1.5.3反证法和放缩法

1、反证法,先假设要证明的命题不成立，以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。,常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此.,用反证法证明不等式应注意的问题: (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.,(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据 这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论 的反面出

2、发进行论证，就不是反证法.,(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，总之推导出的矛盾必须是明显的.,例2、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求证：a, b, c 0,证：设a 0, bc 0, 则b + c a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可证：b 0, c 0,例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4,则三式相乘： (1 a)b(1 b)c(

3、1 c)a ,又0 a, b, c 1 ,同理：,以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c,与矛盾结论成立,证明：设(1 a)b1/4, (1 b)c1/4, (1 c)a1/4,【例】ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：B90. 【分析】本题中的条件是三边间的关系 ，而要证明的是B与90的大小关系.结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明.,【解答】a、b、c的倒数成等差数列， 假设B90不成立，即B90，则B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，ba0,bc0. 这与 相矛盾. 假设不成立,故B90成立.,【拓展】若a3+b3=2,求证：a+b2. 【分

4、析】本题结论的反面比原结论更具体， 更简洁，宜用反证法.,【证明】假设a+b2，则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)6. 故ab(a+b)2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2)， a2-ab+b2ab, 即(a-b)20.这不可能，故a+b2.,用反证法证“至多”、“至少”型问题的方法与步骤. (1)反证法的一般步骤： 否定结论：假设要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立. 推理论证：由“否定结论”出发，通过正确的推理，导出矛盾. 肯定结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“否定

5、”结论的错误，即结论的反面不成立，从而结论成立.,用反证法证“至多”、“至少”型问题,(2)在证明中含有“至多”、“至少”、“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.,练习：否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) (A)a、b、c都是奇数 (B)a、b、c都是偶数 (C)a、b、c中至少有两个偶数 (D)a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 【解析】选D.三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”

6、4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合.,练习：设a,b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b1;(2)a+b=2；(3)a+b2；(4)a2+b22;(5)ab1，其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) (A)(2)(3) (B)(1)(2) (C)(3) (D)(4)(5) 【解析】选C.(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;(2)若a+b=2，则可取a=1,b=1;(3)若a+b2,则a,b中至少有一个大于1，正确；(4)若a2+b22,可取a=-2,b=-1；(5)若ab1,则可取a=-2,b=-1,故选C

7、.,例：实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd1. 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数. 【证明】 假设a、b、c、d都是非负数. 即a0,b0,c0,d0 则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)ac+bd. 这与已知中ac+bd1矛盾，原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数.,【例】(2011南通模拟)若a、b、c均为实数,且 求证：a、b、c中至少有一个大于0. 【分析】本题是一个“至少”成立的问题且a、b、c是含有x、y、z的代数式，从正面证明难度较大，可考虑反证法.,【解答】假设a、b、c都不大于0，即a0,b0,c0,a+b+c0. 而

8、 =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3 a+b+c0.这与a+b+c0矛盾， 故a、b、c中至少有一个大于0.,【拓展】已知f(x)=x2+bx+c,求证： |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 【分析】(1)本题是一个“至少”成立的问题,用反证法证明较简单. (2)“不小于”的否定是“小于”，问题转化为三个绝对值的式子小于 同时成立，解绝对值不等式组，判断是否能推出一个矛盾结论.,【证明】方法一:假设 则 与矛盾.假设不成立, |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于,放缩法,放缩法证

9、明不等式的技巧: 放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在. (1)放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧主要有：不等式的传递性； 同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较.缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；,(2)放缩法的注意事项 舍去或加上一些项，如: 将分子或分母放大(缩小)，如:,特别注意：放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小。,例1、若a, b, c, dR+，求证：,证：记m =,a, b, c, dR+,1 m 2 即原式成立,法：,证明：在时，显然成立.,当时，左边,法：,法：函数的方

10、法,【例】设 求证： 【证明】,练习书29页2题,【练习】已知a0,b0,c0,a+bc. 求证： 【分析】本题若通分去分母，运算量较大，考虑到a0,b0可先试试分式的放缩.,【证明】a0,b0, 只需证： 而函数 在(0,+)上递增， 且a+bc,f(a+b)f(c). 即 原不等式成立.,练习：设x0,y0,若 则A、B的大小关系为_. 【解析】x0,y0, 答案：AB,【例】已知数列an的通项公式为 若 求证:2nb1+b2+bn2n+3(nN*) 【分析】(1)求出通项bn才能尝试证明不等式; (2)代入an的有关表达式后,用n表示bn,再用基本不等式进行放缩.,【解答】,【练习】已知实数x、y、z不全为零，求证： 【分析】不等式左边都是根式，右边是整式，可考虑将根号内的式子配方后，再用放缩法证明.,【解答】 同理可证： 由于x,y,z不全为零，