青岛版（六年制）小学五年级上册数学教案 智慧广场.pdf

1、智慧广场-排列问题智慧广场-排列问题 教学内容教学内容 教材第 113-114 页，智慧广场-排列问题 教学提示教学提示 本信息窗呈现的是 3 个同学排成一列照相的现实情境，以图文结合的形式提供数学信 息，进而提出“有多少种不同的排法”的问题，展开对“排列”问题的研究。通过本信息窗 的学习，学生认识和了解简单的排列问题，让学生通过“杂乱、具体有序、抽象”的思考， 体会解决问题策略的多样性，掌握有序地、全面地思考和解决问题的策略和方法。 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 在“3 人排列照相，有几种排法”的问题情境中，利用已有经验认识和了解简单的 “ 排列 ”, 掌握解决问题的策略和方法，体

2、会解决问题策略的多样性。 过程与方法过程与方法 通过摆一摆，写一写，说一说，想一想等活动，发展观察观察、分析及推理能力 , 能 有序地、全面地思考问题，渗透数形结合的思想方法。 情感、态度与价值观情感、态度与价值观 经历数学规律的形成过程，尝试用数学的方法来解决生活中的实际问题 , 感受数学在 现实生活中的广泛应用。 重点、难点重点、难点 重点重点 掌握解决“排列问题” ，培养学生思维的有序性。 难点难点 根据需要引导总结排列规律。 教学准备教学准备 教师准备： 多媒体课件，学具卡片。 学生准备： 学具卡片，自主学习记录单。 教学过程教学过程 （一）新课导入：（一）新课导入： 创设情境，激趣导

3、入 师 : 同学们，我们上学、放学、做操经常排队 , 你知道吗 , 排队也有很多有趣的数 学问题。今天我们就一起来探讨一下关于排队的问题 ： 排列（板书课题）不只是排队，在我 们的生活中处处都有排列，就像我们几个好朋友拍照留念，也蕴含着排列的问题。 师 ： 小冬、小华、小平三人外出游玩时也想合影留念，他们遇到了什么问题呢？我们一 起来看看， （出示课件） 。 师 ： 小冬、小华、小平三人排成一行照相，有多少种不同的排法？假如你是摄影师，能 帮助他们解决这个问题吗？ 设计意图 ： 从学生的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行 解释与应用的过程。 以解决排队照相的问题引入新课

4、， 极大的激发了学生的学习兴趣和积极 性，使教学过程成为一种学生渴望的探索过程。 （二）探究新知：（二）探究新知： 1.探究 3 人排队的排列的方法，寻找排列的规律。 师 :我想给这两位同学合张影，让他们站成一行照相会有几种排列方法？ 生 2:因为一左一右，可以交换每个人的位置。 师 :如果是三个人站成一行拍照， 又会有多少种不同的排列方法吗？下面请同学们先独 立思考，然后小组合作共同解决这个问题。 （课件出示） 温馨提示：老师为每组准备了充足的卡片，大家根据需要可以选择卡片摆一摆，记录 员把研究的结果进行记录、整理。 小组活动，教师巡视。 师 ： 老师发现同学们每组的研究都很投入，下面，我们

5、一起来展示交流，看看这一小组 的研究结果。 学生出现的情况预设 （1）利用手中的磁力贴表示三个同学。 （2）利用不同的图形表示三个同学。 （3）用三个数字表示三个同学。 （4）用符号表示三个同学。 在交流方法的过程中可能会出现 ： 无序的排列或有序的排列。 当学生展示有序的排列时， 要求学生说出自己的思路，并用学具展示给大家。 2.总结规律和方法。 （1）师：同学们解决问题的方法真不少，给自己点个赞吧。通过大家的交流发现可以 有 6 种不同的排法，在交流的过程中，有的同学的不够 6 种，这是怎么回事呢？ 师：你认为怎样排既不重复又不遗漏呢? 同学们可以写一写、画一画进行你们独特的创意或排法，看

