一元二次方程

1、.,一元二次方程,.,1、下列式子哪些是方程？,235 3x2 5x318 x2y5,没有未知数,不是等式,含有未知数的等式叫方程,含有未知数的等式叫方程,不是等式,方程的本质特征是什么？,.,2、我们学过哪些方程？,一元一次方程、二元一次方程、分式方程。,3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？,只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。,一元,一次,.,同学们认真看课本中的问题1、2，整理得方程：,x2 75x 3500（1）,x2 x56 （2）,特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2,.,概括：,只含有一

2、个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,一元二次方程通常可写成如下的一般形式：,ax2+bx+c=0（a0),特征：方程的左边按x的降幂排列，右边0,.,ax2+bx+c=0,二次项,一次项,常数项,二次项系数,一次项系数,a0,一元二次方程的项和各项系数,.,2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x21x=5,2x27x3=0,1x25x0=0,2x211= 5x,友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。,., 考点一一元二次方程的定义,第22章复习 考点攻略,考点攻略,数学新课标（RJ）,.,2、已知关于x的一元二次

3、方程(m1)x23x5m40有一根为2，求m。,什么叫方程的根？,能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根,解：把x2代入原方程得： (m1) 223 2 5m40 解这个方程得：m6,.,3、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。,分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数m+12， 解之得，m=1或m=1， 又因二次项系数m10， 即m1， 所以m=1。,温馨提示：注意陷井 二次项系数a0！,.,?思 考,把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程,.,一般地,对于形如x2=a(a0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二

4、次方程的方法叫做开平方法.,例1: 解下列方程: (1)3x227=0; (2)(2x3)2=7,.,用“配方法”解一元二次方程,.,问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？,（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:,整理得：X2+6X16 = 0,合作交流探究新知,X（X+6） = 16,怎样解这 个方程？,.,.,配方法,就是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以直接利用开平方法求出它的解,.,（1）化二次项系数为1,（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方,（4）原方程变形为

5、 形式,（5）如果右边为非负数，直接开平方法求出方程的解，如果右边是负数，一元二次方程无解。,用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的步骤：,（2）移项,.,例1: 用配方法解方程,解:,配方得：,开平方得：,移项得：,原方程的解为：,.,例2: 你能用配方法解方程 吗？,解:,配方得：,开平方得：,范例研讨运用新知,移项得：,原方程的解为：,二次项系数化为1得：,二次项系数不为1 又怎么办?,想一想用配方法 解一元二次方程 一般有哪些步骤?,例2: 你能用配方法解方程 吗？,.,用“公式法”解 一元二次方程,.,公式法是怎样产生的,你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a

6、0)吗?,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,.,一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0),上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法,当 时，方程有实数根吗,.,一元二次方程的求根公式,.,一元二次方程的根的判别式,.,3、代入求根公式 : X= (a0, b2-4ac0),1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c

7、的值。 2、求出b2-4ac的值。,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,求根公式 : X=,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,(a0, b2-4ac0),.,公式法,例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0,1.变形:化已知方程为一般形式;,3.计算: b2-4ac的值;,4.代入:把有关数值代入公式计算;,5.定根:写出原方程的根.,2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;,.,a= ，b= ，c = . b2-4ac= = . x= = = . 即 x1= , x2= .,例2：用公式法解方程x2+4x=2,1,4,-2,42-41(-2),24,求根公式 : X=,(a0,

8、b2-4ac0),解：移项，得 x2+4x-2=0,这里的a、b、c的值是什么？,.,想一想：,关于一元二次方程,，当,a，b，c满足什么条件时，方程的两根互,为相反数？,解：,.,用“因式分解法”解一元二次方程,.,温故而知新,1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?,2.什么叫分解因式?,把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.,直接开平方法,配方法,X2=a (a0),(x+m)2=n (n0),公式法,.,分解因式法,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.,老

9、师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,.,分解因式法,用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,2. 将方程左边因式分解;,3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,1.化方程为一般形式;,.,1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.,解：1.(x+2)(x-2)=0,x+2=0,或x-2=0.,x1=-2, x2=2.,淘金者,你能用分解因式法解下列方程吗？,2.(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0,或x-4=0.,x1=-6, x2=4.,这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?,.,争先赛,1.解下列方程:,.,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,参考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,.,我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：,二次三项式 ax2+bx+c的因式分解,但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢?,观察下列各式,也许你能发现些什么,.,一般地,要在实数范围 内分解二次三