2控制系统的数学模型2007.ppt

1、2 控制系统的数学模型Mathematical Model for Control System,Contents of this chapter,2.1拉普拉斯变换 Laplace transfer 2.2线性系统的传递函数 Transfer function of linear system 2.3典型环节的数学模型 Mathematical model of typical elements 2.4动态结构图及其等效变换 Block diagram and equivalent transfer 2.5闭环系统的传递函数 Transfer function of closed-loop

2、system,2.1 Laplace Transform,2.1.1拉氏变换的定义 2.1.2常用函数的拉氏变换 2.1.3拉氏变换的主要性质 2.1.4拉氏反变换 2.1.5利用拉氏变换解微分方程,2.1.1拉氏变换的定义Definition of Laplace Transform,作用,常微分方程,初始条件,解,代数方程,解,拉氏变换,拉氏反变换,解 ，初始条件：,2.1.1拉氏变换的定义 Definition of Laplace Transform,定义,Laplace Transform,Inverse Laplace Transform,2.1.2常用函数的拉氏变换,1)单位阶跃

3、函数：Unit Step Function,Proof,2.1.2常用函数的拉氏变换,2)单位斜坡函数Unit Ramp Function,Proof,2.1.2常用函数的拉氏变换,3)等加速函数Parabolic Function,Proof,2.1.2常用函数的拉氏变换,4)指数函数Exponential function,Proof,2.1.2常用函数的拉氏变换,5)正弦函数和余弦函数 Sinusoid and Cosine function,2.1.2常用函数的拉氏变换,5)正弦函数和余弦函数 Sinusoid and Cosine function,Proof,2.1.2常用函数的拉

4、氏变换,5)正弦函数和余弦函数 Sinusoid and Cosine function,Proof,2.1.2常用函数的拉氏变换,6) 单位脉冲函数 Unit Impulse function,单位脉冲,方 波,2.1.3拉氏变换基本法则 Theorem of Laplace Transform,1)线性法则 Linear Theorem,Proof证明,2.1.3拉氏变换基本法则,2)微分法则Differentiation Theorem,若原函数x（t）及其各阶导数的初值都等于0，则,2.1.3拉氏变换基本法则,2)微分法则Differentiation Theorem,证明Proof：

5、,2.1.3拉氏变换基本法则,2)微分法则Differentiation Theorem,EXAPMLE：,2.1.3拉氏变换基本法则,3)积分法则Integration Theorem,若原函数x（t）及其各阶积分的初值x（-n）（0）都等于0，则,2.1.3拉氏变换基本法则,3)积分法则Integration Theorem,证明：,2.1.3拉氏变换基本法则,3)积分法则Integration Theorem,EXAMPLE：,2.1.3拉氏变换基本法则,4)终值定理Final-Value Theorem,注：对于周期函数，终值定理不适用,证明： 由微分定理,2.1.3拉氏变换基本法则,

6、4)终值定理Final-Value Theorem,令s趋近0，两边取极限，左边有,故,example,2.1.3拉氏变换基本法则,4)终值定理Final-Value Theorem,故,2.1.3拉氏变换基本法则,5)初值定理 Initial-Value Theorem,2.1.3拉氏变换基本法则,5)初值定理 Initial-Value Theorem,由微分定理,两边取极限，左边有,故,证明：,2.1.3拉氏变换基本法则,6)延迟定理Shift in Time,证明：,2.1.3拉氏变换基本法则,7)复平移定理 Complex Shifting Theorem,证明,2.1.3拉氏变换基

7、本法则Theorem of Laplace Transform,7)复平移定理Complex Shifting Theorem,由复平移定理得：,2.1.3拉氏变换基本法则,8)时标变换定理,证明,2.1.3拉氏变换基本法则,9)卷积定理Real Convolution /complex Multiplication,卷积定义,定理：,Convolution Integral,卷积定理证明：,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,1)当X(s)具有单实极点时 X(s) has simple poles,例2-2：已知拉氏变换 X（S）求反变换x（t）,2.1

8、.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：,两边乘s+1, 得,取s=-1，得,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,取s=-3，得,解：,两边乘s+3, 得,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,拉氏反变换,故,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,1)当X(s)具有单实极点时 X(s) has simple poles,一般地,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,2)当X(s)具有复极点时 X(s) has simp

9、le Complex-Conjugate poles,【例2-3】已知X（s）， 求x(t)。,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：3个极点：0，-1+j，-1-j,求k3,两边乘s,令s=0，得k3=1/2,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：,两边乘,比较实部及虚部得,取s=-1+j，得,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：,拉氏反变换得,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,2)当X(s)具有复极点时 X(s) has simp

10、le Comlex-Conjugate poles,一般地,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,3)当X(s)具有重极点时 X(s) has Multiple-Order poles,【例2-4】已知X(s)，求x(t)。,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：,两边乘s, 得,令s=0,得k4=1,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,两边同乘 ，得,令s=-1，得k1=1,解：,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解 ：,上式两边对s求导,

