第四章-地球椭球数学投影的基本理论大地测量学-武汉大学4

1、1,第四章 地球椭球数学投影的基本理论,2,4.1地球椭球基本参数及其互相关系 地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): 长半轴 短半轴 椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率 通常用a ,3,为简化书写，还常引入以下符号,椭球基本参数及其互相关系,4,4.2 椭球面上常用坐标系及其关系 4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 大地经度B 大地纬度L 大地高H,5,2、空间直角坐标系 坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子

2、午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。,常用坐标系及其关关系,6,3、子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x, y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。,常用坐标系及其关系,7,4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交点，则OP与x轴夹角称为P点的归化纬度u。,常用坐标系及其关系,8,常用坐标系及其关系,5、大地极坐标系 M是椭球面上一点，M

3、N是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。 以M为极点； MN为极轴； P点极坐标为（S, A),9,常用坐标系及其关系,4.2.2 坐标系之间的相互关系 子午平面坐标系同大地坐标系的关系,10,常用坐标系及其关系,令: pn=N,11,常用坐标系及其关系,空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系,12,常用坐标系及其关系,空间直角坐标系同大地坐标系,在椭球面上的点：,不在椭球面上的点：,13,常用坐标系及其关系,由空间直角坐标计算相应大地坐标,14,B、u、 之间的关系 B和u之间的关系,常用坐标系及其关系,15,常用坐标系及其关系,U、之间的关系,、之间的关系,大地纬

4、度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时,16,4.3 椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。 子午圈曲率半径,17,椭球面上几种曲率半径,18,椭球面上几种曲率半径,19,卯酉圈曲率半径(N) 卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角

5、的余弦。,椭球面上几种曲率半径,20,椭球面上几种曲率半径,21,卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。,椭球面上几种曲率半径,22,主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。,椭球面上几种曲率半径,23,椭球面上几种曲率半径,24,椭球面上几种曲率半径,25,26,任意法截弧的曲率半径,椭球面上几种曲率半径,27,任意法截弧的曲率半径的变化规律: 不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。 当时，变为计算子午

6、圈曲率半径的，即； 当90时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。 当A由090时，之值由，当A由 90180时，值由N，可见值的变化是以 90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,椭球面上几种曲率半径,28,平均曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。,椭球面上几种曲率半径,29,M，N，R的关系,椭球面上几种曲率半径,30,对于克拉索夫斯基椭球,椭球面上几种曲率半径,31,4.4 椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式,32,椭球面上的弧长计算,33,椭球面上几种曲率半径,34,如果以B90代入，则得子午椭

7、圆在一个象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.995m。即一象限子午线弧长约为10 000km，地球周长约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B及间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X及X，而后取差：，该即为所求的弧长。 当弧长甚短(例如X40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M ,椭球面上的弧长计算,35,由子午弧长求大地纬度 迭代解法: 平行圈弧长公式,椭球面上的弧长计算,36,椭球面上的弧长计算,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,37,4.5 大地线 两点

8、间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? 它应是大地线。 相对法截线,38,相对法截线,大地线,39,相对法截线的特点: 当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。 在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,大地线,40,大地线,大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。,41,大地线的性质: 大地线是两点间惟一最短线

9、，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。 长度差异可忽略,方向差异需改化。,大地线,42,大地线的微分方程和克莱劳方程,大地线的微分方程,43,大地线的微分方程,44,大地线的微分方程,大地线的克莱劳方程,在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数 ,45,当大地线穿越赤道时 当大地线达极小平行圈时 由克莱劳方程可以写出,46,4.6 将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭

10、球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。 归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。 将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。 ,47,垂线偏差改正 以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以,表示， M是地面观测目标m在球 面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1),地面观测值归算至椭球面,48,标高差改正,地面观测值归算至椭球面,49,截面差改正,地面观测值归算至椭球面,50

