时间响应分析培训教材(PPT 101页).ppt

1、第三章 时间响应分析,线性系统的时域分析法,系统时间响应的性能指标,一阶系统时域分析,二阶系统时域分析,高阶系统的响应分析,线性系统的稳态误差计算,2.1 系统时间响应及其组成,系统的时间响应及其组成是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；,控制系统性能要求 1、稳定 2、稳态误差 3、暂态品质,一、系统时间响应,单自由度的m-k系统,齐次微分方程的通解+特解,由理论力学与微分方程中解的理论知：,系统的无阻尼固有频率,第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应； 第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为Wn，幅值受到F的影响。 第四项:

2、作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率W.,系统的时间响应分类: 1）振动性质: 自由响应：与作用力频率无关的响应； 强迫响应：与作用力频率有关的响应； 2）振动来源: 零输入响应：由系统初始初态引起的自由响应； 零状态响应：仅由输入引起的响应（自由+ 强迫）； 3）状态收敛： 瞬态响应：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。 稳态响应：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。,控制工程主要研究:零状态响应。单位脉冲传递函数Laplace逆变换就是系统的零状态响应。,第一项:初态引起的自由

3、响应 第二项:输入引起的自由响应 第三项: 输入引起的强迫响应,的齐次方程的特征根,n和s只取决于系统的结构与参数,瞬态响应： 若所有 ，自由响应随着时间逐渐衰减, 当 时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应. 反之，只要有一个 ，即传递函数的相应极点 在复数s平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当 时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。 稳态响应:指强迫响应。,稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。,正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；,绝对值的大小：决定自由响应衰减速度，及系统趋于稳态响应的速度；,决定自由响应的振荡情况

4、，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。,不稳定,不稳定,稳定,临界稳定,二、典型输入信号,确定性信号：变量和自变量之间的关系能够用一确定性函数描述。 非确定性信号：变量与自变量之间的关系是随机的，只服从某些统计规律。 任意输入信号的时间响应:利用系统对典型输入信号的响应，由关系式,输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号; 单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和随机函数,1）单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故称位置输入信号； 2）单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速度输入信号； 3）单位抛物线函数:其二

5、次导数为常数，称为加速度输入信号。,本课程主要分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数的时间响应,2.2 一阶系统时间响应,一、 一阶系统数学模型,非周期性的惯性环节 T 称为一阶系统的时间常数 它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性。,二、 一阶系统的单位脉冲响应,输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出 称为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应。,单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换！,一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线,过渡过程时间：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程，相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为 。,统

6、的时间常数T愈小, 愈短,系统的惯性愈小，反应的快速性能愈好。,三、一阶系统单位阶跃响应,输入信号为单位阶跃函数时，即 响应函数的Laplace变换式为： 其时间响应函数为：,一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升指数曲线，稳态值为1,过渡过程,当t4T时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间为4T,两个重要的特征点： A点：其对应的时间t=T时，系统的响应达到了稳态值的63.2%； 零点：其对应的t=0时，切线斜率（响应速度）等于1/T。 指数曲线的斜率，即速率 是随时间t的增大而单调减小的，当t为 时，其响应速度为零；,实验方法求一阶系统的传递函数,1. 输入单位阶跃信号，并测出它的响

7、应曲线及稳态值； 2.从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t为T,四、一阶系统单位斜坡响应,不同输入信号响应关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。,小结： 系统时间响应及其组成； 一阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应。,作业： 3.4 3.7 3.9,2.3 二阶系统时间响应,线性系统的时域分析法,系统时间响应的性能指标,一阶系统时域分析,二阶系统时域分析,高阶系统的响应分析,线性系统的稳态误差计算,一、二阶系统数学模型,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,，欠阻尼系统，

