线性代数第四章.ppt

1、4.6 矩阵的秩,一、矩阵的秩,定义1,矩阵共有 个 阶子式.,例：矩阵,取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，,二阶子式是,组成的,设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式 都为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二 阶子式,如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察 三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式 不为零, 而再没有比r更高阶的不为零的子式. 这 个不为零的子式的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的 重要特性, 在矩阵的理论与应用中都有重要意义.,例如,A中有二阶子式,但它的任何三阶子式皆为零, 即不为零的子式最高

2、阶数r=2.,定义2,设A为mn矩阵，如果存在A的r阶子式不为零， 而任何r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则 称数r为矩阵A的秩，记为r(A)或R(A). 规定，零矩阵的秩为零.,性质,1）若矩阵A中有某个s阶子式不为零，则r(A)不小于s；,3）A为mn矩阵，则,2）若矩阵A中所有的t阶子式全为零，则r(A)小于t；,4）,定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.,证: 仅考察经一次初等变换的情形.设矩阵 经初等变换变为 , 且,当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何 阶子式等于某一非零数c与A的某个 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 阶子式皆

3、为零, 因此B的任何 阶子式也都为零.,当对A施以第i行乘l后加于第j行的变换时, 矩阵B的任意一个r1+1阶子式|B1|, 如果它不含B的第j行或既含B的第i行又含第j行, 则它即等于A的一个r1+1阶子式; 如果|B1|含B的第j行但不含第i行时, 则|B1|=|A1|l|A2|, 其中A1,A2是A中的两个r1+1阶子式. 由A的任何r1+1阶子式均为零, 可知B的每一个r1+1阶子式也全为零.,由以上分析可知, 对A施行一次初等行变换后得B时, 有r2r1+1 即r2r1.A经某种初等变换得B, B也可以经相应的初等变换得A, 因此又有r1r2. 故得r1=r2.显然上述结论对初等列变

4、换亦成立.故对A每施以一次初等变换所得矩阵的秩与A的秩相同, 因而对A施以有限次初等变换后所得矩阵的秩仍然等于A的秩.,结论,矩阵的秩,最高阶非零子式的阶数,阶梯形矩阵非零行的行数,最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的阶数,=,用初等变换求矩阵的秩的方法：,对A作一系列初等行变换，将A化为阶梯形矩阵,阶梯形矩阵中非零行的行数即A为的秩,例2 求矩阵,的秩.,例1 求矩阵 的秩.,例3,设,求,已知r(AB)=2,n阶矩阵A的秩为n的充要条件为A可逆. 或者说r(A)n, 的充要条件为det(A)=0.,1、线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A

5、 b)=n时有唯一解; 当r(A b)n时有无穷多解.,设A为m行n列矩阵，则有,2、齐次线性方程组AX=0总存在零解，且 1)它有唯一零解的充要条件为r(A)=n; 2)它有无穷多解(即存在非零解)的充要条件 为 r(A)n.,关于矩阵可逆的几个等价条件,1 n阶矩阵A可逆(非奇异) ；,2 A的行列式不为零，即 ;,3 A经过一系列初等变换可化为单位矩阵I;,4 A与单位矩阵I等价，即 ;,5 A可表示成若干初等矩阵的乘积.,AI,6 A为满秩，即 .,二、向量组的秩与矩阵的秩间的关系,定义：矩阵A的行向量组 的秩称为A的行秩. 的列向量组 的秩称为A的列秩.,定理 A为m行n列矩阵，则r

6、(A)=r的充分必要条件为： A的行(列)秩为r.,推论 矩阵A的行秩与列秩相等.,(1)如果A的列向量组 中,部分组 线性无关，则 的列向量组 中，对应的 部分组 也线性无关;反过来也成立.,(2) 如果A的列向量组 中，某向量 可由其 中的 线性表示：,则 的列向量组 中，对应的 可由其中的 线性表示：,即矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线 性关系.,类似地，如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵 ， 则 的行向量组与A的行向量组有相同的线性关系.,求向量组极大无关组的方法：,以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行 变换，将该矩阵化为最简型矩阵，则各非零行的首 非零元1所在的列对应的向量即为所求向量组的极大线性