《2.1.2求曲线的方程》课件3.ppt

1、2.1.2 求曲线的方程,1.坐标法和解析几何研究的主要问题 (1)坐标法:借助于_，通过研究方程的性质间接地来研 究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题: 曲线研究方程:根据已知条件，求出_. 方程研究曲线:通过曲线的方程，研究_.,坐标系,表示曲线的方程,曲线的性质,2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意 一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P=_. (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程_. (4)化方程f(x，y)=0为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_.,(x，y),M|p(M),f(x，y)=0,曲

2、线上,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样.() (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.() (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.(),提示:(1)正确.对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样. (2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=x. (3)错误.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (

3、1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程 是. (2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足 =4，则点P的轨迹方程是. (3)已知点O(0，0)，A(1，-2)，动点P满足|PA|=3|PO|，则点P的轨迹方程是.,【解析】(1)设M(x，y)，由|MO|=2，得 =2，所以x2+y2=4. 答案:x2+y2=4 (2)由 =4知，x+2y=4x+2y-4=0， 所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,(3)设P(x，y)，则|PA|=3|PO|可化为 化简得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y

4、-5=0,【要点探究】 知识点 坐标法与曲线方程的求解 1.平面直角坐标系的选取方法 (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系. (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系.,(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系. (4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系.,2.求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴. (2)第二步要仔细分析曲线的特征，注

5、意揭示其隐含的条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示.,(3)在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”. (4)第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除.,3.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时，坐标系建立的不同，同一曲线方程也不相同. (2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不设成其他字母. (3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹

6、在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.,【知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析,【微思考】 (1)曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形，如何选取坐标系？ 提示:若曲线(或轨迹)为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴)；若曲线(或轨迹)是中心对称图形，通常以对称中心为原点.,(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗？ 提示:不一定，若有坐标系，第一步可省略，第二步虽重要，但只要能把条件转化为方程即可，故也可省略.若化简前后方程的解集相同，步骤(5)也可省略，如有特殊情况可以适当说明. (3)求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？ 提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程

7、的曲线两个方面进行检验.,【即时练】 在RtABC中，|AB|=2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程. 【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段 AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则 A(-a，0)，B(a，0). 设C(x，y)是平面内的任意一点，连接CO，则由 直角三角形的性质知:|OC|=|AB|=2a=a. 因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心，以a为半径的圆(除去与x轴的交点)，其轨迹方程为x2+y2=a2(xa).,【题型示范】 类型一 直接法求曲线的方程 【典例1】 (1)(2014南昌高二检测)已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P满足 =0，则点P的轨迹方程为. (2)

8、一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍， 求动点的轨迹方程.,【解题探究】1.题(1)条件 =0如何转化？ 2.题(2)中条件可用式子如何表示？ 【探究提示】1.写出向量的坐标和向量的坐标，转化 为向量的坐标运算. 2.设动点P到直线x=8的距离为d，则条件的几何表示为:d=2|PA|.,【自主解答】(1)设P的坐标为P(x，y)，由 =(-2-x，-y)(2-x，-y)=x2-4+y2=0， 得x2+y2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,(2)设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|， 到点A的距离|PA|= 由已

9、知d=2|PA|得: |x-8|=2 化简得: 3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.,【方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:建立恰当的平面直角坐标系； 找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.,【变式训练】(2014宝鸡高二检测)如图，圆O1和圆O2的半径 都等于1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分 别为切点)，使得PM= PN，建立平面直角坐标系，并求动点P的 轨迹方程.,【解析

10、】以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在直线为x轴，建立直角坐标系如图所示，则O1(-2，0)，O2(2，0).,由已知PM=PN，得PM2=2PN2， 因为圆的半径为1，所以PO12-1=2(PO22-1)， 设P(x，y)，则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.,【补偿训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程. 【解析】设动点M的坐标为(x，y)，则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|，|x|.由题意知|y|=2|x|，整理得y=2x. 所以点M的轨迹方程为y=2x.

11、,类型二 代入法求曲线的方程 【典例2】 (1)(2014吉林高二检测)已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A(0，-1)与点P连线中点M的轨迹方程是() A.y=2x2B.y=8x2 C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1 (2)设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.,【解题探究】1.题(1)若已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2中点P的坐标是什么？ 2.题(2)哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方程，借助什么方法可用这些点表示点P的坐标？,【探究提示】1.据中点坐标公式知中点P的坐标

12、为 2.从题目的已知条件可知，点M与点O的坐标已知，点N满足已知 曲线的方程，可借助中点坐标公式，OP的中点坐标与MN的中点 坐标相同表示出点P的坐标.,【自主解答】(1)选C.设M点坐标为(x，y)，点P坐标为(x0，y0)，则2x02-y0=0. 因为M为AP的中点，所以得 解得 代入式得 2(2x)2-(2y+1)=0，即2y=8x2-1.,(2)如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，,则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为 因为平行四边形的对角线互相平分，所以 从而 由N(x+3，y-4)在圆上，得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y

13、-4)2=4，但应除去两点: 和,【延伸探究】若把题(2)中MN的中点记为Q，试求点Q的轨迹方程. 【解题指南】采用代入法求解. 【解析】设Q(x，y)，N(x0，y0)， 所以 则 由N在圆x2+y2=4上运动， 所以(2x+3)2+(2y-4)2=4. 故点Q的轨迹方程为 +(y-2)2=1.,【方法技巧】 1.代入法求轨迹方程的适用条件 已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的轨迹方程时，往往用代入法. 2.代入法求曲线方程的四个步骤,【变式训练】动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点B(3，0) 连线的中点为P，求P点的轨迹方程. 【解析】设P(x，y)，M(

14、x0，y0)， 因为P为MB的中点，所以 即 又因为M在曲线x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.,【补偿训练】已知直线l:2x+4y+3=0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为12两部分，则Q点的轨迹方程是() A.2x+4y+1=0B.2x+4y+3=0 C.2x+4y+2=0D.x+2y+1=0,【解析】选A.设Q点的坐标为(x，y)，P点坐标为(x，y)， 又Q分OP所成的比为 ，即= 所以(x，y)= (x-x，y-y)， 所以 得 又P(x，y)在2x+4y+3=0上， 所以2(3x)+4(3y)+3=0，

15、即2x+4y+1=0. 故点Q的轨迹方程是2x+4y+1=0.,【易错误区】求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑 不全致误 【典例】已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，c，b成等差数列，acb，|AB|=2，则顶点C的轨迹方程为.,【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角 坐标系，如图，则A(-1，0)，B(1，0)， 设C(x，y)， 因为a，c，b成等差数列， 所以a+b=2c，即|AC|+|BC|=2|AB|， 故 =4， 化简整理得:3x2+4y2=12. 由于ab，即,解不等式得x0， 又C不能在x轴上，所以x-2， 所以3x2+4y2=12(x0且x-2)是所求的轨迹方程. 答案:3x2+4y2=12(x0且x-2),【常见误区】,【防范措施】 重视题目中的隐含条件 求轨迹方程时虽能写出方程，但易产生增点或丢点现象，进而求错.所以在求动点的轨迹时，一定要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件.如本例易忽略隐含条件C不在x轴上而致错.另外三角形的三个顶点不共线；直线斜率不存在的情况；点到坐标轴的距离为|