6、谁想的办法最多最好，好不 好？开始。 生 1: 先把 A 排在第一的位置 , 其余两个人调换一次位置；再将 B 排在第一的位置 , 其余两个人调换一次位置；最后将 C 排在第一的位置 . 生 2: 也可以先把B放在第一的位置 , 其余两人调换位置 , 有 2 种排法; 再把B放在 第二的位置 ，A 和 C 再调换位置 , 有 2 种排法 ; 最后把 B 放在第三的位置 ,A 与小 C 换 位置，又有 2 种排法。这样共有 6 种排法。 生 3 : 我只想一组就知道了。先把 A 放在第一的位置 , B 与 C 调换位置 , 有 2 种排 法 , 依此推想 , 另两人也分别有 2 种排法。因此 ,

7、 共有 23=6 种排法。 嗯，你们小组很有创意，非常注意提高自己的学习效率。 师 : 同学们的想法又多又好 , 不仅思考得很有条理 , 并且能清楚 （2）先确定位置，再进行简单的排列 师 ： 假如我们班参加学校组织的艺术节活动， 组织一个小合唱， 现在有四位同学 A、 B、 C、 D 要排成一行表演小合唱，D 同学要担任领唱，为了让他靠近麦克风，需要把它安排在左起 的第二个位置，其余的同学任意排。想一想有多少种排法？ 生：D 同学担任领唱 , 先确定她的位置 , 再研究其他三名同学的排列顺序。 然后放手让学生自主解决 , 通过交流明白排列的规律。 师：完成没有？ 师：谁来回答一下？ 生 ：

8、我是先固定 D 的位置， 然后排列 ABC， 最后得出了 6 种排法。 同学们有不同意见吗？ 师：咦？刚才三个人排队出现了 6 种排法，四个人排队应该出现更多的情况，可为什 么你们却还是出现了 6 种排法，这是为什么呀？ 生：因为固定了一个同学的位置，其实还是三个人在排队，所以依然是 6 种。 师：哦，老师明白了，谢谢你的解释。 那老师如果不想固定 D 的位置，而是想让他们自由地排成一行进行表演，那又会出现 多少种排法呢？ 学生再次小组合作，并进行讨论、交流，老师巡视指导。 哪个小组来展示一下你们的成果？ 组 1：我们是先让 A 排在第一，然后排列 BCD 的位置，得出了 6 种排法。其余的就

9、不 排也知道了都是 6 种，一共 4 个人，所以会出现 24 种排法。 组 2： 我们小组是进行的分工，每个同学都分别排 ABCD 在第一的位置，然后综合起来 互相检验，最后总结出 24 种排法。 师 ： 你们真聪明，想出了这么多的好方法，而且都说出了自己的道理，希望以后继续下 去。 师 ： 同学们，看来不管从哪个角度来思考，都要按照一定的规律进行有序的思考，只要 大家掌握了有序排列的方法，就能确保写出的结果不遗漏，不重复。 板书： 有序 不遗漏 不重复。 设计意图 ： 活动中采用摆卡片的方式引领学生探究事物的排列规律，在学生逐步从感性 认识上升到理性认识思考的同时，渗透数形结合的数学思想方法

10、。学生对算式的认识、理解 只是停留在表层的，这里借助课件展示提炼出“32=6”的实质，帮助学生真正从排列问 题的本质思考，打开思维空间。 （三）巩固新知：（三）巩固新知： 师：其实，在我们的生活中也会经常用到简单的排列（课件出示：密码的设置，电话号 码、车牌号、彩票上的数字）请同学们想想还有什么时候会用到？ 学生回答预设： 买票排队、放学排队、银行卡的号 师 ： 在我们的生活中处处有数学，只要同学们注意观察。下面我们就用我们今天学到的 数学知识解决一些生活的问题。 1.自主练习 1 3 个同学排成一行跳舞，可以有多少种排法？ 要求：不仅知道有 6 种排法，鼓励学生有规律的说出具体的 6 种排法

