向量及向量的基本运算_第1页
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1、向量及向量的基本运算,1）向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： 。向量的大小即向量的模（长度），记作| |。 零向量：长度为0的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行。 单位向量：模为1个单位长度的向量。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 。,2）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 ，则 + = = 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1） ； （2）向量加法

2、满足交换律与结合律；,3)向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量。记作 ,零向量的相反向量仍是零向量。 向量减法：向量 加上的 相反向量叫做 与 的差，记作： 。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 的作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）。,4)实数与向量的积 实数与向量 的积是一个向量,记作 ，它的长度与方向规定如下： （） ； （）当时 , 的方向与 的方向相同；当时 ， 的方向与 的方向相反；当时 ， ，方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。,5)两个向量共线定理 向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得

3、 = 。,例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若 ， ，则 ； (7)若 ， ，则 (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 (9)已知A（3，7），B（5，2），将 按向量 =（1，2）平移后得到的向量 的坐标为 （3，3） (10） 的充要条件是 且 ；,1,B,C,C,B,返回,例2: 已知G是ABC的重心，求证：,练习、如图平行四边形ABCD的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD3CN,设,例3（同课本）：设不共线，点P在AB上，求证：。,说明：当时，此 时P为AB的中点，这是向量的中点公式。,变一：设不共线， 求证：A、B、P三点共线。,练习、设 是不共线的向量,已知向量, 若A,B,D三点共线,求k的值,【课堂小结】 1）向量的有关概念: 向量

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