11、,将地面观测的长度归算至椭球面 基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度S。 1.垂线偏差对长度归算的影响,地面观测值归算至椭球面,51,2.高程对长度归算的影响,地面观测值归算至椭球面,52,电磁波测距的归算,地面观测值归算至椭球面,53,地面观测值归算至椭球面,54,大地测量主题解算,4.7.1 大地主题解算的一般说明 主题解算分为: 短距离(400km) 中距离(1000km) 长距离(1000km以上),55,1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。 主

12、要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离 典型解法：高斯平均引数法,大地测量主题解算,56,2.以白塞尔大地投影为基础 1)按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现椭球面 向球面的过渡； 2)在球面上解算大地问题； 3)按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数值，即实现从圆球向椭球的过渡。 典型解法：白塞尔大地主题解算 特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应20 000km或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。,大地测量主题解算,57,4.7.2 勒让德级数式 为了计算 的级数展开式，关键问题是

13、推求各阶导数。,大地测量主题解算,58,一阶导数：,二阶导数：,大地测量主题解算,59,三阶导数,大地测量主题解算,60,大地测量主题解算,61,大地测量主题解算,62,大地测量主题解算,63,4.7.3 高斯平均引数正算公式 高斯平均引数正算公式推导的基本思想： 首先把勒让德级数在 P点展开改在大地线长度中点M展开，以使级数公式项数减少，收敛快，精度高；其次，考虑到求定中点 M 的复杂性，将 M 点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的 m 点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。,大地测量主题解算,64,(1)建立级数展开式:,大地测量主题解算,65,同理可得:,(2),大

14、地测量主题解算,66,大地测量主题解算,67,大地测量主题解算,(3)由大地线微分方程依次求偏导数:,68,大地测量主题解算,69,大地测量主题解算,70,同理可得：,大地测量主题解算,71,注意： 从公式可知，欲求，及，必先有及。但由于2和21未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。 除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，其计算经纬计算精度可达到0.0001”, 方位角计算精度可达到0.001”。,72,4.7.4 高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式可以依正算公式导出: 上述两式的主式为:,73,74,已知： 求得：,75,4.7.5 白塞尔大地

15、主题解算方法,白塞尔法解算大地主题的基本思想: 以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形,由三角形对应元素关系,将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。 这种方法的关键问题是找出椭球面上的大地元素与球面上相应元素之间的关系式,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。,76,在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算: 已知 求解 球面上大地主题反算: 已知 求解,77,1、球面三角元素间的相互关系,78,球面上大地主题正解,79,球面上大地主题反解方法,80,2 、椭球面和球面上坐标关

16、系式,81,在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:,82,白塞尔提出如下三个投影条件： 1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧 2.大地线和大圆弧上相应点的方位角相等； 3.球面上任意一点纬度等于椭球面上相应点的归化纬度。,83,84,以上为白塞尔微分方程.,85,3 、白塞尔微分方程的积分,86,87,积分得到下式：,88,反算: 正算: 迭代法: 直接法:,89,适合于反算: 适合于正算: 迭代法: 直接法:,90,91,将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。,92,正算： 反算：,93,4 白塞尔法大地主题正算步骤,1.计算起点的归化纬

17、度 2.计算辅助函数值，解球面三角形可得: 3. 按公式计算相关系数A,B,C以及,94,4.计算球面长度 迭代法: 直接法:,95,5.计算经度差改正数 6.计算终点大地坐标及大地方位角,96,97,5 白塞尔法大地主题反算步骤,1.辅助计算,98,2.用逐次趋近法同时计算起点大地方位角、球面长度及经差 ，第一次趋近时，取。,99,计算下式,重复上述计算过程2. 3. 计算大地线长度S 4. 计算反方位角,100,101,102,4.8 地图数学投影变换的基本概念,1、地图数学投影变换的意义和投影方程,所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影

18、到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。,投影变换的基本概念,103,2 、地图投影的变形 1.长度比 : 长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。 不同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同,投影变换的基本概念,104,2.主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。,投影变换的基本概念,105,投影变换的基本概念,以定点为中心，以长度比的数值为向径