11、。 2.自主练习 3 理解题意是关键，我们用 A、B、C 分别代替 3 种灯笼，AABBCC AACCBB BBAACC BBCCAA CCAABB CCBBAA,引导学生总结挂 6 只灯笼和 3 只灯笼的思路是一样 的，有 6 种不同的挂法。 强调：解决问题时要先认真分析才能确保方法的有效性。 3.自主练习 4 引导学生理解题意，用符号表示，分别用 A、B、C、D 来表示，B 表示丁刚，排在左 起第二位不动，把 A、C、D 按顺序排列，一共有 6 种不同的方法。 引导学生发现，虽然是 4 个人排列，但变换位置的还是 3 个人，一共有 6 种。看来解 决问题不能只看表面，还要深入思考。 4.自

12、主练习 6 （1）让学生先读题，分析题意。 （2）独立完成 （3）全班集体交流 谈话：发现有什么规律？ 设计意图 ： 从摆到想，思维层次逐步的提高。由直观表象到抽象，学生在想的过程中能 借助头脑中的表象进行思考。在想与说的过程中，又一次感悟到有序排列的重要性，发展学 生的思维能力。 （四）达标反馈（四）达标反馈 l .用 8、2、5 三个数字，可以组成哪几个不同的三位数？（每个数字只用一次） 2 .用 0、2、5 三个数字，可以组成多少个不同的三位数？（每个数字只用一次） 3 .用 0、8、2、5 四个数字，可以组成多少个不同的四位数？（每个数字只用一次） 4 .用 1 、8、2 、5，四个数

13、字，可以组成多少个不同的四位数呢？（每个数字只用一次) 答案：1. 6 2.4 3.18 4.24 （五）课堂小结（五）课堂小结 师：同学们，这一节课就要结束了，通过今天的学习，你有哪些收获？ 学生交流自己的收获。 师 ： 探究是永无止境的，如果在以后的学习中大家都能像今天这样思考问题、解决问 题，一定会有更多的收获！ 设计意图：通过回顾整理，学生不仅梳理了知识上的收获，并且初步体会了数学研究 的大致过程，对学生渗透了数学方法解决问题的程序。 （六）布置作业（六）布置作业 1.用 3，5，7，9 排成不重复的四位数，使它是 5 的倍数，共有（）种不同的排法 A3 B4 C5 D6 2.某天上午

14、要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天 上午课程表的不同排法共有（） A6 种 B9 种 C18 种 D24 种 3.记者要为 4 名志愿者和他们帮助的 1 位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正 中间，那么不同的排法共有（） A120 种 B72 种 C56 种 D24 种 4.把 A、B、C 排成一排，有多少种不同的排法？ 5.有红黄绿三面旗子，它们不同的排法表示不同的信号，最多可以表示多少种信号？分 别是什么排法? 6.用下面四个数字卡片摆出不同的四位数，有种摆法，按从大到小的顺序排一排： 答案：1. D 2.C 3.D 4.解：把 A、B、C 排成一排的

15、排法有： ABC ， ACB；BAC ，BCA ；CAB，CBA 一共有 6 种不同的排法。 答：一共有 6 种不同的排法。 5.解：这三面旗子的排法有： 红黄绿，红绿黄；黄红绿，黄绿红；绿红黄，绿黄红 一共有 6 种排法，表示 6 种不同的信号。 6.解：千位上是 9,9300、9030、9003， 千位上是 3,3900、3090、3009， 所以共有 6 种摆法，按从大到小的顺序排列为：93009030900339003090 3009 板书设计板书设计 排列问题 有序 不遗漏 不重复 按照一定的顺序，把所有的可能一一列举出来，最终找到所有答案的方法，在数学上叫作列 举法。 教学资料包教