11、令s=-1，得k2=-2,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解：,上式两边对s求导,令s=-1，得k3=3,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,解 ：,拉氏反变换得,故,2.1.4 拉氏反变换Inverse Laplace Transform,3)当X(s)具有重极点时 X(s) has Multiple-Order poles,一般地,2.1.5 利用拉氏变换解微分方程,Application of Laplace transform to the solution of differential equation

12、,【例2-6】解微分方程,初始条件：,2.1.5 Application of Laplace transform to the solution of differential equation,解:方程两边取拉氏变换，得,2.1.5 Application of Laplace transform to the solution of differential equation,解:,2.2线性系统的传递函数Transfer Function of linear System,2.3.0 微分模型 2.3.1 传递函数定义 2.3.2 传递函数性质 2.3.3 传递函数的零极点,2.2.0

13、 微分模型 differential equation model,1)弹簧阻尼系统：输入F，输出y,解：牛顿定律,2.2.0 微分模型differential equation model,2) RLC网络:输入u，输出uc,解：电压平衡,2.2.0 微分模型 differential equation model,3)温度计:输入流体温度，输出温度计读数c,解：热平衡,2.2.0 differential equation model,其中r为输入量；c为系统的输出量；ai，bj为常量；m，n为输出量、输入量的导数的最高阶数。,由以上例子可总结出线性定常系统微分方程的一般形式：,2.2.1

14、传递函数定义Definition of Transfer Function,传递函数定义： 零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比,The transfer function of a linear system is defined as ratio of the Laplace transform of output to the Laplace transform of input ,with all the initial conditions set to zero,2.2.1传递函数定义Definition of Transfer Function,微分模型：,两边进

15、行拉氏变换，利用微分定理，并注意到零初始条件：,Transfer Function,2.2.1传递函数定义Definition of Transfer Function,弹簧阻尼系统的传递函数,Examples,RLC串联网络的传递函数：,温度计的传递函数:,2.2.2传递函数性质Properties of Transfer Function,1）、传递函数是复变量(complex variable)的有理真分式函数(rational fraction)；m=n且所有系数均为实数(Proper transfer function) 2）、只取决于系统结构和参数，与输入量无关，不反映内部信息(i

16、ndependent of the input of system),2.2.2传递函数性质Properties of Transfer Function,3）、传递函数与微分方程相通 4）、传递函数的拉氏反变换是脉冲响应impulse response。如果试验得到g(t)，则：,2.2.2传递函数性质Properties of Transfer Function,5）特征方程Characteristic Equation,2.2.3 传递函数的零极点Poles and Zeros of Transfer Function,传递函数的极点特征方程的根。,传递函数的零点,特征方程,传递函数,2

17、.2.3 Poles and Zeros of Transfer Function,Zero,Pole,Pole,2.2.3 Poles and Zeros of Transfer Function,传递函数的零极点形式（根轨迹法常用）：,根轨迹增益(Gain) 4,传递函数的时间常数形式（频域法常用） ：,2.2.3 Poles and Zeros of Transfer Function,传递函数的时间常数0.5，1,增益 1,2.2.3 Poles and Zeros of Transfer Function,传递函数的时间常数0.5，1,增益 1,根轨迹增益(Gain) 4,2.2.4

18、用传递函数求输出,例：温度计:设C=1,R=1，求单位阶跃响应,2.2.4用传递函数求输出,例：RLC串联网络：设L=1H,C=1F,R=2,求单位阶跃响应,2.3典型环节的传递函数Transfer Function of Typical Components,比例环节proportional Element 积分环节Integral Element 微分环节Differential Element 惯性环节Inertia Element 一阶微分环节First order differential Element 振荡环节Oscillation Element 二阶微分环节Second or

19、der differential Element 延迟环节Pure Delay Element,时域描述： 传递函数： 例子：杠杆；电子放大器；测速发电机电压与转速的关系。,2.3.1 比例环节Proportional Element,2.3.2 积分环节integral Element,时域描述： 传递函数： 例子：运算放大器 。,2.3.3 微分环节Differential Element,时域描述： 传递函数： 例子：RC电路 。,比例微分积分环节: PID调节器,时域描述：,Td微分时间,Ti积分时间,K比例系数,时域描述： 传递函数： 例子：温度计；直流电机的励磁回路 。,2.3.4

20、 惯性环节inertia Element,时域描述： 传递函数： 例子：放大器加RC网络反馈,2.3.5一阶微分环节First order differential Element,时域描述： 传递函数： 举例：弹簧阻尼系统；RLC电路 。,2.3.6 振荡环节Oscillation Element,时域描述： 传递函数： 举例：放大器+RLC网络反馈 。,2.3.7 二阶微分环节 Second order differential Element,时域描述： 传递函数： 例子：液压、气压或机械传动系统。,2.3.8纯迟后环节Pure Delay Element,空调控制系统Control S

21、ystem for Air-Conditioning,调节器,-,执行器,调节阀,盘管,房间,传感器,小结Summary：,典型环节是按数学模型的共性建立的。 将系统的模型与典型环节比较，可以知道系统由什么环节组成。由于典型环节的动态特性和响应是已知的，因此为系统研究带来方便。 把物理系统划分为若干典型环节，利用传递函数和方框图或信号流程图进行研究，是非常重要的研究方法。 具有相同数学模型的系统称为相似系统（弹簧阻力系统和RLC系统）。利用相似系统的特点，可以进行模拟研究。,2.4动态结构图及其等效变换Bolck Diagrams,2.4.1 动态结构图 2.4.2 结构图的等效变换 2.4.

