九年级数学下册 3.3.1 圆周角和圆心角的关系教案 北师大版

1、3.3.1圆周角和圆心角的关系教案教学目标1理解圆周角的概念，掌握圆周角和圆心角之间的关系，并会运用它进行有关的证明和运算 2经历探索圆周角和圆心角关系的过程，培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力 3在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感受探索的艰辛与喜悦，体验数学活动充满着探索与创造激发学生的学习欲望教学重点与难点重点：理解圆周角的概念，掌握圆周角与圆心角之间的关系定理难点：圆周角和圆心角关系定理的证明教法与学法指导：引导发现法在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新

2、知本节课对教材内容进行了重新加工，以学生熟悉的圆心角引入圆周角，学习新概念，并比较它们的异同在探究圆周角和圆心角关系定理时，以“问题串”形式，教师创设问题情境，层层推进教学，使学生经历观察、操作、猜想、讨论、推理、归纳等数学活动，最后得到新知，并获得一些学习数学学习的方法同时，课堂练习的设计力求符合不同层次学生的心理特点，通过练习，让不同层次学生体会到本节课是学有所得的，真正体现“使不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念教学准备：多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课师：在以前的学习中我们接触过圆心角，通过下面的问题回顾一下：问题1：下图哪个角是圆心角？圆心角有什么主要特征？（学生回顾

3、概念，根据概念分辨图形，进一步理解圆心角的主要特征）生：顶点在圆心的角是圆周角；图（6）中的角是圆心角问题2：图（2）的角有什么主要特征？他与圆心角有什么联系和区别？（学生观察、比较、发现，并尝试归纳总结）生1：角的顶点在圆周上生2：角的边是圆的弦生3：角在圆的内部生4：因为角的两边是射线，所以我认为应该是角的两边都与圆相交生5：因为角的顶点已经在圆上了，也就是说角的两边一定与圆相交了，所以我认为应该是角的两边分别和圆有另一个交点如果只说角的两边都与圆相交，那么图5、8也是符合的，这样就不能准确描述图2中的角的特征师：同学观察得很仔细，分析的也很准确大家继续思考下一个问题：问题3：按照“顶点在

4、圆上，两边分别和圆有另一个交点”的条件画图，能画出多少个这样的角？学生画图、发现，并与同桌交流，得到结论生：无数多个师：这无数多个具有这些特征的角，就是圆周角圆周角和我们前面所学的圆心角之间有什么关系呢？就让我们一起走进今天的课堂（引入新课，板书课题）设计意图：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系活动效果：在分析图2中的角的特征时，学生之间不断的补充，准确的，描述出圆周角的基本特征，为顺利展开本节课的教学奠定了基础，也充分调动了学生参与课堂教学的热情二、师生合作，探究新知（一） 圆周角定义：板书：顶点在圆上，两边分别

5、和圆有另一个交点的角叫做圆周角师：注意圆周角的两个特征：1)顶点在圆上；2）两边分别和圆有另一个交点两者缺一不可圆周角与圆心角的异同点生：都在圆的内部，都对应着一段弧；不同之处在于顶点位置不同师：图中还有圆周角吗？（学生观察、分析中下游生口答）生：图（4）（7）也是圆周角师：其他图为什么不是圆周角生：图（1）（3）的顶点不在圆上，图（5）角的两边和圆没有另一个交点，图（8）角的两边只有一条边和圆有另一个交点设计意图：通过此过程，让学生再次强化理解有关概念活动效果：有了前面的情境创设学生能够很快的解决两个问题（二） 探究圆周角和圆心角之间的关系：问题4：师：仔细观察大家刚才所画的圆周角，和其他同

6、学对照一下，看一看圆周角和圆心有几种位置关系？学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充师投影展示学生所发现的几中位置关系，并让其他小组补充生：（投影仪展示）圆周角与圆心的位置关系只有三种， 圆心在圆周角的一边上, 圆心在圆周角的内部,ABCD 圆心在圆周角的外部 问题5：师：在同一个圆中，任意的圆周角和圆心角有什么大小关系？师引导生画图发现学生画图、观察、测量、发现：它们之间不一定存在某种特殊的关系学生画图举例ABCO设计意图：通过问题4、5的思考引导学生主动去思考圆周角与圆心角存在怎样的关系，并且明白需要通过分类讨论去研究，为下面的讨论做好心理铺垫问题6：师：如图，在O中，B、AOC都对着

7、，那么这组圆周角和圆心角存在着怎样的关系呢？学生小组内交流，归纳总结，最后在全班交流生：B=AOC 师：如何用自己的语言描述这个发现呢？生：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半（师板书）师：如果要证明这个命题，该怎么做呢？（学生思考、交流）生：在老师给出的图形中，圆心在角的内部，刚才的学习中我们已经知道圆心和圆周角有三种不同的位置关系，对于这三种位置关系我们可以分别去证明，所以要分类来讨论师：说得很好，这就需要我们去一一证明通常我们研究问题的方法是从简单到复杂或特殊到一般的关系入手，那么，哪一种比较特殊呢？生：第一种师：你是如何证明的呢？想一想，试一试（学生独立思考分析）已知：如图，O中所

