高考数学人教A一轮复习课件26幂函数与二次函数

1、第六节 幂函数与二次函数,【知识梳理】 1.幂函数 (1)定义:一般地,函数_叫做幂函数,其中底数_是 自变量,是常数.,y=x,x,(2)幂函数的图象比较:,2.二次函数 (1)解析式: 一般式:f(x)=_. 顶点式:f(x)=_. 两根式:f(x)=_.,ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),(2)图象与性质:,b=0,【特别提醒】 1.二次函数的相关结论 若f(x)=ax2+bx+c(a0),则 (1)f(x)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0的实根.,(2)若x1,x2为f(x)=0的实根,则f(x)在x轴上截得的线

2、 段长应为|x1-x2|= (3)当 时,恒有f(x)0;当 时,恒有f(x)0.,2.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P82T10改编)已知幂函数f(x)=kx的图象 过点 则k+=() A. B.1C. D.2,【解析】选C.因为f(x)=kx是幂函数,所以k=1. 又f(x)的图象过点 所以 所以= 所以k+=,2.(必修1P44T9改编)如果函数f(x)=

3、x2-ax-3在区间 (-,4上单调递减,则实数a满足的条件是() A.a8B.a8 C.a4D.a-4,【解析】选A.函数图象的对称轴为x= , 由题意得 4,解得a8.,感悟考题 试一试 3.(2017汉中模拟)已知幂函数y=xa的图象过点 ,则loga2的值为() A.1B.-1C.2D.-2,【解析】选B.幂函数y=xa的图象过点 , 所以 解得a= , 故loga2= =1.,4.(2016全国卷)已知 则() A.bacB.abc C.bcaD.cab,【解析】选A.因为 函数 在(0,+)上单调递增,所以 所以b ac.,5.(2016全国卷)若ab0,0cb,【解析】选B.对于

4、选项A:logac= ,logbc= , 因为0b0, 所以lgalgb,但不能确定lga,lgb的正负, 所以它们的大小不能确定; 对于选项B:logca=,而lgalgb,两边同乘以一个负数 ,改变不等号方 向,所以选项B正确; 对于选项C:利用y=xc在第一象限内是增函数即可得到 acbc,所以C错误; 对于选项D:利用y=cx在R上为减函数易得cacb,所以选 项D错误.,6.(2017柳州模拟)已知幂函数f(x)= ,若f(a+1) f(10-2a),则a的取值范围是() A.(-1,3)B.(-,5) C.(3,5)D.(3,+),【解析】选C.由题意得,幂函数f(x)= 在0,+

5、) 上单调递减,所以由f(a+1)f(10-2a),得 解得3a5.,考点一幂函数的图象及性质 【典例1】(1)若 则下列结 论正确的是() A.abcB.acb C.cabD.bca,(2)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3 (mN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则m的值为_.,【解题导引】(1)利用幂函数与指数函数的单调性比较. (2)先利用幂函数的单调性求出m的取值范围,再利用函数的对称性确定m的值.,【规范解答】(1)选B.因为y= 在第一象限内为增函 数,所以 因为y= 是减函数,所以 所以acb.,(2)因为f(x)在(0,+)上是减函数, 所以m2-2m-30

6、,解得-1m3. 又mN*,所以m=1或m=2. 由于f(x)的图象关于y轴对称,所以m2-2m-3为偶数,又当m=2时,m2-2m-3为奇数,所以m=2舍去, 因此m=1. 答案:1,【易错警示】解答本例题(2)易出现以下错误 (1)对幂函数的图象不理解,不清楚x(0,+)时函数递减的含义. (2)在求得m后没有进行检验.,【母题变式】 1.若本例(2)中,将函数“f(x)=xm2-2m-3 ”变为“f(x) =(m2+2m-2)xm2-3m”,其他条件不变,则m的值如何?,【解析】由于f(x)为幂函数, 所以m2+2m-2=1, 解得m=1或m=-3, 经检验只有m=1适合题意,所以m=1

7、.,2.若本例(2)中已知条件不变,则 中实 数a的取值范围如何?,【解析】由典例(2)知,m=1, 因为y= 在0,+)上为增函数, 所以 等价于0a+13-2a, 解之得-1a 故实数a的取值范围是,【规律方法】 1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.,2.幂函数的指数与图象特征的关系 当0,1时,幂函数y=x在第一象限的图象特征:,【变式训练】已知幂函数y=f(x)的图象过点 则log9f(3)的值为() A. B. C.2D.-2,【解析】选A.设幂函数f(x)=x(为常数), 由题意得

