，p2、p3为满足条件的点，分别以点a、b为圆心，以ac长为半径画圆，p4为满足条件的点，分别以点a、b为圆心，以ab长为半径画圆，

12、p5、p6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点p的个数为6故答案为：610（2013安徽模拟）如图所示，abc为等边三角形，aq=pq，pr=ps，prab于r，psac于s，则四个结论正确的是p在a的平分线上； as=ar； qpar； brpqsp【解答】解：pr=ps，prab，psac，p在a的平分线上，在rtarp和rtasp中，rtarprtasp（hl），as=ar，qap=par，aq=pq，par=qpa，qpa=qarqpar，abc为等边三角形，b=c=bac=60，par=qpa=30，pqs=60，在brp和qsp中，brpqsp（aas），项四个结论都正确，故

13、答案为11（2012贵阳）如图，在aba1中，b=20，ab=a1b，在a1b上取一点c，延长aa1到a2，使得a1a2=a1c；在a2c上取一点d，延长a1a2到a3，使得a2a3=a2d；，按此做法进行下去，an的度数为【解答】解：在aba1中，b=20，ab=a1b，ba1a=80，a1a2=a1c，ba1a是a1a2c的外角，ca2a1=40；同理可得，da3a2=20，ea4a3=10，an=故答案为：12（2012枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为8或6，底边长为5或9【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长ab=ac

14、=2x，bc=y，bd是腰上的中线，ad=dc=x，若ab+ad的长为12，则2x+x=12，解得x=4，则x+y=9，即4+y=9，解得y=5；若ab+ad的长为9，则2x+x=9，解得x=3，则x+y=12，即3+y=12，解得y=9；所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8；等腰三角形的底边为9时，腰长为6；故答案为：8或6；5或913（2011济宁）如图，等边三角形abc中，d、e分别为ab、bc边上的两动点，且总使ad=be，ae与cd交于点f，agcd于点g，则=【解答】解：ad=be，ce=bd，等边三角形abc，caedcb，dcb=cae，afg=caf+acf=acf+dcb=

15、60，agcd，fag=30，fg：af=故答案为：14（2011鄂州校级模拟）如图所示，在abc中，ab=ac，bac=80，p在abc内，pbc=10，pcb=30，则pab=70【解答】解：在bc下方取一点d，使得三角形abd为等边三角形，连接dp、dcad=ab=ac，dac=bacbad=20，acd=adc=80，ab=ac，bac=80，abc=acb=50，cdb=140=bpc，又dcb=30=pcb，bc=cb，bdcbpc，pc=dc，又pcd=60，dpc是等边三角形，apdapc，dap=cap=dac=20=10，pab=dap+dab=10+60=70或由bdcb

16、pc，bp=bd=babap=bpa又abp=abcpbc=40bap=（18040）/2=70故答案为：7015（2011海曙区模拟）线段ab和直线l在同一平面上则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个2点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个3点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个4点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个5点p，使abp为等腰三角形直线l上恰好只有个6点p，使abp为等腰三角形【解答】解：要使apb是等腰三角形，分为三种情况：ap=bp（即作ab的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）直线l上恰好只有个1点p，

17、使abp为等腰三角形正确；ab=ap（以a为圆心，以ab为半径画弧，交直线于两点），即直线l上恰好只有个2点p，使abp为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个3点p，使abp为等腰三角形正确；ab=bp（以b为圆心，以ab为半径画弧，交直线于两点）即直线l上恰好只有个4点p，使abp为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个5点p，使abp为等腰三角形正确；1+2+2=5，直线l上恰好只有个6点p，使abp为等腰三角形错误；故答案为：516（2011拱墅区校级模拟）如图，abc为正三角形，面积为sd1，e1，f1分别是abc三边上的点，且ad1=be1=cf1=ab，可得d1e1f1，则d1e1f1的

18、面积s1=s；如，d2，e2，f2分别是abc三边上的点，且ad2=be2=cf2=ab，则d2e2f2的面积s2=s；按照这样的思路探索下去，dn，en，fn分别是abc三边上的点，且adn=ben=cfn=ab，则sn=s【解答】解：abc为正三角形，ab=bc=ac，a=b=c=60，ad1=be1=cf1=ab，bd1=ce1=af1=ab，ad1f1bd1e1ce1f1，设等边abc的边长为a，则s=a2sin60，ad1f1的面积=aasin60=s，d1e1f1的面积s1=s3s=s；同理，ad2=be2=cf2=ab时，bd2=ce2=af2=ab，ad2f2的面积s2=aasin60=s，d2