二次函数在闭区间上的最值教案

1、探究二次函数在闭区间上的最值教案教学目标1.知识与能力 ：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，会运用二次函数在闭区间上的图像研究相关问题。2.过程与方法： 通过实验， 观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。3.情感、态度与价值观： 通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用 ,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作交流的能力。教学重点与难点重点： 借助二次函数的单调性求解它在闭区间上的最值。难点： 利用数形结合和分类讨论的方法

2、求解含参二次函数的最值。教学方法设置问题，引导并起发学生的求知欲，通过分组讨论、合作探究、学生展示、点评等多种方式让学生参与到课堂当中。教学过程（一）、实例引入开学大酬宾，延安移动准备在医学院校园利用边长为2，a(a2) 长方形旧场地（如图）改造成室内展区 （图中阴影） 和露天展区两部分进行手机大促销，现被平行于两边的线段所分割。为使室内展区面积S 最小，应如何分割？分析：问题：求出解析式S（ x） ;引导学生看图，找出S 与 x 的的等量关系。（学生思考）得出：SS( x)x2(ax)(2x); x0,2化简得：（二次函数）S( x)2x2( a2)x2a; x0,2S( x)2(xa2)2

3、a212a 4 ; x0,248得到问题即求含参数二次函数在区间0 ， 2 的最小值。问题：含参数二次函数在区间0 ， 2 的最小值。（给出本课研究重点） 。1【设计意图】激发学生的兴趣和探索新知的欲望。【学情预设】可能部分学生忽视定义域。（二）、探究新课【设计意图】通过“探究 1探究 2探究 3”问题串的形式让学生讨论探究出二次函数在闭区间上的最值一般解法和规律 ,并感受数形结合思想与分类讨论思想在解决数学问题中的重要作用 .1.探究 1：二次函数在给定区间上最值的求法.【设计意图】通过探究1,让学生讨论探究定函数在定区间上最值求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和

4、解决问题.【师生活动】1. 探 究1: 求 二 次 函 数在 下 列区 间 上 的 最 值 ：2.思考：通过探究1，你认为二次函数在闭区间上的最值有何规律？教师活动1.投影出探究1，检查学生课前预习的情况;2.叫部分学生回答投影出探究1 的答案让学生核对，并借助图像进行分析讲解.23.在此基础上和学生互动讨论二次函数在闭区间上的最值的规律.学生活动1.尝试解决探究1 并核对正确答案；2.思考探究1 中二次函数在闭区间上的最值的规律并积极讨论回答问题.【学情预设】探究 1 是最基本的题型，大部分学生可以自己完成.（ 1）是学生非常熟悉的二次函数在的最值问题，在初中就已经解决过了；（ 2）、（3）

5、、（ 4）依次是对称轴在闭区间右侧、内部、左侧的情形，通过观察图像，运用单调性的相关知识也可以解决.这里难度较大的是如何让学生讨论探究出此类题型的最值的规律，故要借助图像引导学生总结出解法及规律.2.探究 2：二次函数在与参数有关的区间上最值的求法.【设计意图】通过探究2,让学生讨论探究定函数在动区间上最值求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题.【师生活动】1.探究 2:求二次函数在区间上的最值 .2.思考：探究2 与探究 1 有何区别？探究1 中讨论所得的规律是否适用于探究2？3.实验：观察探究2 中参数对函数在区间上最值的影响.4.师生合

6、作，讨论解决探究2.5.思考：探究2 中，与参数之间有何关系？6.思考：通过探究2，你认为二次函数在含有参数的闭区间上的最值有何规律？教师活动1.投影出探究2，引导学生分析探究2 与探究 1 的区别 .32.借助几何画板课件，动态演示变化时相应的区间在变化， 二次函数在闭区间上的图像也随着变化，从而影响到最值.3.分组讨论，教师巡视指导。学生活动1.分组讨论2.优等生在黑板上展示过程，叫其他同学点评3.和教师讨论探究2 的解题过程，注意理解记忆规范化解题的格式.5.讨论归纳探究2 的解题方法和规律.解：函数图像的对称轴为,（ 1）当，即时 , 对称轴在右侧 .函数在上是减函数 , 则（ 2）当

7、时 , 对称轴在左侧 .函数在上是增函数 ,则（ 3 ） 当， 即时 ,对 称 轴在内 部 . 函 数在上是减函数 , 在上是增函数 .4综上可得：【学情预设】探究 2 是难度较大的题型，涉及到分类讨论以及字母的推理运算. 教师要引导学生观察出变化时相应的区间在变化，二次函数在闭区间上的图像也随着变化，从而影响到最值 .所以要让学习好的学生展示，其他同学点评。3.探究 3：与参数有关的二次函数在给定区间上的最值的求法.【设计意图】在前面定轴定区间、定轴动区间的二次函数的最值问题的探究.的基础上，学生对动轴定区间的讨论有了一定的思路，每个组内基础较好的同学应该能完成。【师生活动】1.探究 3:求

8、二次函数在区间上的最值 .2.学生分组讨论；3.讨论结果反馈，请学生派代表说明讨论结果.教师活动1.投影出探究3，让学生分组讨论.2.组织学生说明讨论结果并加以完善.解：函数图像的对称轴为,5（ 1）当时 , 对称轴在左侧 .函数在上是增函数 ,则（ 2）当时 , 对称轴在右侧 .函数在上是减函数 ,则（ 3）当时 , 对称轴在内部 .函数在上是减函数 , 在上是增函数 .综上可得：3.组织学生交流讨论结果.学生活动1.分组讨论探究3.2.在教师的组织下派代表说明讨论结果.3.和教师讨论完善探究3 的解题方法和规律.【学情预设】探究 3 是与探究2 有区别的另一类难度较大的题型，根据运动的相对

9、性,学生可以对比探究 2 的解题过程讨论出探究 3 的解题方法和规律来 . 如果时间允许， 探究 3 将为学生提供一次数学猜想、试验的机会 . 探究 3 设置的目的是为学生自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证.（三）课堂小结6【设计意图】归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律,完成本节课知识的建构.【师生活动】1.二次函数在闭区间上的最值的求法 :四看 ( 开口方向、 相对位置、 单调性、 最值点 )加一看（看图像） .2.二次函数在闭区间上的最值的规律:两大类（对称轴在闭区间内、外）四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）.3. 本节课用到的数学思想 :数形结合思想与分类讨论思想 .【学情预设】学生在总结归纳中整理知识，深刻体会求解二次函数在闭区间上最值的方法和规律.（四）课后作业【设计意图】学生应用探究所得知识解决相关问题， 进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律 .。学生活动1.求函数在下列区间上的最值：2.已知