1.2正弦、余弦定理的应用举例.ppt

1、1.2正弦、余弦定理的应用举例,距离,高度,角度,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,一、测量距离,1、河两侧的两点间的距离,解：根据正弦定理，得,答： 两点间的距离为65.7米。,B,分析：用例1的方法可以在在ACD中，可求出AC长；,在BCD中，可求出BC长；,在ABC中，由AC、BC、 可求出AB长.,A,a,例2、 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。,2、河同侧两点间的距离,转化为例1,解：测量者可以在河岸边选定两点 ，测得 ,并且在 两点分别测得, .在 和 中，应用正弦定理得,计算出 和 后，再在 中，应用余弦定理计算出 两点间的距离,在测量上，

2、我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 如例1中的 ，例2中的 .在测量过程中，要根据实际 需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一 般来说，基线越长，精确度越高.,例如，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与 月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好 望角，测量计算 的大小和两地之间的距离 ，从 而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.（如图） 我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴 长.当然，随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确 的测量距离的方法.,仰角、俯角、视角 如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方

3、的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角 由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做视角,数学理论,解直角三角形: RtACE和 RtADE中, 列方程求解.,例3 ：AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度AB的办法,E,C,D,分析:,解斜角三角形: 斜ADC求AC，RtACE中,求AE.,二、测量高度,1、一个竖直平面内的高度,例4 在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角 ，在塔底 处测得 处的俯角 。已知铁塔 部分的高为27.3m，求出山高 (精确到1m),分析：根据已知条件，应该设法计算出 或 的长,解：在 中,所以根据正弦定理，可得,答：山的高度约

4、为150米。,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧远处一山顶 在西偏北15的方向上，行驶5km后到达 处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角8，求此山的高度 .,分析：要测出高 ,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出 的长。,2、立体中的高度,例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧远处一山顶 在西偏北15的方向上，行驶5km后到达 处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角8，求此山的高度 .（长度精确到1m）,根据正弦定理，,解：在 中,答：山的高度约为1047米。,例6 一艘海轮从 出发，沿北偏东

5、75的方向航行67.5n mile后到达海岛 ,然后从 出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛 .如果下次航行直接从 出发到达 ,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile）?,解：在 中,根据余弦定理，得,三、测量角,所以，,答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15n mile.,由正弦定理，得,借助于正弦定理和余弦定理，我们可以进一步解决一些有关 三角形的计算问题，以及一些三角恒等式的证明问题.,根据三角形的面积公式 ，应用以上高的公式,可以推导出下面的三角形的面积公式：,同理：,四、三角形面积,（1

6、）、面积公式的推导,（2）、结论,1、面积公式,2、求三角形的面积,例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1m）?,解：设 ,根据余弦定理的推论，,3、三角形面积公式的应用,证明：,（1）根据正弦定理，可设,显然,（2）根据余弦定理的推论，,五、三角形中恒等式的证明,方法一：边化角,方法二：角化边,六、海上台风预报问题的研究,海上台风预报是天气预报中的一个重要课题，是一个庞大 的系统工程.作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生 命财产安全具有重要的意义。,例10、

7、在某海滨城市附近海面有一台风，当前台风中心位于 （如图1）的东偏南 方向 海面 处，并以 的速度向西偏北 方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 ，并以 的速度不断增大.问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭？,设在时刻 台风中心位于 如图所示,此时台风侵袭的圆形区域的半径为 ，则时刻 城市 受到台风侵袭的条件为,解：由余弦定理知,容易计算得：,于是可以得到,解得,答：12小时后该城市受到台风侵袭，24小时后风过天晴。,练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在 处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到 处，在 处看灯塔在 船的北偏东65o的方向

8、，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可 以继续沿正北方向航行吗？,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？,在ABC中已知什么，要求什么？,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 ,AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 ,AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）,回顾小结,解斜三角形应用中应注意的问题： (1)认真分析题意，将已知元