16、学资料包 教学精彩片段 创设情境导入 师 ： 同学们，六年级的同学在毕业时，好多同学为了跟同学留念，想和自己喜欢合影留 念。 出示图画：你有什么发现？ 师 ： 在拍照时，小华和小冬不经意间按顺序不同的方法排成了一排，这种方法就是我们 要学的新的数学知识排列。 （板书：排列） 这时又有一个同学跑了过来，如果她们三个想要排成一行合影留念，有几种排法呢？ 设计意图 ： 以“照相”这一情景学生感兴趣的素材导入新课，激发学生的学习兴趣，有 利于充分地利用学生已有的生活经验，吸引学生主动参与的活动。 教学资源 有 A、B、C、D、E、F、G 七人排成一排。 （1）一共有多少种排法？ （2）若 A 必须排在

17、最左边，有多少种排法？ （3）若 A、B 必须排在两边有多少排法？ 解答：（1）7654321=5040（种） （2）654321=720（种） （3）254321=240（种） 答：（1）一共有 5040 种排法。 （2）若 A 必须排在最左边，有 720 种排法。 （3）若 A、B 必须排在两边有 240 排法。 资料链接 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 导言： 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二个基本原理，在解决计数问题中经常运用。 把握这两个原理，并能正确区分这两个原理，至关重要。 一、概念 （一）加法原理 如果完成某件事共有几类不同的方法，而每类方法中，又有几种不同的方法，任

18、选一 种方法都可以完成此事， 那么完成这件事的方法总数就等于各种方法的总和， 这一原理称为 加法原理。 例：从甲地到乙地，一天中火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班，那么，一天中乘 坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 解析：把乘坐不同班次的车、船称为不同的走法。要完成从甲地到乙地这件事，可以 乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法， 乘轮船有 3 种走法。而乘坐火车、汽车、轮船中的任何一班次，都可以从甲地到乙地，符 合加法原理。所以从甲地到乙地的总的走法=乘火车的 4 种走法+乘汽车的 2 种走法+乘轮 船的 3 种走法

19、=9 种不同的走法。 （二）乘法原理 如果做某件事，需要分几个步骤才能完成，而每个步骤又有几种不同的方法，任选一 种方法都不能完成这件事，那么完成这件事的方法总数，就等于完成各步骤方法的乘积。 例：用 1、2、3、4 这四个数字可以组成多少个不同的三位数？ 解析：要完成组成一个三位数这件事，要分三个步骤做，首先选百位上的数，再选十 位上的数，最后选个位上的数。 选百位上的数这一步骤中，可选 1、2、3、4 任何一个，共 4 种方法 选十位上的数这一步骤中，可选除百位上已选好那个数字之外的三个数字，共 3 种方 法 选个位上的数这一步骤中，可选除百、十位上已选好的两个数字之外的另两个数字， 共

20、2 种方法 单独挑上面的任何一步中的任何一种方法，都不能组成一个三位数，符合乘法原理 所以，可以组成：432=24（个）不同的三位数 二、加法原理和乘法原理的区别 什么时候使用加法原理，什么时候使用乘法原理，最关键是要把握住加法原理与乘法 原理的区别。从上面两个例子我们容易发现，加法原理与乘法原理最大的区别就是 ： 如果完 成一件事有几类方法， 不论哪一类方法， 都能完成这件事时， 运用加法原理， 简称为 “分类- 加法” ；如果完成一件事要分几个步骤，而无论哪一个步骤，都只是完成这件事的一部分， 只有每一步都完成了，这件事才得以完成，这里运用乘法原理，简称为“分步-乘法” 。 三、加乘法原理

21、的综合应用 有时候，做某件事有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成。在计算做这件事的 方法时，既要用到加法原理，也要用到乘法原理，这就是加乘法原理的综合应用。 例：从甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条 路可走，那么，从甲地到丙地共有多少种走法？ 解析：从甲地到丙地共有两大类不同的走法：可以直接从甲地到丙地，也可以从甲地先 到乙地再到丙地，选择任何一类方法，都可以从甲地到丙地，符合加法原理 ； 而在第二类方 法中（即从甲地先到乙地再到丙地） ，又分两步完成 ： 第一步从甲地先到乙地，有 4 种走法， 第二步再从乙地到丙地， 有 2 种走法， 这里

