高二数学 11 双曲线及其标准方程、双曲线的几何性质培优教案

1、高二数学双曲线及其标准方程、双曲线的几何性质本讲主要内容 1掌握双曲线的定义和标准方程: (1)掌握双曲线的定义和根据双曲线的定义推求双曲线的标准方程的方法.(2)掌握双曲线的标准方程.(3)掌握运用待定系数法求双曲线的标准方程,掌握过焦点的弦长的计算方法.2掌握双曲线的几何性质:(1)掌握双曲线的几何性质范围、对称点、顶点、渐近线、等轴双曲线、离心率及其几何意义,准线和准线方程,以及双曲线可由其焦点、准线和离心率确定.(2)能够根据条件利用工具画出双曲线的图形,并了解双曲线的初步应用.3能求解双曲线和直线、圆、椭圆的综合问题;学习指导 1双曲线的重点、难点是什么？重点：双曲线的定义及其有关概

2、念,双曲线的两种标准方程和双曲线的几何性质.难点：分清标准方程的两种不同形式,双曲线的渐近线与双曲线“渐近”的证明,双曲线的离心率、准线方程和双曲线的关系,以及双曲线的应用.学好双曲线的关键是掌握双曲线的定义、有关概念、标准方程和双曲线图形的对应关系.2学习双曲线的标准方程时,要注意些什么？(1)把双曲线的标准位置与标准方程统一起来.如果双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,那么这个位置是标准位置,若使方程的右边为1,则左边两顶中含x2的顶为正,且分母为a2,含y2项为负,且分母为b2,所以方程为.如果双曲线的中心在原点、焦点在y轴上,那么这个位置也是标准位置,若使方程的右边为1,则左边两项中含x

3、2项为负,且分母为b2,含y2的项为正,且分母为a2,所以方程为.(2)“定量”与“定位”,要求出双曲线的标准方程,就要求出a2、b2两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出关于a2、b2的方程组,解得a2、b2的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外,判断焦点在哪条坐标轴上,以便在使方程的右边为1时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了a2、b2在方程中的位置.例题精讲 例1求下列双曲线的标准方程. (1)与椭圆共焦点,且过点(-2,)的双曲线的方程.(2)与双曲线有公共焦点,且过点(,2).

4、分析这两问都是求双曲线的方程,而且乍一看题目好象一样,但一定要注意它们的不同点,第(1)是与椭圆共焦点,由椭圆方程知其焦点在y轴上,故所求双曲线方程为,再用待定系数法求解,第(2)是与双曲线共焦点,故所求双曲线方程可设为,再用待定系数法求解.解:(1)由知F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线方程为,(a0,b0),则有 a2=5,b2=4.所求的双曲线方程为.(2)所求的双曲线方程为,将(,2)代入得k=4,所求的双曲线方程为.解题后的点拨利用待定系数法求双曲线方程,先定型,再定量,即先确定所求双曲线是哪种形式的标准方程,再求解,另外与已知双曲线共焦点的双曲线方程可设为.例2求下列双曲线

5、的标准方程.(1)渐近线方程为,两条准线间的距离为.(2)离心率为,且过点(4,).分析第(1)由渐近线方程为,可设双曲线方程为,又两准线间的距离为,由这个条件无法确定其双曲线焦点的位置,故应有两种情况,应对0,0时,a2=4,b2=9,准线方程为.由题意,解得=4.当r2,则当它们外切时,|O1O2|=r1+r2；当它们内切时,|O1O2|=r1-r2,具体解题时,要注意灵活运用双曲线的定义直接写出方程.解:设动圆M的半径为r.(1)因为C与M内切,点A在C外,|MC|=r-,|MA|=r, |MA|-|MC|=.从而点M的轨迹是以C、A为焦点,实轴长为的双曲线的左支,且,c=2,b2=c2