8、闭环极点为共扼复根；,， 零阻尼，虚轴上一对纯虚根；,， 临界阻尼，两个相等的负实根；, 过阻尼，两个不相等的负实根。,可见，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不同。,过阻尼二阶系统:传递函数可分解为两个一阶惯性环节相加或相乘,因此可视为两个一阶环节的并联，也可视为两个一阶环节的串联。 临界阻尼的二阶系统： 传递函数可分解为两个相同的一阶惯性环节相乘,但考虑负载效应,是不能等价为两个相同的一阶惯性环节串、并联。特殊情况下，有可能等价为两个不同的一阶惯性环节串联。,二阶系统的响应特性完全由和n两个参数决定，所以、n是二阶系统的两个重要参数。,二、二阶系统的单位脉冲响应,输入信号是理想的单位

9、脉冲函数 时，系统的输出称为单位脉冲响应函数，特别记为 。,记 ，称 为二阶系统的有阻尼固有频率。,（1）当 ，欠阻尼系统时,（2）当 ，系统为无阻尼系统时，,（3）当 ，系统为临界阻尼系统时，,（4）当 1，系统为过阻尼系统,欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线：减幅的正弦振荡曲线。愈小，衰减愈慢，振荡频率 愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于 称为时间衰减函数，记为)。,三、二阶系统的单位阶跃响应,若系统的输入信号为单位阶跃函数，即,则二阶系统的阶跃响应函数的Laplace变换为：,（1）当 ，系统为欠阻尼系统,或,第二项是瞬态项，是减幅正弦振荡函数，它的振幅随时间t的增加

10、而减小,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。,（2）当 ，系统为无阻尼系统,（3）当 ，系统为临界阻尼系统,（4）当 ，系统为过阻尼系统,过渡过程的持续时间： 无振荡单调上升的曲线：=1时的时间t最短； 在欠阻尼系统中，当=0.4-0.8时，时间比=1时的更短，而且振荡不太严重。,二阶系统的单位阶跃响应函数过渡过程特性 ：为衰减振荡，随着阻尼的减小，振荡愈加强烈；=0：等幅振荡；=1和1时：单调上升。,在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统相比，通常选择二阶系统，这是因为二阶系统容易得到较短的过渡过程

11、时间，并且也能同时满足对振荡性能的要求。,设计：二阶系统一般工作在=0.4-0.8的欠阻尼状态。保证振荡适度、持续时间较短。 特征参数 与值决定瞬态响应，决定过渡过程。,总结：,零阻尼,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼,单位脉冲响应,单位阶跃响应,四、二阶系统性能指标,（1）上升时间 （2）峰值时间 （3）最大超调量 （4）调整时间 （5）振荡次数 N （6）延迟时间 （7）稳态误差, 延迟时间td （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间tr （Rising Time ）: 定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所

12、需的时间。, 峰值时间tp （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。, 调节时间 ts（Setting Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%）, 超调量（Maximum Overshoot） ： 指响应的最大偏离量h(tp)于终值之差的百分比，即 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。,或,评价系统的响应速度。,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。,评价系统的阻尼程度。,稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。,ess,延迟时间,令,四、二阶系统响应的性

13、能指标,则,当,时，亦可用,课本不要求！,上升时间,，求得,故取,峰值时间,求时间导数得,且,因此,可见峰值时间是有阻尼振荡周期的一半,最大超调量,超调量在峰值时间发生，故,即为最大输出,超调量只与阻尼比有关，而与无阻尼固有频率Wn无关。所以，Mp的大小说明系统的阻尼特性。当系统阻尼比确定后，即可求得超调量；反之，如果给出了系统所要求的Mp，也可由此确定相应的阻尼比。,调整时间,定义调整时间为,系统响应为,是系统的减幅正弦曲线的包络线，故,当 时，,具体设计：根据最大超调量 的要求，确定阻尼，所以调整时间 主要是根据系统的 来确定的。 由此可见，二阶系统的特征参数 决定系统的调整时间 和最大超

