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1、二 次 函 数 复 习,一、概念,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0) 的函数叫做二次函数,其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c,二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c,想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?,注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a0) 的函数叫做二次函数,知识运用,下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x),函数yax2bxc 其

2、中a、b、c是常数 切记：a0 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式） 二次函数的特殊形式： 当b0时， yax2c 当c0时， yax2bx 当b0，c0时， yax2,驶向胜利的彼岸,当m取何值时，函数是y= (m+2)x 分别 是一次函数？ 反比例函数？,知识运用,m2-2,二次函数？,（一）形如y = ax 2(a0) 的二次函数,向上,向下,直线X=0,(0,0),（二）形如y = ax 2+k(a0) 的二次函数,直线X=0,（0，K）,向上,向下,直线X=h,（h，0）,（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a0 ) 的二次函数,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下

3、载！,X,y,o,1,1. y=4x2,2,2. y=2x2,3,3. y=x2,4,4. y=0.5x2,X,y,O,5,6,7,8,5、y=-4x2,6、y=-2x2,7、y=-x2,8、y=-0.5,我思考，我进步,想一想,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,巩固练习1： （1）抛物线y= x2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；,上,Y轴,(0,0),1、2,-1,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（二）形如y = ax 2+k (a0)的二次函数,X=0,（0，K）,我思考，我进步,想一想,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎

4、下载！,巩固练习2： （1）抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线 y = x 2向 平移 个单位得到的；,上,X=0,（0，3）,上,3,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ； 函数关系式是 y = 。,1/2,-2,1/2x 2-2,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（三）、形如y = a (x-h) 2( a0 ) 的二次函数,向上,向下,x=h,（h，

5、0）,我思考，我进步,想一想,巩固练习1： （1）抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ；,（2)已知y = - nx 2 (n0) , 则图象 ( ) （填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。,上,Y轴,(0,0),一、二,不可能,（3）抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 , 顶点坐标是 ,是由抛物线 y = x 2向 平移 个单位得到的；,上,直线X=0,（0，3）,上,3,（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ；函数关系式是y = 。,0.

6、5,-2,0.5x 2-2,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x-2)2,y=2(x+1)2,y=2(x+2)2,y=a(x-h)2 (a0),我思考，我进步,想一想,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,练习巩固3： y = - 2(x+3) 2的开口向 ，对称轴是 , 顶点坐标是 ，,下,x=-3,（-3，0）,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,（2）如图是y = a（x-h）2的图象，则a 0，h 0 ； 若图象过A (2，0) 和B (0，-4) 则a = , h = ； 函数关系式是y = 。,-1

7、,2,-（X-2）2,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a 0) 的二次函数,a 0,a 0,直线X=-h,（-h，k）,练习巩固: （1）抛物线 y = 2 (x ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。,上,X=,（，1）,0,二、平移，配方,向左(向右)平移|m|个单位,向上(向下)平移|k|个单位,通过 配方,1、将函数y=x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式,2、将函数y=-2x2-4x+5转化成y=a(x+m)2+k的形式

8、,三、开口方向、对称轴、顶点坐标,1.开口方向看a的值,2.求对称轴,直线x=-m,直线x=,3.求顶点坐标,（-m，k）,（ ， ）,1、y=x2,2、y=(x-1)2,3、y=(x-1)2+3,4、y=-2(x+1)2-3,5、y=2x2+3,6、y=3x2-6x-5,1、求下列函数的顶点坐标,7、y=-2x2-4x+5,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有

9、实数根,b2-4ac 0,我思考，我进步,想一想,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a_0, b_ _0, c_0, abc_0 b 2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0,业精于勤荒于嬉,小试牛刀,=,=,五、函数的增减性,2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常设抛物线解析式为_,3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_,1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-m)2+k(a0),y=a

10、(x-x1)(x-x2) (a0),六、求抛物线解析式常用的三种方法,一般式,顶点式,交点式或两根式,新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！,练习根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。,七、判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符号,（1）a的符号：,由抛物线的开口方向确定,开口向上,a0,开口向下,a0,（2）C的符号：,由抛物线与y轴的交点位置确定.,交点在x轴上方,c0,交点在x轴