6、-a2=.所求双曲线方程为(x)(2)M与C1，C2都外切，设M半径为r,|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1.点M的轨迹是以C2、C1为焦点,实轴长为1的双曲线的上支,且.所求双曲线方程为(y)(3)M与C1外切,且与C2内切,设M半径为r|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4,点M的轨迹是以C1、C2为焦点,实轴长为4的双曲线的右支,且.所求双曲线方程为(x2).解题后的点拨这种求轨迹方程的题目一定要注意把不合题意的部分去掉.例4已知0,),试讨论随的变化,方程表示的曲线的形状.分析因为0,),在0,)内大于或等于零,而在0,)内大

7、于零,在(,)内小于零,且它们值随的变化,还有=0和=这两个特殊点,应单独讨论.解:(1)当=0时,=0,=1,原方程变为：y2=1,即y=1,表示两条平行直线.(2)当(0,)时,原方程变为：,且,则,原方程表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当=时,原方程变为：x2+y2=,则方程表示为圆心在原点,半径的圆.(4)当()时,原方程变为：,且,则,原方程表示焦点在y轴上的椭圆.(5)当=时,原方程变为：x2=1,即x=1,表示两条平行的直线.(6)当()时,原方程变为：,(),则原方程为：,原方程表示焦点在x轴上的双曲线.解题后的点拨分类讨论思想是近几年高考的重点之一,根据题意如何分类是解此类题的

8、关键,大家应注意这方面的训练.基础训练题 一选择题:1已知动点P到F1(-5,0)的距离与到F2(5,0)的距离的差等于6,则P的轨迹方程为( ).(A)(B)(C)(x-3)(D)(x3)2当(),方程表示的是( )(A)焦点在x轴上的双曲线(B)焦点在y轴上的双曲线(C)焦点在x轴上的椭圆(D)焦点在y轴上的椭圆3动圆P过B(2,0)且与圆外切,则动圆圆心P的轨迹方程为( ).(A)(B)(C)(D)4过原点的直线与双曲线的公共点个数为( ).(A)0或2(B)0或1(C)1或2(D)0或1或25若方程的曲线是双曲线,则k的取值范围为( ).(A)(-,-3)(B)(1,3)(C)(-1,

9、-3)(1,3)(D)(-3,-1)(3,+)6设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积是( ).(94年高考试题)(A)1(B)(C)2(D)二解答题:7在ABC中,底边BC固定,设|BC|=a,顶点A满足,求顶点A的轨迹方程.8过双曲线的左焦点F1作倾斜角的直线与双曲线交于A、B两点,求|AB|.9已知ABC的顶点为A(0,-7),B(0,7),C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一个焦点C的轨迹方程.10已知双曲线的渐近线方程为3x4y=0,焦点在椭圆x2+4y2-100=0的顶点上,求双曲线的标准方程.基础训练题点拨与解答

10、 一选择题: 1答案：(D).解由题意所求双曲线应为焦点在x轴上的双曲线的右支,又c=5,a=3,b2=25-9=16.(x3)为所求,故选(D).2答案：(A).解() (0,1),(-1,0), 应表示焦点在x轴上的双曲线,故选(A).3答案：(B).解圆(x+2)2+y2=1的圆心O(-2,0),半径r=1.由题意得|PO|=|PB|+1|PO|-|PB|=1(定值)故所求点P的轨迹为以O、B为焦点的双曲线的右支.c=2,a=,故b2=即为所求,故选(B).4答案：(A).解双曲线的渐近线过原点,故若此直线就是渐近线,则它与双曲线没有交点,其它过原点的直线都与双曲线有两个交点,故应选(A

11、).5答案：(C).解原方程变形为,若焦点在y轴上,则无解.若焦点在x轴上,则-3k-1或1k3,故应选(C).6答案：(A).解方法一：由双曲线的方程知a=2,b=1,c=.|F1F2|=2c=2.由于双曲线是对称图形,故设P()由已知F1PF2P,即得 .故选(A).方法二：,而由勾股定理有,则,故选(A).二解答题:7解以线段BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,则B(),C(),设|AB|=c,|AC|=b,由正弦定理得b-c=,即|AC|-|AB|=.点A的轨迹是以B、C为焦点,定长为的双曲线的左支不包括与x轴的交点.顶点A的轨迹方程为.8解由,知F1(-5,0).