8、 解得= 所以f(x)= 所以log9f(3)=,【加固训练】 1.(2017西安模拟)函数y= 的图象大致是(),【解析】选C.y= 其定义域为xR,排除A,B, 又0 1,图象在第一象限为上凸的,排除D,故选C.,2.(2015郑州模拟)幂函数y=xa,当a取不同的正数时,在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x,y=x的图象三等分,即有BM=MN=NA.那么=(),A.1B.2 C.3D.无法确定,【解析】选A.由条件得 由一般性, 可得 即 所以,3.(2017太原模拟)当0x1时,f(x)=x2,

9、g(x)= h(x)=x-2,则f(x),g(x),h(x)的大小关系是_.,【解析】分别作出f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示. 可知h(x)g(x)f(x). 答案:h(x)g(x)f(x),考点二二次函数的解析式 【典例2】(1)已知二次函数f(x)的最大值为8且满足f(-1)=f(2)=-1,则此二次函数的解析式f(x)=_. (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),且不等式f(x)+2x0的解集为x|1x3,方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根,则不等式f(x)0的解集为_.,【解题导引】(1)根据条件,利用二次函数一般式、顶点式或两根式求解. (2)先根

10、据条件求出二次函数的解析式,然后利用解一元二次不等式的方法求f(x)0的解集.,【规范解答】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由题意得 解得 所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7,【一题多解】解答本题,你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 方法一:(利用顶点式):设f(x)=a(x-m)2+n. 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x= 所以m= 又根据题意函数有最大值8,所以n=8. 所以y=f(x)=,因为f(2)=-1,所以 解得a=-4, 所以f(x)= =-4x2+4x+7.,方法二(利用两根式): 由已知f(x)+1

11、=0两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即,解得a=-4. 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7,(2)因为f(x)+2x0的解集为(1,3), 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0, 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. 由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0. 因为方程有两个相等的根,所以=-(2+4a)2-4a9a=0, 解得a=1或a= 由于a0,解得x-3+ 或x-3-

12、 . 答案:(-,-3- )(-3+ ,+),【规律方法】 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式.,(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴两交点坐标,宜选用两根式.,【变式训练】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为_.,【解析】因为f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立, 所以f(x)的对称轴为x=2. 又因为f(x)图象被x轴截得的线段长为2, 所以f(x)=0的

13、两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).,又因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,a=1. 所以所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3. 答案:f(x)=x2-4x+3,【加固训练】 1.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,bR)是偶函数, 且它的值域为(-,4,则函数g(x)= 的递增区 间为(),【解析】选B.f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2. 由已知条件ab+2a=0, 又f(x)的值域为(-,4, 则 因此f(x)=-2x2+4. 所以g(x)=,令-2x2+40,解得

14、因为0 1, 所以函数g(x)的递增区间为(0, ).,2.已知二次函数为y=x2+2kx+3-2k,则顶点位置最高时抛物线的解析式为_.,【解析】由题意可知:y=x2+2kx+3-2k=(x+k)2-k2-2k+3,所以该抛物线的顶点坐标为(-k,-k2-2k+3). 设顶点的纵坐标为y=-k2-2k+3=-(k+1)2+4,所以当k=-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y=x2-2x+5. 答案:y=x2-2x+5,3.已知二次函数图象的顶点是 与x轴的两个交 点之间的距离为6,则这个二次函数的解析式为_.,【解析】方法一:设二次函数为y=a(x+2)2+ 即y=ax2+4ax+4a

15、+ 设与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0).则|x1-x2|= 得a= 所以二次函数的解析式为y=,方法二:设图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0) (x1x2), 由题意得x1=-2-3=-5,x2=-2+3=1, 所以设二次函数解析式为y=a(x+5)(x-1). 将 代入上式解得a=,所以 答案:,4.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,bR,cR).若函数 f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 则F(2)+F(-2)=_.,【解析】由已知c=1,a-b+c=0,且 =-1, 解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. 所以F(x)= 所

16、以F(2)+F(-2)=(2+1)2+-(-2+1)2=8. 答案:8,考点三二次函数的图象和性质 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:二次函数图象及其应用 【典例3】设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的 两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个不 同的零点,则称f(x)和g(x)在a,b上是“关联函数”,区间a,b称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x) =2x+m在0,3上是“关联函数”,则m的取值范围为_.,【解题导引】根据题目所给信息,可知y=f(x)-g(x)在0,3上有两个不同的零点.要求m的取值范围,利用分离参数法求解.,【规范解答】由

17、题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在 0,3上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出 函数y=m与y=x2-5x+4(x0,3)的图象,结合图象可知, 当x2,3时,y=x2-5x+4 ,故当m 时,函数y=m与y=x2-5x+4(x0,3)的图象有两个交点. 答案:,命题角度2:二次函数的最值问题 【典例4】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x -1,1上恒小于零,求实数a的取值范围.,【解题导引】由f(x)0对x-1,1恒成立,分离参数,转化为二次函数最值问题求解.,【规范解答】由题意知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 当x=0时,符合题意. 当x0