11、下方,c0,经过坐标原点,c=0,（3）b的符号：,由对称轴的位置确定,对称轴在y轴左侧,a、b同号,对称轴在y轴右侧,a、b异号,对称轴是y轴,b=0,（4）b2-4ac的符号：,由抛物线与x轴的交点个数确定,与x轴有两个交点,b2-4ac0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b2-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0,0,-1,1,-2,填空： (1)抛物线yx23x2与y轴的交点坐标是_，与x轴的

12、交点坐标是_； (2)抛物线y2x25x3与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标是_,(0,2),(1,0)和(2,0),(0,-3),(1,0)和（1.5，0）,八、如何求二次函数图象与坐标轴的交点,（3）坐标轴三个交点围成的三角形面积是 ；,3.75,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,1、根据下列表格的对应值： 判断方程ax2+bx+c=0（a0,a、b、c为常数）一个解的范围是（） 、3x3.23 、3.23x3.24 、3.24x3.25 、3.25x3.26,例题分析,例1.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2), 求该抛物线的解析式.,例2.已知抛物线 (

13、1)将函数化为 的形式. (2)说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到? (3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.,例2.已知二次函数 (1)当k为何值时，函数图象经过原点？ (2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？,例3、已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。,1、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。,(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;,(2)、当x为何值时，y0。,(3)、求它的解析式和顶点坐标；,练一练,2、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与

14、x轴有且只有一个交点，那么a的值和交点坐标分别为 。,9或1,3、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3，且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式。,4、已知函数y=x2-2x-3，结合图象，试确定x取何值时，y0，y=0，y0。,5、已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）。 （1）求此二次函数的解析式。 （2）设此二次函数的图象与x轴交于A、B两点，O为坐标原点，求线段OA、OB的长度之和。,6、把抛物线y=-3x2绕着它的顶点旋转1800后所得的图象解析式是 。,y=3x2,7、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点，最小值是-8，且形状与抛物线y=0.

15、5x2-3x-5的形状相同，其解析式为 。,y=0.5（x-16）2-8,8、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函数值y的取值范围是 。,9、若抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是（2，3），则a= ，c= 。,y2,-0.5,1,10、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= 。,11、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b= 。,12、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图象过原点，则m= 。,8,3,8,-8,13、如果点P（1，a）和点Q（-1，b）在抛物线y=-x2+1上，

16、那么线段PQ的长为 。,14、已知y=x2-（12-k）x+12，当x1时，y随x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小，则k的值为 。,2,10,15、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，-2），则a+b+c的值是 。,16、直线y=-2x-3与抛物线y=x2+（3m+1）x+2m的对称轴交于点（-2，1），则m= 。,-2,1,17、抛物线y=-（x-m）（x-3-k）+m与抛物线y=（x-3）2+4关于原点对称，则m+k= 。,18、已知二次函数的图象过（2，0），（6，0）两点，且顶点在直线y=0.75x上，求此二次函数的解析式。,-9,y=-0.75（x-4）2+3

17、,选一选 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 (2)抛物线y=3x2-1的_ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2,c,B,C,A,x,5、在同一直角坐

18、标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（ ）,B,例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。,解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=x+1上 当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2） 设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又图象经过点（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x,综合创新: 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶

19、点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1

20、,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ， 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析式.,（3）求抛物线与直线的交点坐标.,解：二次函数的对称轴是x=1 图象的顶点横坐标为1 又图象的最高点在直线y=2x+4上 当x=1时，y=6 顶点坐标为（ 1 ， 6）,例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1，ACB=90，求抛物线解析式。,解： 点A在正半轴，点B在负半轴

21、 OA=4，点A（4，0） OB=1， 点B（-1，0） 又 ACB=90 OC=2，点C（0，-2） 设ya（x）（x）得： a（）（） a. y.（x）（x）,问题2这位同学身高1.7 m,若在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？,尝试成功,如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.,3.05 m,2.5m,3.5m,问题1 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；,4 m,试一试,你知道吗？平时我们在跳绳

22、时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。,1m,2.5m,4m,1m,甲,乙,丙,丁,(0,1),(4,1),(1,1.5),练习：在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（ab 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？,D,C,A,B,G,H,F,E,a,b,b,2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米

23、的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。,解：,(1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米,(3) 墙的可用长度为8米,(2)当x 时，S最大值 36（平方米）, Sx（244x） 4x224 x （0x6）, 0244x 8 4x6,当x4m时，S最大值32 平方米,3、某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。 （1）求y的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？,解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, y=x2+