12、设直线AB的方程为,即y=x+5,由得.设A(x1,y1),B(x2,y2)得, = = =.9解设另一个焦点C(x,y),椭圆过点A、B,由椭圆的定义知：|AC|+|AC|=|BC|+|BC|,|CB|-|CA|=|AC|-|BC| = =2由双曲线的定义知,点C的轨迹是以A、B为焦点距A较近的双曲线的一支.c=7,a=1,b2=c2-a2=48,所求点C的轨迹方程是：.10解由椭圆得椭圆标准方程为,椭圆顶点坐标为(10,0),(0,5).双曲线的渐近线方程为3x4y=0,可设双曲线方程为即.若双曲线的焦点为(10,0),则c=10,解得=576,这时双曲线方程为.若双曲线的焦点为(0,5)

13、,则c=5,解得=-144,a2=9,b2=16,这时双曲线方程为.提高训练题： 一填空题: 1已知双曲线,过左焦点F1作一弦交双曲线左支于A、B两点,设|AB|=m,则AF2B的周长是_.2与椭圆有共同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4的双曲线方程为_.3设双曲线的渐近线的方程为,准线方程为,则双曲线方程为_.4椭圆与双曲线有相同的焦点,则a的值是_.5与椭圆有相同焦点且以为渐近线的双曲线方程_(98年上海高考试题).6设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_.(98年全国高考试题)二解答题:7讨论表示何种曲线,它们有何共同特征.8已知经过双曲线C:右

14、焦点的直线l与双曲线C交于A、B两点,求弦AB中点轨迹方程.9直线y=ax+1与双曲线交于A、B,若以AB为直径的圆过原点,求a的值.10设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率为,且点P(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线方程.提高训练题点拨与解答: 一填空: 1答案：4a+2m.解由题意得|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|2a,|AF2|+|BF2|-m=4a.AF2B的周长为4a+2m.2答案：.解由题意椭圆的焦点为(0,3)和(0,-3),所求双曲线为,且即所求双曲线方程为,又与椭圆的交点为(,4)代入上方程得,解得b2=5,所求方程为.3答案：.解

15、由题意设所所求双曲线方程为即,此准线方程为解得,所求方程为.4答案：1.解由题意双曲线焦点为(),椭圆焦点为()a+2=4-a2,解得a=-2或a=1其中a=-2应舍.a=1.5答案：.解设所求双曲线方程为,椭圆焦点为(5,0)解得,所求方程为.6答案：.解设双曲线的右焦点(5,0),右顶点(3,0)圆心到上面二点距离相等,圆心在连接这两点线段的垂直平分线上,圆心的横坐标为4.把x=4代入双曲线方程,得圆心纵坐标为.圆心到中心的距离为.二解答题:7解(1)当k0,9-k0,所给方程表示椭圆,这时a2=25-k,b2=9-k,c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).(2)当9k0,9-k25时,k=9或k=25时,所给方程没有轨迹.8解双曲线C的方程为,则C2=3,双曲线C的右焦点为F(,0).当直线l垂直于x轴时,直线方程为,与双曲线C交于两点A、B,A、B的中点为F(,0).当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为,设直线l与双曲线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入双曲线C的方程得两式相减得又设AB中点为M(x,y),则代入(*)式得 ,即,而所得中点()也满足上式,所求弦AB的中点轨迹为.9解设A(x1,y1),B(x2,y2),由以AB为直径的圆过原点,得OAOB,即,而,即由得,将上式代入得.10解由题意设双曲线方程为,.设M(x