《第二章圆锥曲线与方程复习课》ppt课件.ppt

1、阶段复习课 第 二 章,【核心解读】 1.椭圆中的特征三角形 a2=c2+b2,ab0,a最大,其中a,b,c构成 如图的直角三角形,我们把它称作“特 征三角形”.,2.椭圆的焦点三角形 设P为椭圆 (ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1,F2 为焦点且F1PF2=，则PF1F2为焦点三角形. (1)焦点三角形的面积 (2)焦点三角形的周长L=2a+2c.,3.双曲线渐近线的设法技巧 (1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法 是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程.如 双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为 (a 0,b0),即 双曲线 (a0,b0)的渐近线方

2、程为 (a0,b0)，即 (2)如果双曲线的渐近线为 时，它的双曲线方程可设 为 (0).,4.共轭双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线. (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. (3)与 具有相同渐近线的双曲线系方程为 5.抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2=ax(a0)或x2=ay(a0).,6.抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论. (1)y2=2px(p0)中,|AB|=x1+x2+p. (2)y2=-2px(p0)中,|AB|=-x1-x2+p. (3)x2=2py(p0)中,|AB|=y1+y2+

3、p. (4)x2=-2py(p0)中,|AB|=-y1-y2+p.,主题一 圆锥曲线的定义及应用 【典例1】(2013合肥高二检测)双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且|PF1|PF2|=64,求PF1F2的面积.,【自主解答】双曲线方程16x2-9y2=144化简为 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 解得a=3,c=5,所以F1(-5,0),F2(5,0). 设|PF1|=m,|PF2|=n, 由双曲线的定义知|m-n|=2a=6,又已知mn=64,在PF1F2中，由余弦定理知 cosF1PF2= = = 所以F1PF2=60, 所以 =

4、所以PF1F2的面积为,【延伸探究】本题条件“|PF1|PF2|=64”改为PF1PF2，则PF1F2的面积是多少？ 【解析】双曲线16x2-9y2=144,化简为 即a2=9,b2=16,所以c2=25, 即a=3,c=5,所以|F1F2|=10. 记|PF1|=m,|PF2|=n.,因为PF1PF2，所以有m2+n2=(2c)2=100, 由双曲线的定义得|m-n|=2a=6, 所以(m-n)2=36,即m2+n2-2mn=36, 因此有mn=32, 所以,【方法技巧】“回归定义”解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹

5、方程； 应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决； 应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.,【补偿训练】(2014长沙高二检测)过双曲线C: (a0,b0)的左焦点F1(-2,0)，右焦点F2(2,0)分别作x轴的 垂线，交双曲线的两渐近线于A，B，C，D四点，且四边形ABCD 的面积为 (1)求双曲线C的标准方程. (2)设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射 线PF1于点M，求点M的轨迹方程.,【解析】(1)由 解得 由双曲线及其渐近线的对 称性

6、知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为 所以 结合c=2且c2=a2+b2得：a=1, 所以双曲线C 的标准方程为 (2)P是双曲线C上一动点，故|PF1|-|PF2|=2,又M点在射线PF1 上，且|PM|=|PF2|，故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2, 所以点M的轨迹是以F1为圆心，半径为2的圆，其轨迹方程为 (x+2)2+y2=4.,主题二 圆锥曲线的方程 【典例2】求与椭圆 有相同的焦点，且离心率为 的椭圆的标准方程. 【自主解答】因为 所以所求椭圆的焦点为 设所求椭圆的方程为 (ab0), 因为 所以a=5, 所以b2=a2-c2=20, 所以

7、所求椭圆的方程为,【方法技巧】处理圆锥曲线问题的策略 (1)待定系数法求圆锥曲线的步骤: 定位置:先确定圆锥曲线焦点的位置,从而确定方程的类型; 设方程:根据方程的类型,设出方程; 求参数:利用已知条件,求出a,b或p的值; 得方程:代入所设方程,从而得出所求方程.,(2)焦点位置不确定的曲线方程的设法: 椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn); 双曲线方程可设为mx2+ny2=1(mn0); 抛物线方程可设为y2=ax(a0)或x2=ay(a0).,(3)共焦点的曲线方程的设法: 与椭圆 共焦点的椭圆方程设为 与双曲线 共焦点的双曲线方程设为,【补偿训练】求以椭圆 的长轴端点为

8、焦点，且经过 点 的双曲线的标准方程. 【解析】椭圆 长轴的顶点为A1(-5，0)，A2(5，0)， 则双曲线的焦点为F1(-5，0)，F2(5，0).由双曲线的定义知， |PF1|-|PF2|= = 即2a=8,a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9. 所以双曲线的标准方程为,主题三 圆锥曲线的性质及应用 【典例3】已知椭圆C： (ab0)的左焦点F及点 A(0,b)，原点O到直线FA的距离为 (1)求椭圆C的离心率e. (2)若点F关于直线l:2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭 圆C的方程及点P的坐标.,【自主解答】(1)由点F(-ae,0)，点A(0，b)，及 得直线

