研究生数值分析(12).ppt

1、研究雅可比迭代法，我们发现在逐个求,的分量时，当计算到,时,分量,都已经求得，而仍用旧分量,计算,。由于新计算出的分量比旧分量准确些，,求出，马上就用新分量,代替雅可比迭代法中,来求, 这就是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法。,2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法,因此设想一旦新分量,高斯-赛德尔迭代公式如下：,（5）,其矩阵表示形式为,现将,显式化，由,得,令,（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），,则得,为高斯-赛德尔迭代法的矩阵表示形式。,上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线以下元素同乘以 后所得新矩阵的行列式。,我们用定理2来判断高

2、斯-赛德尔迭代公式是否收敛，需要考虑高斯-赛德尔迭代矩阵,的特征方程,即,将上式写成,由于,所以,例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组,解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为,取迭代初值,按此迭代公式进行迭代，计算结果为,高斯-赛德尔迭代矩阵,的特征方程为,即,解得,于是,因而高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。,我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念。,3 迭代法收敛条件与误差估计,定义 矩阵,的所有特征值,的模的最大值称为矩阵 A 的谱半径,记作,即,前面,我们在应用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解一阶线性方程组时，判断各迭代公式是收敛还是发散，都要计算雅可比迭代矩阵 BJ 与高斯-赛德尔迭代矩阵 BG 的

3、特征值.由于矩阵 A 有些算子范数(比如 与 )远比矩阵 A 的特征值容易计算,为此给出如下结论。,定理3 矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何一种算子范数 , 即,证明：设为A的任一特征值，X为对应于的A的特征向量，即 AX= X, (X 0),由范数的性质立即可得,因为 X 0 ， 所以,即A的任一特征值的模都不超过,于是,定理给出了一阶线性定常迭代法,收敛的充分条件，它表明只要迭代矩阵 B 的某种子,范数,小于1，立即可以断定该迭代过程对任给,在例8例9中，我们分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组,初始向量都收敛于方程组AX=b的唯一解,雅可比迭代矩阵,高斯-赛德尔迭代矩阵,雅可比

4、迭代过程必收敛；,高斯-赛德尔迭代过程也收敛。,由定理的误差估计式,可以看出，,且可用来估计迭代次数。,越小收敛速度越快，,在例8例9中，显然,比,小，,所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。,若在例8例9中要求近似解,的误差,则由误差估计式知，只要 k 满足,将,代入得,，故Jacobi迭代22次即可；,代入得,，故Gauss-Seidel迭代9次就可以。,将,定理4 若方程组AX=b的系数矩阵,按行严格对角占优或按列严格对角占优，即满足条件,或,则方程组AX=b有唯一解，且对任意初始向量,雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法都收敛。,对于雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法，还有一些使用

5、方便的充分条件，其中主要有：,定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵,为对称正定矩阵。则对任意初始向量 高斯,-赛德尔迭代法都收敛。,如在例8例9中，由于系数矩阵A是严格对角占优，由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法求解时，迭代过程都收敛。,只要方程组 AX=b 的系数矩阵,满足,定理4或定理5的条件，就可以十分方便地判断相应迭代过程的收敛性。,又如矩阵,是对称正定阵（实对称阵是正定阵的，如果实二次型,正定),由定理5可判定用高斯-赛德尔迭代法求解方程组,时，迭代过程一定收敛。,例10 考察用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法,解：先计算迭代矩阵,解方程组 AX=b 的收敛性，其中,再计算,BJ与BG的特征值和谱半