22、3方框图的变换示例,2.4.1 动态结构图Bolck Diagrams,组成要素：方块、信号线、引出点、比较点、前向通道、反馈通道,G（s）,H（s）,R（s）,C（s）,B（s）,E（s）,2.4.2 等效变换equivalent transform,串联series connection,变换前后前向通道中传递函数的乘积保持不变。 变换前后回路中传递函数的乘积保持不变,G2（s）,G1（s）,R（s）,C（s）,2.4.2 等效变换equivalent transform,并联parallel connection,G2（s）,G1（s）,R（s）,C（s）,2.4.2 等效变换equiv

23、alent transform,反馈连接Feedback connection,开环传递函数： 前向通道传递函数,2.4.2 等效变换equivalent transform,反馈连接Feedback connection,负反馈闭环传递函数： 正反馈闭环传递函数：,2.4.2 等效变换equivalent transform,比较点前移后移moving comparing element,汇合点前移,G1,R1,C,R2,汇合点后移,1/G1,G,R1,C,R2,2.4.2 Equivalent transform,汇合点变位：,汇合点变位：,2.4.2 Equivalent transfo

24、rm,取出点,取出点后移,取出点前移：,2.4.3 方框图的变换示例,解：,2.4.3 方框图的变换示例,解：,2.4.3 方框图的变换示例,求： C/R , C/N1 , C/N2,G1,G2,G3,R,N1,N2,C,-,-,-,+,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/R ,令N1=0 ,N2=0,G1,G2,G3,R,N1,N2,C,-,-,-,+,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/R ,移动加减点,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/R ,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/R ,R,C,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/N1。R=0，N2=0,G1,G

25、2,G3,R,N1,N2,C,-,-,-,+,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/N1。R=0，N2=0,G1,G2,G3,N1,C,-,-,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/N1。R=0，N2=0,G1,G3,N1,C,-,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/N1。R=0，N2=0,G1,G3,N1,C,-,+,G3,N1,C,-,+,2.4.3 方框图的变换示例,解：求C/N1。R=0，N2=0,G3,N1,C,-,+,2.4.3 方框图的变换示例,求：C/N2，R=0，N1=0,G1,G2,G3,R,N1,N2,C,-,-,-,+,+,C/N2=-1,2.4.3

26、 方框图的变换示例,已知控制系统微分方程，求C/R=？ From Diffrential Equation to Block Diagram,2.4.3 方框图的变换示例,已知控制系统微分方程，求C/R=？ From Diffrential Equation to Block Diagram,解：拉氏变换,2.4.3 方框图的变换示例,已知控制系统微分方程，求C/R=？,解：由代数方程得到结构框图,2.4.3 方框图的变换示例,已知控制系统微分方程，求C/R=？,解：结构框图变换,R,-,X1,X2,-,K3,X3,C,R,-,X1,X2,C,2.4.3 方框图的变换示例,已知控制系统微分方程

27、，求C/R=？,解：结构框图变换,R,-,X1,C,R,-,X1,X2,C,R,C,2.7闭环系统的传递函数Tranfer Function of Closed-Loop System,1）开环传递函数 Open-Loop Tranfer Function,2.5闭环系统的传递函数 Tranfer Function of Closed-Loop System,2） R(s)作用下的传递函数,2.5闭环系统的传递函数Tranfer Function of Closed-Loop System,3） N(s)作用下的传递函数,2.5闭环系统的传递函数Tranfer Function of Clos

28、ed-Loop System,4） 系统的总输出,2.5闭环系统的传递函数,5） 闭环系统的误差传递函数,R(s)作用下的误差传递函数,2.5闭环系统的传递函数Tranfer Function of Closed-Loop System,5） 闭环系统的误差传递函数,N(s)作用下的误差传递函数,2.5闭环系统的传递函数Tranfer Function of Closed-Loop System,5） 闭环系统的误差传递函数,总误差,小结,微分方程,传递函数,拉氏变换,拉氏反变换,理论模型 试验模型,定义 3种形式 结构图分析 求响应,典型环节,定义；基本函数及其变换；基本定理,求法,附录 2.6 信号流图Signal-Flow Graphs(SFGs),2.6.1 基本概念 2.6.2 常用术语 2.6.3 信号流程图的基本性质 2.6.4 信号流程图的简化 2.6.5 梅逊公式及其应用,2.6.1 基本概念,信号流程图是一种将线性代数方程用图形表示的方法。,也可改写为：,改写为：,设线性方程,节点Node ：表示变量或信号 支路Branch ：两个节点之间 出支路outgoing branch：离开节点 入支路incomin