8、对的圆周角是ABC，圆心角是AOC求证：ABCAOC证明：AOC是ABO的外角，AOCABOBAOOAOB，ABOBAOAOC2ABO即ABCAOC师：我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的对于第二、三种情况，该如何证明呢？能利用第一种情况的结论吗？试一试，并交流自己的做法 （1） （2）学生独立分析后，然后在小组内交流，最后在全班交流生甲：如图(1)，点O在ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出由刚才的结论可知：ABDAOD，CBDCODABDCBD(AODCOD)即ABCAOC生乙：在图(2)中，当点O在ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个

9、角转化成上述情形的两个角的差即可由前面的结果，有ABDAOD，CBDCODABDCBD(AODCOD)即ABCAOC师：经过刚才我们一起探讨，从三种位置关系证明了一个命题的正确性，因此，命题：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可以作为定理来使用（师把前面板书中的“命题”改为“定理”）师：这个定理的使用要结合图形来完成，就像对顶角相等一样ABCAOC结合图形说出两个量之间的关系时，注意“一条弧”这个条件，即圆心角和圆周角是同一条弧所对的师：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？生：由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，师：好，同学们总结得很好由此

10、我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略今后我们在处理问题时，注意运用设计意图：利用命题的特殊情况来证明一般情况是定理证明的常用方法，在探究第二、三种情况时，学生已经积累了一定的活动经验，教师要给学生留有充分的时间让学生先独立完成，从而培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力同时，在整个探究过程中，教师要有有意识地向学生渗透转化、分类、归纳等数学思想方法活动效果：学生对第二种情况易证，但对于第三种情况，证明有一定的难度，师要结合学生的实际情况引导学生完成第三种情况的证明过程让学生交流后由优生板演第二、三种情况的证明过程并讲解

11、自己的证明思路三、随堂练习，巩固提高1如图，A、B、C三点都在O上，BOC=130，则A的度数为 2如图，A、B、C三点都在O上，ABC=45ACB=75，则BOC的度数为 3如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ADB、ACB的度数？4、拓展练习：ABCO1）如图，OA、OB、OC都是O的半径，如果：AOB=2BOC求证：ACB=2BAC2）如果AOC=100，则ABC=（ ）3）如果点A、B、C在O中，CAB=25，ACB=30,求弦AC所对圆周角的度数设计意图: 通过题组训练，巩固圆周角与圆心角之间的关系，通过图形进一步加深对同一条弧的理解 在练习设计中，充分体现学生的分层分层次练习很

12、好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念通过练习使学生进一步认识圆周角和圆心角之间的关系，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果活动效果: 第1、2、3题学生完成较好题目4学生识图能力不强，直接体现在第一小问，第三小问有两种情况部分学生考虑不周全四、课堂小结，反思提升师：到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？生：和圆有关系的角有圆心角和圆周角圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半师：这节课我们学会了什么定理？是

13、如何进行探索的？生：我们学会了圆周角定理通过分类讨论的思想方法，渗透了由特殊到一般的转化方法对定理进行了研究和证明师：好，同学们今后在学习中，要注意探索问题方法的应用注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”设计意图: 组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思有困惑的学生，课后和老师交流五、达标检测，反馈矫正1、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，BOC的度数_2、O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是( )A 3

14、0 B 150 C 30或150 D 603、如图，A、B、C三点都在O上，OBC=120，则A的度数为A 70 B 65 C 60 D 50设计意图：当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的六、布置作业，课后促学必做题：课本111页习题3.4的第1，2题.选作题：课本112页习题3.4的第3题.板书设计33 圆周角和圆心角的关系（一）一、探究圆周角的定义及其特征二、探究圆周角和圆心角的关系学生板演区教学反思：本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角的概念和性质基础上，对

15、圆周角定理进行探索圆周角定理及推论在圆的有关说理、作图和计算中有着广泛的应用，也是学习圆的后续知识的重要预备知识，在教材中起着承上启下的作用同时，圆周角定理及推论也是说明线段相等、角相等的重要依据之一在本节课的教学中，学生对圆周角的概念较容易掌握，理解起来问题不大而对圆周角与圆心角的关系的证明相对困难，特别是圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部这两种情况，因此在教学过程中我着重引导学生对这部分知识的探索与理解还有些学生在运用知识解决问题的过程中忽略同弧的问题，在教学时我借用多媒体加以突出课堂中以学生探究为主，配合多媒体辅助教学，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想在教学中，我还注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