9、FA的方程为 即 因为原点O到直线FA的距离为 所以 解得,(2)设椭圆C的左焦点 关于直线l:2x+y=0的对称点为 P(x0,y0)，则有 解得 因为P在圆x2+y2=4上，所以 所以a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故椭圆C的方程为 点P的坐标为,【方法技巧】 1.圆锥曲线的主要性质 圆锥曲线的主要性质包括范围、对称性、焦点、顶点、长短轴(椭圆)、实虚轴(双曲线)、渐近线(双曲线)、离心率和准线(抛物线).,2.“三法”应对离心率 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲 线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2) 以及 已知其

10、中的任意两个参数，可以求其他的参数，这 是基本且常用的方法. (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离 心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.,(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系.通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.,【补偿训练】(2013浙江高考)如图，F1,F2是椭圆C1： 与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公 共点.若四边形AF1BF2是矩形，则C2的离心率是( ),【解析】选D.由椭圆C1与双曲线C2有公共焦点可知 因 为|AF1|+

11、|AF2|=4，|AF1|2+|AF2|2= 所以|AF1|AF2|=2，又|AF1|-|AF2|=2a， 所以(|AF1|-|AF2|)2=4a2，所以a2=2, 所以,主题四 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例4】(2014威海高二检测)已知椭圆 (ab0) 上的点P到左右两焦点F1,F2的距离之和为 离心率为 (1)求椭圆的方程. (2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点 满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值.,【自主解答】(1)|PF1|+|PF2|=2a= 所以 所以 所以b2=a2-c2=2-1=1, 所以椭圆的标准方程为,(2)已知F2(1,0),直线斜率

12、显然存在， 设直线的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立直线与椭圆的方程 化简得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以 所以AB的中点坐标为,当k0时，AB的中垂线方程为 因为|MA|=|MB|, 所以点M在AB的中垂线上， 将点M的坐标代入直线方程得： 即 解得 或 当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意. 所以斜率k的取值为,【方法技巧】有关直线与圆锥曲线关系问题的求解方法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种:,相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直

13、线与双曲线相交不一定有0,如当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲线相交的充分不必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件.,相切:=0直线与椭圆相切;=0直线与双曲线相切;=0直线与抛物线相切. 相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离. (2)直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结

14、合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.,【补偿训练】(2014衡水高二检测)已知椭圆C1： (a b0)经过点 且其右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点F 重合. (1)求椭圆C1的方程. (2)直线l经过点F与椭圆C1相交于A，B两点，与抛物线C2相交于 C，D两点.求 的最大值.,【解析】(1)由抛物线方程，得焦点F(1，0)，所以c=1. 所以 所以a2=4,b2=3.故椭圆的方程为,(2)当直线l垂直于x轴时，则 C(1,2),D(1, -2), 所以 当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k(k0)，则直线l的方程 为y=k(x-1)，由 得(3+4

15、k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 显然10,所以该方程有两个不等的实数根.设A(x1,y1), B(x2,y2).,所以 = 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 显然20，所以该方程有两个不等的实数根.,设C(x3,y3),D(x4,y4). 因为k0,所以 由抛物线的定义，得|CD|= 所以 综上，当直线l垂直于x轴时， 取得最大值,主题五 与圆锥曲线有关的最值问题 【典例5】(2013新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过 椭圆M： (ab0)右焦点的直线 交M于 A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 (1)求M的方程. (2)C,D为M上的两点，若四边形ACBD

16、的对角线CDAB，求四边 形ACBD面积的最大值.,【自主解答】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 -得 设P(x0,y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为 所以 即 又因为 所以可以解得a2=2b2， 即a2=2(a2-c2)，即a2=2c2，又因为 所以a2=6，所以M的方程为,(2)因为CDAB,直线AB的方程为 所以设直线CD方 程为y=x+m，将 代入 得： 解得x=0或 不妨令 所以可得 将y=x+m代入 得3x2+4mx+2m2-6=0，,设C(x3,y3)，D(x4,y4)， 则|CD|= 又因为=16m2-12(2m2-6)0，即-3m3，所以当m=0时，C

17、D取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为,【方法技巧】与圆锥曲线中有关的最值问题的三种解决方法 (1)平面几何法 平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解. (2)目标函数法 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值.,(3)判别式法 对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程用判别式来求最值.,【补偿训练】已知F1，F2为椭圆 的两个焦点，AB是 过焦点F1的一条动弦，求ABF2面积的最大值. 【解析】由题意，F1(0，1)，|F1F2|=2， 由题意知直线斜率存在, 设直线AB方程

18、为y=kx+1, 代入椭圆方程2x2+y2=2,得(k2+2)x2+2kx-1=0, 则 所以,当 即k=0时， 有最大值为,【强化训练】 1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程 是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 【解析】选B.因为抛物线的准线方程为x=-2,所以抛物线的开 口向右.设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，则其准线方程 为 所以 解得p=4.所以抛物线的标准方程为 y2=8x.,2(2014揭阳高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点，且经过点(-5，2)的双曲线的标准方程是( ),【解析】选C.设双曲线的标准方程是 (a0,