一、圆锥曲线的光学性质及其应用

1、抛物线及其标准方程,惠州一中 方志平,1、设置情景，引发探究 2、合作交流，导出方程 3、实例分析，深化理解 4、总结提高，明确要点,抛物线及其标准方程,天空中的彩虹,喷泉,5,探究1：,7,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,8,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,探究？,几何画板观察,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|M

2、H|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,探究2：,抛物线的定义,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,准线,焦点,|MH|=d,即:若 ， 则M点的轨迹是抛物线， d 为 M 到 l 的距离,定点F叫抛物线的焦点, 定直线l叫抛物线的准线,若定直线l 经过定点F，则动点M的轨迹是什么？,M点的轨迹是：经过F且与 l 垂直的一条直线,探究3:,探究4:,怎样建立直角坐标系，求抛物线的方程呢？并且使抛物线的方程更简单呢？,已知定点F到定直线l的距离为p,探究抛物线的标准方程,解

3、法1：以l为y 轴，过点F 垂直于 l 的直线为X轴建立直角坐标系（如下图所示）,记|FK|p,则定点F(p,0),设动点M(x,y) ，由抛物线定义得： 化简得：,解法2:以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为X轴 建立直角坐标系(如下图所示),记|FK|=P,则定点F(0,0),l的方程为X=-P,设动点 ，由抛物线定义得 ：,化简得：,解法3：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.,依题意得,两边平方,整理得,F,M(x,y),K,x,o,y,K,F,M(x,y),x,y,y,o,x,比较探究结果：,方程最简洁,抛物线的标准方程,方程

4、 y2 = 2px（p0）表示抛物线，其顶点在原点，焦点F位于x轴的正半轴上，其准线交于x轴的负半轴,抛物线的标准方程,P 的几何意义是:焦点到准线的距离，故此 p 为正常数,y,x,o,.,F,抛物线的标准方程还有哪些形式?,抛物线的标准方程的其它成员,这些形式的抛物线的焦 点与准线又如何表示呢？,探究5:,方案三,方案二,方案一,方案四,类比,分析,x2,2py,(0, ),y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),四种抛物线的特征：,(4)p的几何意义是:,（1）标准方程中二次项写在左边，一次项写在右边；,焦 点 到 准 线 的

5、距 离,先“定位”， 后“定量”,探究6:,观察抛物线的几种不同形式的标准方程，方程有什么共同特点？,（2）标准方程中一次项决定焦点所在坐标轴；,（3）标准方程中p前面的正负号决定开口方向,例1：根据下列条件求抛物线的标准方程： 已知抛物线的焦点坐标是F(2,0); 已知抛物线的准线方程是y=3;,解： 焦点在x轴正半轴上，由p/2=2,得P=4, 所以抛物线的标准方程是：y2=8x,焦点在y轴负半轴上，由p/2=3,得P=6，所以抛物线标准方程是： x2=-12y,例题讲解,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：, y2=6x y= 6x2,小结:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式后,再

6、定焦点、开口方向及准线,先定位，后定量,例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,分析:,0.5,4.8m,解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 设抛物线的标准方程是 y2=2px (p0) ， 由已知条件可得，点A的坐标是(0.5,2.4) ，代入方程，得2.42=2p0.5, p=5.76 所求抛物线的标准方程是 y2=11.52x，焦点坐标是（2.88,0）,4.8m,(0.5,2.4),0.5,28,总结提高，明确要点,总结提高，明确要点,2.抛物线的定义,4.抛物线的四种标准方程的焦点坐标和准线方程,1.生活中的抛物线,3.抛物线标准方程的推导,一次项决定焦点所在坐标