19、，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。,106,3.投影变形 1）长度变形,投影变换的基本概念,107,2）方向变形,投影变换的基本概念,108,3）角度变形： 角度变形就是投影前的角度u 与投影后对应角度u之差,投影变换的基本概念,109,4）面积变形：P-1 4.8.3 地图投影的分类 1.按变形性质分类 1）等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。 2）等积投影：投影前后的面积不变形. 3）任意投影：既不等角，又不等积.,投影变换的基本概念,110,2.按经纬网投影形状分类 1）方位投影 取一平面与椭

20、球极点相切， 将极点附近区域投影在该 平面上。纬线投影后为以 极点为圆心的同心圆，而 经线则为它的向径，且经 线交角不变。,Light Source,投影变换的基本概念,111,2）圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。,投影变换的基本概念,112,3）圆柱(或椭圆柱)投影 取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。,投影变换的基本概念,113,3.按投影面和原面的相对位置关系分类 1)正轴投影：圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影，称正轴圆锥投影或正轴圆柱

21、投影。 2)斜轴投影：投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。 3)横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。 除此之外，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥，割圆柱投影等。,投影变换的基本概念,114,4.9 高斯平面直角坐标系 1、 高斯投影概述 控制测量对地图投影的要求 （1）采用等角投影(又称为正形投影) （2）长度和面积变形不大 （3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体 高斯投影描述,高斯平面直角坐标系,115,高斯平面直角坐标系,想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一

22、条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面 。,116,投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围； 1）分带原则 （1）限制长度变形使其不大于测图误差； （2）带数不应过多以减少换带计算工作。,我国规定按经差6和3进行投影分带。,高斯平面直角坐标系,2）分带方法,117,高斯平面直角坐标系,6带: 自0子午线起每隔经差6自西向东分带，依次编号1，2，3，60。我国6带中央子午线的经度，由73起每隔6而至135，共计11带，带号用n表示，中

23、央子午线的经度用表示。 带号及中央子午线经度的关系： ,3带: 自东经1.5子午线起，每隔3设立一个投影带， 依次编号为1，2，3， ， 120带；中央子午线经度依次为3, 6, 9, , 360。,带号及中央子午线经度的关系：,118,.5带或任意带: 工程测量控制网也可采用.5带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6或3带相联系。,n=L/3(四舍五入) 3,高斯平面直角坐标系,119,高斯平面直角坐标系,例：某控制点 P 点,按3带：,按6带：,120,在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为

24、横坐标轴。,高斯平面直角坐标系,121,6带与3带的区别与联系区别 6带：从 0子午线起划分，带宽6 ，用于中小比例尺（1：25000以下）测图； 3带：从 1.5子午线起划分，带宽3，用于大比例尺（如1：10000）测图。 3带是在6带的基础上划分的，6带的中央子午线及分带子午线均作为3带的中央子午线，其奇数带的中央子午线与6带中央子午线重合，偶数带与分带子午线重合。,高斯平面直角坐标系,122,高斯平面直角坐标系,国家统一坐标,在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称

25、为国家统一坐标。,例如： Y=19 123 456.789m 该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去 500 000m，最后得 y = -376 543.211(m)。,123,高斯平面直角坐标系,分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。,124,高斯投影特点： 正形投影，保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。 由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用

26、相同的公式和方法进行。,高斯平面直角坐标系,125,2、椭球面元素化算到高斯投影面,126,3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化即方向改化来实现的。,椭球面三角系归算到高斯投影面的计算,1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据 x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角及方向改化实现的。,127,因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛

27、角等项计算工作。,当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。,4) 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化实现的。,128,正形投影的一般条件,4.9.2 正形投影的一般条件 1、长度比的通用公式,129,正形投影的一般条件,130,正形投影的一般条件,将上述两式代入（4-334）式，整理，令,131,正形投影的一般条件,132,正形投影的一般条件,2、柯西.黎曼条件,133,正形投影的一般条件,正形条件m与A无关，即满足：,134,正形投影的一般条件,则有：,柯西-黎曼条件,135,正形投影的一般条件,考

