高中数学第2章平面向量2.2.3向量的数乘学案苏教版必修

1、2.2.3向量的数乘 1掌握向量数乘的运算及其几何意义(重点)2理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理3了解向量线性运算的性质及其几何意义基础初探教材整理1向量的数乘定义阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当a0时，a0；当0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a0，则0.()(2)对于非零向量a，向量3a与向量3a方向相反()(3)对于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍()【解析】

2、(1)若a0，则0或a0，(1)错误(2)正确(3)|6a|6|a|，|3a|3|a|，(3)正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量数乘的运算律阅读教材P68倒数第2自然段，完成下列问题1(a)()a；2()aaa；3(ab)ab.15(4a)_.【解析】5(4a)5(4)a20a.【答案】20a2ae12e2，b3e12e2，则ab_.【解析】ab(e12e2)(3e12e2)4e1.【答案】4e1教材整理3向量共线定理阅读教材P70，完成下列问题如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.1已知e1和e2不共

3、线，则下列向量a，b共线的序号是_a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.【解析】e1与e2不共线，不正确；对于有b2a；对于有a4b；不正确【答案】2已知a5b，2a8b，3(ab)则与_.【解析】2a8b3(ab)a5b，与共线【答案】共线质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型向量数乘的基本运算计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)【精彩点拨】利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并【

4、自主解答】(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abaabababa0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.再练一题1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_.【解析】原式ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)(115)ij16ij.【答案】16ij向量的共线问题已知非零向量e1，e2不共线. (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证

5、：A，B，D三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【精彩点拨】对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使即可；对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在实数，使ke1e2(e1ke2)【自主解答】(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.1证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据2若A，B，C三点共线，则向量，

6、在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系而向量共线定理是实现线性关系的依据再练一题2设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值【解】(2e1e2)(e13e2)e14e2.因为A，B，D三点共线，故存在实数，使得，即2e1ke2(e14e2)e14e2.由向量相等的条件，得解得k8，所以k8.探究共研型向量共线的有关结论探究1已知O为平面ABC内任一点，若A，B，C三点共线，是否存在，R，使O，其中1?【提示】存在，因A，B，C三点共线，则存在R，使，()，(1).令1，则，且1.探究2已知O为平面ABC内任

7、一点，若存在，R，使，1，那么A，B，C三点是否共线？【提示】共线，因为存在，R，使，且1，1，(1)，()，A，B，C三点共线如图2220所示，已知OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值. 【导学号：】图2220【精彩点拨】由已知得A为BC中点，D为OB的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决【自主解答】(1)依题意，A是BC中点，2，即22ab，2abb2ab.(2)若，则a(2ab)(2)ab.与共线，存在实数k，使k，(2)abk，解得.用

8、已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想.再练一题3.如图2221，在OADB中，设a，b，.试用a，b表示，及.图2221【解】由题意知，在OADB中，()(ab)ab.则babab，()(ab)ab，(ab)abab.构建体系1已知mR，下列说法正确的是_若ma0，则必有a0；若m0，a0，则ma与a方向相同；m0，a0，则|ma|m|a|；若m0，a0，则ma与a共线【解析】错若ma0，则m0或a0.错m0时，ma与

9、a同向，m0时，ma与a反向错|ma|m|a|，m0时，|ma|m|a|；m0时|ma|m|a|.【答案】2.ABC中，E，F分别是AB、AC的中点，且a，b，则_(用a，b表示)图2222【解析】(ba)【答案】(ba)3平面向量a，b共线的等价条件是_(填序号)a，b方向相同；a，b两向量中至少有一个为零向量；存在R，ba；存在不全为0的实数1，2，使1a2b0.【解析】由两个非零向量a，b共线的条件，即由向量共线定理可知，不是a，b共线的等价条件，是【答案】4若|a|3，b与a反向，|b|2，则a_b.【解析】b与a反向，ab，0.又|a|3，|b|2，|a|b|，ab.【答案】5计算：

10、(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2)；(3)(mn)(ab)(mn)(ab) 【导学号：】【解】(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba.(3)原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b2(mn)b.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十七)向量的数乘(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知R，则下列说法错误的是_(填序号)|a|a|；|a|a；|a|a|；|a|0.【解析】当0时，式不成立；当0或a0时，式不成立；又|a|R，而

11、|a是数乘向量，故必不成立【答案】2化简为_【解析】原式(2a6b)ab.【答案】ab3若，则_.【解析】，点A，B，C三点共线，且与同向，(如图)，又与反向，.【答案】4在ABC中，已知3，则_(用，表示)【解析】3，3()，.【答案】5(2016苏州高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则k_. 【导学号：】【解析】m与n共线，存在实数，使得mn，e1ke2(e22e1)，k.【答案】6已知向量a，b且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是_【解析】2a4b2，A，B，D三点共线【答案】A，B，D7若O是平行四边形ABCD的两条

12、对角线的交点，2e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)【解析】，3e22e1.又2，e2e1.【答案】e2e18(2016南通高一检测)已知平面内有一点P及一个ABC，若，则下列说法正确的是_(填序号)点P在ABC外部；点P在线段AB上；点P在线段BC上；点P在线段AC上【解析】，20.如图，易知P在线段AC上【答案】二、解答题9如图2223所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNBD.图2223求证：M，N，C三点共线【证明】设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又M为公共点，M，N，C三点共线10如图2224，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示和.图2224【解】连接CN.ANDC，且ANDCAB，四边形ANCD为平行四边形，b.0，ba，ab.能力提升1若5e，7e，且|，则四边形ABCD的形状是_【解析】5e，7e，与平行且方向相反，易知|.又|，四边形ABCD是等腰梯形【答案】等腰梯形2已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为_【解析】由0可知，M是ABC的重心取BC的中点D，则2.又M是ABC的重心，2，3，即m3.【答案】33在ABC中，2，mn，则m_，n_