14、调量 ；反过来，根据对 的要求，也能确定二阶系统的特征参数 。,振荡次数N,在过渡过程时间 内，穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数。系统的振荡周期是 所以其振荡次数为： 因此，当 时，由 ，得,振荡次数N随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。,由以上讨论，可得如下结论：,（1）要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合适的阻尼比和无阻尼固有频率 ，提高 ，可以提高系统的响应速度，减少；增大，可以减弱系统的振荡性能，降低 ，减小N，但增大 。 一般情况下，系统在欠阻尼状态 下工作，通常根据允许的超调量来选择阻尼比. （2）系统的响应速度与振荡性能（稳定性）之间是存在矛盾的。要

15、兼顾系统的振荡性能和响应速度，就要选取合适的和 值。,二阶系统计算举例,例 2 已知一个闭环系统的单位阶跃响应为,1）求系统的闭环传递函数 2）确定系统的 和 n,解：,例 3 在质块施加8.9N阶跃力后，m的时间响应如图，求系统的参数m, k, c.,解：是阶跃力输入， 8.9N， 是输出位移。由图（b）可知系统的稳态输出 0.03m， =0.0029, 此系统的传递函数显然为：,而 0.03m，因此k297N/m.。,（1）求k: 由Laplace变换的终值定理可知：,其实，根据Hooker定律很容易直接计算k。因为 即为静变形， 即可视为静载荷，从而有 即得,又由式（3.4.17）求得

16、,将 代入 中，得 再由 求得m77.3kg。,(2) 求m 由式得,（3） 求c 由 ，求得,例 4.,当系统加入微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，改善了系统振荡性能，即减小了Mp，但并没有改变无阻尼固有频率Wn。,例 5.设角度指示随动系统结构如图所示，图中T为伺服电机时间常数，K为开环增益，若要求系统的单位阶跃响应超调不超过5%，且调节时间ts=1s，问增益K和时间常数T应取何值。,解：系统闭环传递函数为：,据题意，应取 =0.69 ，在欠阻尼状态下有：,ts=3/n得： n= 3/ts=3/0.69,继而由 2n=1/T且K/T= n* n 知,T= 1/2n=1/6K=T* n

17、* n =2.86,3.4 高阶系统的响应分析,对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化为零阶、一阶与二阶环节等的组合。而一般所关注的，往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特性。,本节着重阐明高阶系统过渡过程的闭环主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统。,系统的传递函数为,若n阶系统的传递函数有q个实数极点和2r个共轭复数极点（包含共轭虚数）则可写成为：,故系统的单位阶跃响应函数的Laplace变换式：,总结：,1、二阶系统性能指标计算； 2、高阶系统性能分析； 3、单位脉冲函数在时间响应中的作用。,作业： 3.11

18、 3.12 3.15 3.16,线性系统的时域分析法,系统时间响应的性能指标,一阶系统时域分析,二阶系统时域分析,高阶系统的响应分析,线性系统的稳态误差计算,3.5 系统误差分析与计算,“准确”是控制系统的一个重要性能。 控制系统要求：输入一定的控制信号后，期望系统在稳定运行时有对应的所要求的输出值。 但是由于系统的结构、输入信号的不同，参数及其变化等各种原因。系统的实际输出值往往不一定等于所期望的输出值，实际系统中期望的数值与实际输出的差就是所谓的误差。,一、系统的误差与偏差,本节讨论没有随机干扰作用，理想的线性元件的情况下，系统的误差。,系统的误差:瞬态误差;稳态误差 瞬态误差随过渡过程逐

19、渐衰减，稳态误差最后成为误差的主要部分。误差与系统的输入、系统的结构和参数有关。,1、误差：以系统输出端为基准来定义的。 设 是控制系统所希望的输出， 是其实际的输出，则误差定义为： 其Laplace变换记为 （为避免与偏差E(s)混淆，用下标1区别）,2、偏差：以系统的输入端为基准来定义 记为： 其Laplace变换为 ： 式中，H(s)为反馈回路的传递函数；,偏差与误差间关系,偏差：在实际系统中是可以测量的,因而具有一定的物理意义； 误差：在实际系统中无法测量，因而一般只具有数学意义，在性能指标中经常使用。 在后面叙述中，均采用偏差进行计算与分析。如果需要计算误差，求出偏差后依据上式可求出