28、虑到F=0，E=G，长度比公式简化为,136,把 代入（4-347），考虑下式,正形投影的一般条件,137,柯西-黎曼条件的另一种解释方法,正形投影的一般条件,138,正形投影的一般条件,如果点在子午线上：L=常数，dl=0,如果点在平行圈上：B=常数 dB=0,139,正形投影的一般条件,三角形ABB与ACC相似,140,高斯投影坐标正算,4.9.3 高斯投影坐标正反算公式,1、高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件： (1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。,高斯投影坐标正算公式推导如下：,141,高斯投影坐标正

29、算,1) 由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。 x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。,2) 由第三个条件正形投影条件,142,由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式,高斯投影坐标正算,143,高斯投影坐标正算,m0=? ) 由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。,即当 l=0 时,144,高斯投影坐标正算,145,高斯投影坐标正算,将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m,146,高斯投影坐标反算,2、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯

30、平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐标 (B，L)，相应地有如下投影方程：,同正算一样，对投影函数提出三个条件。,147,高斯投影坐标反算,1) 由第一个条件可知,2) 由第三个条件，正形条件,148,高斯投影坐标反算,149,高斯投影坐标反算,3) 由第二条件,依次求各系数,因为,所以,150,高斯投影坐标反算,151,高斯投影坐标反算,152,高斯投影几何解释,3、高斯投影正反算公式的几何解释,153,高斯投影几何解释,154,高斯投影的特点,高斯投影的特点 (1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上

31、除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。,155,高斯投影的特点,(2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。 (3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。,156,4.9.4高斯投影坐标计算算例,1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) A001 2463376.6502 49592.0721 2) GDZ80 (6378140,298.257) A001 2463377.7973

32、 49592.0955 3) BJ54 (6378245,298.3) A001 2463420.5657 49592.9084,A001：,157,平面子午线收敛角,4.9.5 平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义,158,2、公式推导 1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角的公式,平面子午线收敛角,159,(1)为l的奇函数，而且l愈大，也愈大； (2)有正负，当描写点在中央子午线以东时，为正；在西时，为负； (3)当l不变时，则随纬度增加而增大,平面子午线收敛角,160,平面子午线收敛角,2.平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角的公式,161,方向改化公式,4.9.6

33、方向改化公式,162,方向改化公式,1、方向改化近似公式的推导 在球面上四边形ABED的内角之和等于360+ 由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即,163,方向改化公式,164,方向改化较精密公式,方向改化公式,165,方向改化公式,166,4.9.7 距离改化公式,167,1) s与D的关系,168,当取最大40，s=50km时，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D,169,2、长度比和长度变形,1）用大地坐标 (B , l)

34、 表示的长度比m的公式,170,2）用平面坐标 (x , y)表示的长度比m的公式,171,(1)长度比m只与点的位置 (B，l)或 (x ,y) 有关。 (2)中央子午线投影后长度不变。 (3)当y0(或l)时， m恒大于1。 (4)长度变形(m-1)与y（或l）成比例地增大 ,而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形 。,172,3、距离改化公式 将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为平面长度D。,173,4.9.8 高斯投影的邻带坐标换算 (1)位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带)的控制网,174,邻带换算方法：,(2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一

35、带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 (3)当大比例尺(110 000或更大)测图时，特别是在工程测量中，要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带(或1.5带、任意带)之间的相互坐标换算问题。,175,4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.10.1通用横轴墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影 ,它的投影条件是取第3个条件“中央经线投影长度比不等于1而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m00.9996的高斯投影。,176,177,基本公式如下：,178,UTM投影变形的特点： UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得，处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约(约)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。 UTM投影带的划分： UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号1，2，3，60连续编号，每带经差为，从经度180和17之间为起始带(1带)，连续向东编号。,17