高中数学 第三章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案 北师大版选修

1、4 导数的四则运算法则 导数的加法与减法法则已知函数f(x)，g(x)x，那么f(x)，g(x)1.问题1：如何求h(x)f(x)g(x)的导数？提示：用定义，由h(x)x，得h(xx)h(x)xxxx.则f(x) 1.问题2：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？提示：成立问题3：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？提示：成立问题4：运用上面的结论你能求出(3x2tan xex)吗？提示：可以，(3x2tan xex)6xex.导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)导数的乘法与除法法则

2、已知函数f(x)x3，g(x)x2，则f(x)3x2，g(x)2x.问题1：f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？提示：因为f(x)g(x)(x5)5x4，f(x)g(x)3x22x6x3，所以上式不成立问题2：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？提示：成立问题3：成立吗？提示：不成立问题4：成立吗？提示：成立导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).(2)kf(x)kf(x)1f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，避免与f(x)g(x)f(x)g(

3、x)混淆2若c为常数，则cf(x)cf(x)3类比f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)记忆. 导数公式及运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)f(x)xln x；(2)y；(3)y2x3log3x；(4)yxsincos.思路点拨观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解精解详析(1)f(x)(xln x)ln xxln x1.(2)法一：y().法二：y1，y(1)().(3)y(2x3log3x)(2x3)(log3x)6x2.(4)yxsincosxsin x，y(xsin x)1cos x.一点通解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结

4、构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量1用导数的运算法则推导：(1)(tan x)；(2)(cot x).解：(1)(tan x).(2)(cot x).2求下列函数的导数(1)y4cos x3sin x；(2)y；(3)yxnex.解：(1)y(4cos x3sin x)(4cos x)(3sin x)4sin x3cos x.(2)y().(3)y(xnex)(xn)exxn(ex)(nxn1xn)ex.利用导数解决参数问题例2已知抛物线yax2bxc通过点(1,1)，且在点(2，1)处与直线y

5、x3相切，求a，b，c的值思路点拨题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a，b，c的值精解详析因为yax2bxc过点(1,1)，所以abc1.y2axb，曲线在点(2，1)的切线的斜率为4ab1.又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.由解得所以a，b，c的值分别为3，11,9.一点通1由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键2若已知(x0，y0)处的切线方程为ykxb，则有f(x0)k，y0kx0b.3若函数y(m0)在点xx0处的导数等于0，那么x0()AmBmCm Dm2解析：由y1，结合题意得10xm2x0m.答案：C4已知曲

6、线yx31与曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()A. B.C. D.解析：因为yx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0.答案：D5若f(x)为一次函数，且x2f(x)(2x1)f(x)1，求f(x)的解析式解：由于f(x)为一次函数，则f(x)必为二次函数，令f(x)ax2bxc，则f(x)2axb，代入x2f(x)(2x1)f(x)1得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1.即(ba)x2(b2c)x(c1)0，解得f(x)2x22x1.导数与曲线的切线例3已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2

7、)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程思路点拨(1)求出f(x)在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可(2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标精解详析(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜

8、率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，又kf(x0)3x1，3x1.解之得x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.或即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14

9、或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.一点通利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程(1)求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程：求导数yf(x)，得斜率kf(x0)；写出点斜式方程yf(x0)f(x0)(xx0)并化简(2)求过点P(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程：设切点坐标为(x0，y0)；求导数yf(x)得切线斜率kf(x0)；写出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)；代入P的坐标(x1，y1)，求出x0；代入切线方程并化简6若曲线f(x)x3ax2x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围为()A(，1，) B(，11，)C(，10，) D，)解析：f

10、(x)x22ax1，f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即x22ax10有解，(2a)240，a1或a 1，即a的取值范围为(，11，)答案：B7曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线方程为_解析：y3x26x63(x1)23，当x1时，y取最小值3.点(1，14)处的切线斜率最小，切线方程为y143(x1)即3xy110.答案：3xy1108若函数f(x)ax22ln x(aR)在点(1，f(1)处的切线l与圆C：x2y21相切，求a的值及切线l的方程解：依题意有f(1)a，f( x)2ax，f(1)2a2.直线l的方程为ya(2a2)(x1)，即(2a2)xya20.(

11、*)l与圆C相切，1，解得a1或a.把a1或a代入(*)式并整理得切线l的方程为y1或4x3y50.1运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则2求切线方程(1)求过点P的曲线的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值 1函数y的导数是()A.B.C. D.解析：y.答案：A2曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy

12、2x3 Dy2x2解析：y，kf(1)2.切线方程为：y12(x1)，即y2x1.答案：A3若过函数f(x)ln xax上的点P的切线与直线2xy0平行，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2，) D(0，)解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2xy0平行，因为f(x)a，故f(x0)a2，得a2，由题意知x00，所以a22.答案：B4已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(e为自然对数的底数)，则f(e)等于()A. BeC De解析：由f(x)2xf(e)ln x，得f(x)2f(e)，则f(e)2f(e)f(e).答案：C5函数y在x处的导

13、数为_解析：y，x时，y2.答案：26若点P是曲线f(x)x2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的距离最小时点P的坐标为_解析：过点P作yx2的平行直线l，且与曲线f(x)x2ln x相切设P(x0，xln x0)，则直线l的斜率kf(x0)2x0，2x01，x01或x0(舍去)，点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)7求下列函数的导数(1)y；(2)y；(3)y1sin2.解：(1)y2, y.(2)y.(3)y1sin2(3cos x)cos x，ysin x.8已知函数f(x)ax2(a2)xln x.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1时，求

14、证：当x1，e时，f(x)0，其中e为自然对数的底数解：(1)当a1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3，因为f(1)0，f(1)2，所以切线方程是y2.(2)证明：函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，)，f(x)2ax(a2).即f(x)，当a1时，在x1，e上，2x10，ax10，可得f(x)0.对应学生用书P44一、导数的概念1导数：f(x0)li x是自变量x在x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f(x0)是一个常数2导函数：f(x)li f(x)为f(x)的导函数，是一个函数二、导数的几何意义1f(x0)是函数yf(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何

15、意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点(x0，f(x0)处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数：(1)f(x)c，则f(x)0；(2)f(x)x，则f(x)x1；(3)f(x)ax(a0

16、且a1)，则f(x)axln a.(4)f(x)logax，则f(x)；(5)f(x)sin x，则f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则f(x)sin x；(7)f(x)tan x，则f(x)；(8)f(x)cot x，则f(x).2导数四则运算法则：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3).(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(5x)5xlog5e D(x2cosx)2xsi

17、n x解析：1；(5x)5xln 5；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，B选项正确答案：B2设函数y3x2在区间4，2上的平均变化率为a，在区间2,4上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是()Aab BabCab D不确定 解析：一次函数ykxb在区间m，n上的平均变化率都为常数k.y3x2在区间4，2，2,4上的平均变化率都为常数3，ab3.答案：C3运动物体的位移s3t22t1，则此物体在t10时的瞬时速度为()A281 B58C85 D10解析：t10时的瞬时速度即为t10时的导数值，s6t2.t10时，s610258.答案：B4若曲线

18、f(x)x2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：由f(x)2xa，得f(0)a1，将(0，b)代入切线方程得b1.答案：A5曲线f(x)xx3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为()A3 B2C. D.解析：由题意，f(x)1x2，故切线的斜率为kf(1)2，又切线过点，切线方程为y2(x1)，即y2x，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，)故所求三角形的面积.答案：D6曲线f(x)2x33x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A(1，1) B(1，5)C(1,1) D(1，1)或(1,1)解析：设切点为(x0，

19、y0)，则6x33.x1，则x01.当x01时，y01；x01时，y01，故选D.答案：D7已知f(x)x22xf(1)，则f(0)()A2 B2C1 D4解析：f(x)2x2f(1)，令x1得，f(1)22f(1)f(1)2，即f(x)x24x.f(x)2x4，f(0)4.答案：D8已知函数f(x)x3ax2bxc，x3,3表示的曲线过原点，且在点(1，f(1)和点(1，f(1)处的切线斜率均为2，则f(x)的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：f(0)0，c0，f(x)3x22axb.得解得a0，b5，f(x)x35x，x3,3，f(x)为奇函数答案：

20、A9(江西高考)若f(x)x22x4ln x，则f (x)0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：令f (x)2x20，利用穿针引线法可解得1x0或x2，又x0，所以x2.答案：C10若点P在曲线yx33x2(3)x上移动，点P处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A. B.C. D.解析：y3x26x33(x1)2，即tan ，所以.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11设f(x)，则f_.解析：f(x)，f2.答案：212点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜

21、率为2，则点P的坐标为_解析：y3x210，设切点P(x0，y0)(x00)，则曲线C在点P处切线的斜率k3x102，x02.点P的坐标为(2,15)答案：(2,15)13设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，若f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为_解析：f(x)3x22axa3为偶函数，a0，f(x)3x23，f(0)3，所求切线方程为y3x.答案：y3x14已知f(x)x3x2bxc的图像存在与直线y1平行的切线，则b的取值范围是_解析：由题意知，存在x使f(x)3x2xb0，故112b0，得b.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s(3)，并解释它的实际意义解：s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.16(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)(1)f(x)是三次函数，且f(0)3