18、时,a 因为 (-,-1 1,+),当x=1时,右边取最小值 ,所以a . 综上,实数a的取值范围是 答案:,命题角度3:二次函数中恒成立问题 【典例5】(2017瑞安模拟)已知函数f(x)=x2-1,g(x) =a|x-1|. (1)若当xR时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的 取值范围. (2)求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间0,2上的最大值.,【解题导引】函数g(x)=a|x-1|的解析式中含有绝对值,需要分类讨论去掉绝对值符号;(1)不等式f(x)g(x)恒成立,先化简不等式,再转化为最值求解.(2)先去掉绝对值符号,根据对称轴和区间的关系,确定函数的单调性,根据单

19、调性,确定函数的最大值.,【规范解答】(1)不等式f(x)g(x)对xR恒成立,即x2-1a|x-1|(*)对xR恒成立. 当x=1时,(*)显然成立,此时aR; 当x1时,(*)可变形为a 令(x)=,因为当x1时,(x)2,当x-2, 所以(x)-2,故此时a-2. 综合,得所求实数a的取值范围是(-,-2.,(2)h(x)= 当- 0时,即a0,(-x2-ax+a+1)max=h(0)=a+1, (x2+ax-a-1)max=h(2)=a+3. 此时,h(x)max=a+3.,当0- 1时,即-2a0,(-x2-ax+a+1)max= = +a+1,(x2+ax-a-1)max=h(2)

20、=a+3.此时h(x)max=a+3. 当1- 2时,即-4a-2,(-x2-ax+a+1)max= h(1)=0,(x2+ax-a-1)max=maxh(1),h(2)=max0,3+a = 此时h(x)max=,当- 2时,即a-4,(-x2-ax+a+1)max=h(1)=0, (x2+ax-a-1)max=h(1)=0. 此时h(x)max=0. 综上:h(x)max=,【技法感悟】 1.二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别.,2.二次函数的最值问题的类型及求解策略 (1)类型:对称轴、区间都是给定的;对称轴动、区间固定;

21、对称轴定、区间变动. (2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.,3.二次函数中恒成立问题的求解思路 (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:af(x)af(x)max,af(x)af(x)min.,【题组通关】 1.(2017杭州模拟)已知函数f(x)=a-x2(1x2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是() A. B.1,2 C. D.-

22、1,1,【解析】选D.由题得方程a-x2=-x-1,x1,2有解,即求函数a=x2-x-1,x1,2的值域,易求得a-1,1.,【加固训练】 (2017成都模拟)两个二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)与g(x)=bx2+ax+c(b0)的图象只可能是(),【解析】选D.因为f(x)的对称轴为 g(x)的对称轴 为 所以排除A,B;若 都小于 0,则a,b同号,函数f(x),g(x)开口方向相同,故排除C.,2.已知函数f(x)=-x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实数m的取值范围是() A.(-,-1)B.(-1,2 C.-1,2D.2,5),【解析】选C.二次函数f(x)=-x

23、2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时, f(x)=-5,结合图象可知m的取值范围是-1,2.,【加固训练】 (2017定州模拟)已知函数f(x)=-x2+4x在区间-1,n上的值域是-5,4,则n的取值范围是() A.2,5B.1,5 C.-1,2D.0,5,【解析】选A.f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, 所以f(2)=4,又由f(x)=-5,得x=-1或5, 由f(x)的图象知:2n5.,3.(2017荆州模拟)函数f(x)=|x2-a|在区间-1,1上的最大值M(a)的最小值是() A. B. C.1D.2,【解析】选B.当a0时,

24、f(x)=x2-a在0,1上递增,M(a)=1-a1.当0a 时, f(x)= 且f(1)f(0), 所以M(a)=f(x)max=f(1)=1-a,当 f(1),所以M(a)=f(x)max=f(0)=a 当a1时,f(x)=a-x2,M(a)=f(x)max=f(0)=a1, 综上所述M(a)的最小值为,4.已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对x-3,1,f(x)0恒成立,则实数a的取值范围为_. 【解析】因为f(x)=x2+2(a-2)x+4,对称轴x=-(a-2),对x-3,1,f(x)0恒成立, 所以讨论对称轴与区间-3,1的位置关系得:,解得a或1a4或 a1, 所以a的取值范围为 答案:,易错误区5 求解含参数的二次函数、方程、不等式问题的易错点 【典例】(2017大连模拟)已知函数f(x)=x2,g(x