2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题学案

1、高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题【考点自测】1(2016全国)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Ax(kZ) Bx(kZ)Cx(kZ) Dx(kZ)答案B解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk(kZ)得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.2(2016全国)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A等于()A. B. C D答案C解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，可知BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan Atan(BADCAD)3，所以cos A

2、.3在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A2 B4 C5 D10答案D解析将ABC的各边均赋予向量，则642610.4(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.5.若函数yAsin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A_.答案解析由题意知M，N，又A20，A.题型一三角函数的图象和性

3、质例1(2016山东)设f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g的值解(1)由f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(

4、纵坐标不变)，得到y2sin1的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解跟踪训练1已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心解(1)因为f(x)sin 2x(1cos 2x)55sin，所以函数的最小正周期T.(2)由2k2x2k(kZ)，得kxk (k

5、Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(3)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)的对称中心为(kZ)题型二解三角形例2(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去

6、)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍跟踪训练2(2017北京)在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解(1)在ABC中，因为A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccos A，得72b

7、2322b3，解得b8或b5(舍去)所以ABC的面积Sbcsin A836.题型三三角函数和平面向量的综合应用例3已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，b2，sin B，求f(x)4cos的取值范围解(1)因为ab，所以cos xsin x0，所以tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(cos x，1)sin 2xcos 2xsin.由正弦定理，得sin A，所以A或A.因为ba，所以A.所以f(x)4cossin，因为x，所以2x，所

8、以1f(x)4cos.所以f(x)4cos的取值范围是.思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响跟踪训练3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(cos A2cos C,2ca)，n(cos B，b)平行(1)求的值；(2)若bcos Cccos B1，ABC的周长为5，求b的长解(1)由已知得b(cos A2cos C)(2ca)cos B，由正弦定理，可设k0，则(cos A2cos C)ksin B(2ksin Cksi

9、n A)cos B，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sin C2sin A，因此2.(2)由余弦定理可知，bcos Cccos Bbca1，由(1)知2，则c2，由周长abc5，得b2.1已知函数f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数yf(x)的单调递增区间解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函数f(x)的

10、值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调递增区间为(kZ)2(2016北京)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值解(1)由a2c2b2ac，得a2c2b2ac.由余弦定理，得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA,0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin.因为0A，所以A，故当A，即A时，cos

11、 Acos C取得最大值1.3(2018合肥质检)已知a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，函数f(x)ab.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值解(1)f(x)ab(sin x，cos x)(cos x，cos x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.令2xk(kZ)，得x(kZ)即函数yf(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)由条件知sinsin0，且0x1x2，(x1，f(x1)与(x2，f(x2)关于直线x对称，则x1x2，cos(x1x2)coscoscos

12、sin.4(2017东北三省四市二模)已知点P(，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为ABC的内角，f(A)4，BC3，求ABC周长的最大值解(1)由已知，得(，1)，(cos x,1sin x)，所以f(x)3cos x1sin x42sin，所以函数f(x)的最小正周期为2.(2)因为f(A)4，所以sin0，又0A，所以A，A.因为BC3，所以由正弦定理，得AC2sin B，AB2sin C，所以ABC的周长为32sin B2sin C32sin B2sin32sin.因为0B，所以B，所以当B，即B时，ABC的周

13、长取得最大值，最大值为32.5.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B，AD，求ABC的面积解(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，亦即sin Acos Csin Asin Csin Acos Ccos Asin Csin C，则sin Asin Ccos Asin Csin C.又sin C0，所以sin Acos A1，所以sin(A30).在ABC中

14、，0A180，则30A300)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即25x249x225x7x，解得x1(负值舍去)，所以a7，c5，故SABCacsin B10.6(2017山东淄博模拟)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，与f(x)图象的对称轴x相邻的f(x)的零点为x.(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；(2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c且c，f(C)1，若向量m(1，sin A)与向量n(2，sin B)共线，求a，b的值解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin.由与f(x)图象的对称轴x相邻的零点为x，得，所以1