2018版高考数学复习第八章立体几何8.3空间图形的基本关系与公理课件文北师大版.pptx

1、8.3空间图形的基本关系与公理,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2：经过 的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面). 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 通过这个点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线 .,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围

2、： .,2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类,共面直线,直线,直线,异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点,相交,平行,任何,(2)异面直线所成的角,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_ 三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.等角定理 空间中，如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,两边分别对应平行,平行,相交,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外

3、一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.() (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.() (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.() (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.() (5)没有公共点的两条直线是异面直线.(),1.下列命题正确的个数为 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三

4、个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3,考点自测,答案,解析,中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.,2.(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则 A.ml B.mn C.nl D.mn,答案,解析,由已知，l，l，又n，nl，C正确.,3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线,答案,解析,由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，

5、与已知a、b为异面直线相矛盾.,4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2 ，AD2 ，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_.,答案,解析,45,60,BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即EGF， tanEGF 1，,EGF45，,5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.,答案,解析,4,EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.,题型分类深度剖析,题型一平面基本性质的应用,例1(1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则

6、“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.,(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG BC，CH DC.求证： E、F、G、H四点共面；,证明,连接EF、GH，如图所示， E、F分别是AB、AD的中点， EFBD. 又CG BC，CH DC， GHBD，EFGH， E、F、G、H四点共面.,几何画板展示,三直线FH、EG、AC共

7、点.,证明,易知FH与直线AC不平行，但共面， 设FHACM， M平面EFHG，M平面ABC. 又平面EFHG平面ABCEG， MEG，FH、EG、AC共点.,思维升华,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练1如图，正方

8、体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面；,证明,如图， 连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B. 又A1BD1C，EFCD1， E、C、D1、F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明,EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA.CE，D1F，DA三线共点.,题型二判断空间两直线的位置关系,例2(1)(2015广东)若直线l1和l2是异面

9、直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,答案,解析,若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾， l至少与l1，l2中的一条相交.,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是 A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行,答案,解析,几何画板展示,连接B1C，B1D1，如图所示， 则点M是B1C的中点，M

10、N是B1CD1的中位线，MNB1D1， 又BDB1D1，MNBD. CC1B1D1，ACB1D1， MNCC1，MNAC. 又A1B1与B1D1相交， MN与A1B1不平行，故选D.,(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号),答案,解析,图中，直线GHMN； 图中，G、H、N三点共面，但M面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图中，G、M、N共面，但H面GMN， 因此GH与MN异面. 所以图中GH与MN异面.,思维升华,空间中两

11、直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.,跟踪训练2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.,(2)(2016南昌一模)已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，则下列命题中正确的是 A.a与b异面，b

12、与c异面a与c异面 B.a与b相交，b与c相交a与c相交 C.， D.a，b，与相交a与b相交,答案,解析,如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但acA，故A错误； 在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故D错误.,题型三求两条异面直线所成的角,例3(2016重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.,答案,解析,如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成

13、的角， 在AGP中，AGGPAP， 所以APG .,引申探究,在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为，求cos 的值.,解答,设N为BF的中点，连接EN，MN，则MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角. 不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，,在MEN中，由余弦定理得,思维升华,用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,跟踪

14、训练3已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为,答案,解析,画出正四面体ABCD的直观图，如图所示. 设其棱长为2，取AD的中点F， 连接EF， 设EF的中点为O，连接CO， 则EFBD， 则FEC就是异面直线CE与BD所成的角. ABC为等边三角形， 则CEAB，,故CECF. 因为OEOF，所以COEF.,典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_.,构造模型判断空间线面位置关系,思想与方法系列16,答案,解析,思想方法指

15、导,本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,返回,借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面、互相垂直，如图(1)所示，故正确； 对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确； 对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确； 对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确.,返回,课时作业,1.在下列命题中，不是公理的是

16、A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都 在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016福州质检)在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线 A.不存在 B

17、.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条,答案,解析,在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面， 从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、 BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与 直线A1B1、EF、BC都相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线,答案,解析,不论l，l，还是l与相交，内都有直线m使得ml.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

18、,13,4.在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则 A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在AC上，也可能在BD上 D.M既不在AC上，也不在BD上,答案,解析,由于EFHGM，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于 .故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

19、11,12,13,6.下列命题中，正确的是 A.若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异 面直线 B.若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C.若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D.若直线a平面，点P，则平面内经过点P且与直线a平行的直 线有且只有一条,答案,解析,对于A，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故A错误. 对于B，设a，b确定的平面为，显然a，故B错误. 对于C，当a时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故C错误.易知D正确.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

20、,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对.,答案,解析,24,如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方形的面对角线有12条，所以所求的“黄金异面直线对”共有 24对(每一对被计算两次，所以要除以2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

21、8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是_.,答案,解析,把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2015浙江)如图，三棱锥A-BCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的 中点，

22、则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.,答案,解析,如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK. M为AD的中点， MKAN， KMC为异面直线AN，CM所成的角. ABACBDCD3，ADBC2， N为BC的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,在CKM中，由余弦定理，得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中

23、，下面四个命题中不正确的是_.,答案,解析,BM是定值； 点M在某个球面上运动； 存在某个位置，使DEA1C； 存在某个位置，使MB平面A1DE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,取DC中点F，连接MF，BF，MFA1D且MF A1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得正确； 由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，可得正确； A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE 不垂直，可得不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.,解答,如图，连接BD，B1D1， 则BDACO， BB1綊DD1， 四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D， B1D平面BB1D1