20、。,二、稳态误差与稳态偏差,稳态误差定义：系统控制过程平稳下来以后的系统的误差，即时间趋于无穷大时的系统的误差。,为了计算稳态误差，可先求出系统的误差信号的Laplace变换式，再用终值定理求解 同理，系统的稳态偏差,一般先计算与分析偏差，然后根据偏差可求解误差,三、控制系统稳态误差求解,闭环系统传递函数,误差求解,方法一、直接求解,复杂、难解！,方法二、间接求解,1) 与输入有关的稳态偏差 2) 与干扰有关的稳态偏差,先计算与分析稳态偏差，然后根据偏差求解稳态误差,稳态偏差产生：,输入有关的稳态偏差,干扰有关的稳态偏差,输入有关的稳态偏差,1）与输入有关的稳态偏差,偏差定义,偏差传函,稳态偏

21、差,稳态偏差不仅与系统特性（结构与参数）有关，且与输入信号特性有关。,设系统的开环传递函数Gk(s)为 式中，n,m分别为Gk(s)的分母、分子阶数，k是系统的开环增益, v为串联积分环节的个数，表征系统的结构特征。,系统的型次（系统结构特征）,A、阶跃信号输入,因为,可见： 1）当系统开环传递函数中有积分环节存在时，系统阶跃响应的稳态值将是无差的。而没有积分环节时，稳态是有差的。 2）为了减少误差，应当适当提高放大倍数。但过大的K值，将影响系统的相对稳定性。,位置有差系统,位置无差系统,B、斜坡信号输入,速度有差系统,速度无差系统,可见： 1）0型系统不能适应斜坡输入，因为其稳态偏差为无穷；

22、 2）I型系统能跟踪斜坡输入，但存在稳态偏差; 3）对于II型或高于II型系统，对斜坡输入响应的稳态无差。,C、 加速度信号输入,因为,要求对于加速度作用下不存在稳态误差，必须选用型及型以上的系统。,可见： 1）当输人为加速度信号时，0、工型系统不能跟随， 2）型为有差，要无差则应采用型或高于型的系统。型系统加速度信号输人时，可增大K值来减少偏差。,静态位置误差系数,静态加速度误差系数,K,型,0,K,型,0,0,K,0型,误差系 数 类型,静态速度误差系数,在参考输入作用下的稳态误差：,减小或消除稳态偏差的措施,稳定与准确是有矛盾的,对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差,当输入控制信号为多

23、种典型信号的线性组合时，可根据叠加原理计算稳态偏差。,稳态篇差与系统结构和输入信号均有关,结论,例 1：设单位反馈系统的开环/闭环传递函数为,求输入分别为r(t)=2t， r(t)=2+2t和r(t)=2+2t+t2时，系统的稳态误差,解：,系统的开环传递函数,各误差系数,据实际输入确定稳态误差,输入为单位阶跃时：,输入为斜坡函数时：,输入为抛物线函数时：,r(t)=2t,r(t)=2+2t+t2,r(t)=2+2t,2）与干扰有关的稳态偏差,由干扰引起的稳态偏差,干扰误差传函,若扰动为单位阶跃信号：,A、G1，G2 无积分,C、G1无积分， G2有积分,B、G1有积分， G2无积分,扰动稳态误差只与作用点前 的结构 和参数有关。如果 中的 时，相应 系统的阶跃扰动稳态误差为零，斜坡稳态 误差只与 中的增益 成反比。至于 扰动作用点后的 ，其增益 的大小和 是否有积分环节，它们均对减小或消除扰 动引起的稳态误差没有什么作用。,结论,总的误差=R(S)引起的误差+n(