22、的任何一种方法都不能完成从甲地到丙地这件事， 符合乘法原理，这时共有 42=8 种走法。 所以从甲地到丙地总的走法=第一类方法+第二类方法 =3+42=11（种） 四、加法原理和乘法原理的应用 例 1 （数字排列问题）用数字 1、2、3、4、5 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解析：组成一个三位数，要分三个步骤，先选百位数，再选十位数，最后选个位数， 使用乘法原理 543=60（个） 例 2 （数字排列问题）一种电子表 6 点 24 分 30 秒时，显示数字是：6:2430，那么 从 8 点到 9 点这段时间里，此表 5 个数字都不相同的情况一共有多少种？ 解析：在 8 点到 9 点间，

23、电子表的第一位数字肯定 8，在这段时间内是固定不变的， 可以不考虑；第 2 位和第 4 位的取值范围只能是 0、1、2、3、4、5，第 3 位和第 5 位只能 从 0、1、2、3、4、5、6、7、9。题中要求 5 个数字各不相同。所以我们要分开来考虑： 第 2 位到第 5 位只取 0-5 中的数，有 6543=360 种情况 第 2位和第4位只取0-5中的数， 而第3位和第5位只取6、 7、 9中的数， 有653 2=180 种情况 第 2 位、 第 3 位和第 4 位只取 0-5 中的数， 第 5 位只取 6、 7、 9 中的数， 有 654 3=360 种情况 第 2位、第4位和第5位只取

24、0-5中的数，第3位只取6、7、9中的数，有6543=360 种情况 所以，此表在 8 到 9 点间 5 个数字不同的情况共有：360+180+360+360=1260 种 例 3 （数字排列问题）从 1 到 400 的所有自然数中，不含数字 3 的自然数有多少个？ 解析：在一位数前面添两个零，如把 2 写成 002；在两位数前面添一个零，如把 12 写成 012，这样，1400 中的数全成了“三位数”了，除去数字 400 外，考虑不含数字“3” 的这样的“三位数”的个数，分三步考虑：百位、十位、个位上不含数字“3” ，符合乘法 原理。百位上可取 0、1、2，有三种取法；十位上都可取 0、1、

25、2、4、5、6、7、8、9， 有9种取法 ； 个位与十位情况一样， 也有9种取法。 根据乘法原理， 这样的数有 ： 399=243 （个） 。数“000”不合要求，另外还需要补上符合要求的数“400” ，所以不含数字“3” 的自然数有：243-1+1=243（个） ；（提示：这 243 个数中，有首位是“0”的，把“0”删 掉，就成了一位数和两位数，不影响最后的个数。 ） 例 4 （站队排列问题）有 6 个同学排成一排照相，共有多少种不同的站法？ 解析 ： 6 人中任何一位的位置换了， 就是一种站法。 把这 6 个位置用字母表示为 ： A、 B、 C、D、E、F。要排成一排，要分六步，依次排

26、A、B、C、D、E、F 这六个位置，使用乘法 原理；A 位置中有 6 种站法，B 位置中就只剩 5 种站法、 、 、 、 、如此下去，F 位置上就只剩 1 种站法，根据乘法原理，总的站法是：654321=720 种不同的站法 思考：看看下题与例 4 有何区别，又如何解答 A、B、C、D、E 5 人排成一排，如果 C 不站在中间，一共有多少有种不同的排法？ 例 5 （取物排列问题）有 5 件不同的上衣，3 条不同的裤子，4 顶不同的帽子，从中 取出一顶帽子、一件上衣和一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？ 解析：要完成一套装束要分三步完成，先取帽子，再取上衣，最后取裤子，而每一步 分别有 4、5、3 种不同的方法，根据乘法原理，共有 453=60 种不同的装束 例 6 （信号排列问题） 有 5 面颜色不同的小旗， 任意取 3 面排成一行表示一种信号， 问：一共可以表示多少种不同的信号？ 解析：一种信号上有三个位置，要完成一种信号要分三步选好这三个位置上的小旗。 而每个位置上依次有 5、 4、