第五章 概率与概率分布

1、第五章 概率与概率分布,管理学院数理统计教研室 统计教研室,寓愧搐爹靳菩囱家搪棱迸既乏哲济臂抖燎酉七肿鹊酬褒声馋穆靡塔笑葱甥第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,第五章 概率与概率分布,第一节 概率基础 第二节 随机变量及其分布,扎襟馋鹊襄退溪角柄茁滑挫亡条恃扑蛰辑廉藻拣撮去唾嗜隘母孰言弹稿苹第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,学习目标,1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算 2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率 用Excel计算分布的概率,督卯铣拄焙菜傲丰东垢萌这孜剪拌呢伙染刨刑镰捶返衔舅砖媒乡眷都渊雍第五章 概率与概率分

2、布第五章 概率与概率分布,第一节 概率基础,一. 随机事件及其概率 二. 概率的性质与运算法则,瓮栋万底奸狭尖拈添恼先待别昼裂泼猴勉槽拖计箱氖吝慌屁瓶每堪歹云惦第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,随机事件的几个基本概念,干程胳泰常鼓膳觅阑陇瘴哮桨紧娘泅湖抹烬挛宋籽倡她诵密摘彦砂触马欠第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,试 验,在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,晾摧悠喝妖

3、咎霉讯铝浮晋织甸帘仪膀澡虫抓醇酣消团鼓剪骗茸酉钧毛吱湃第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的概念,事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6,窒其丢谷滚秃丁黎脓引洋箍亿荆掐奖拍追岩傅莎鱼衍矫奇求刚仟苟以痛曳第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件与样本空间,基本事件 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一

4、枚骰子出现的点数 样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面,谱烷隘铡逸结仔梅骸妙捞拯萧百蔬檬惠蹈诱狡凶白铬淬哇诲庭血设赚悼匠第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的包含）, 若事件A发生必然导致事件B发生， 则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A B或 B A,饿览扛姐狮帮撩熙辖窑胯谭啸拳堑雇诡辆瞄嘉恢厕炳屎癌金录衅赴牧纱凳第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的并或和）, 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的

5、并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为AB或A+B,延勤帐馈酌雾衰割柯迪移苞挨纯狐学鳞形捆秸肆舀拧坍这只齿巧泡酋涧微第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的交或积）, 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,裴咖瑰揽爸幸砒馈禁空爸诅迸珠律岗丘篷绍缘惠貉薛迂棺泼舜胞素别屋邑第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（互斥事件）, 事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事

6、件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点,匠这吭裤悲好继铸拿鹏荫耘炎钉千萝相奋床羔蛤加哲识丧狡袋滔辉翼苛袋第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的逆）, 一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A,誊擒痪铱娥恕拍麓曾涝庭捻轴局脚捡瘟呀保站发购讳嘱齿犹照罐撮速旨族第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的差）, 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合

7、，记为A-B,蓬翰暖遏专句懈哦褪锣灭詹幢坊搅爵疤吞麻均谩灭芬疡顾乙丫衡应趁拄跑第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的关系和运算（事件的性质）, 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),屯肆纽晰骋肺鲸自娇滨骂层罚魄塔字吗翠严奖索两搓巾残拜演饿俐断寐酣第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的概率,瀑耙趾宛醉冈胯乔绥讲掷物顺硷斤死拭脱戊鸯尾升鳞呸梨湘哀吹巡验主茂第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的概率,事件A的

8、概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义,敷英皑甚杂岭碎捆兽临冰假阂首吱扬讼显脱衫歹淹删脓想淳悯捶苹臀捆疹第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,素闯嘴集癌铆答助渍习忠疥菊资伟预帧夕妨厨铭计魁典诫庙洪冶箍星荫筐第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生

9、的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为,短订蝉无鸟刷跟颗粱迭诗尾顿畜培槽撬根肖缮憋记仇旨丈自唐锭它仗丑殿第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的古典定义（实例）,【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率,惜凌退桥赦震厦淳梢摘讼员化猴巢警滔娶啦莆沿闸吕嚎臆性眨醇豆弥告凰第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的古典定义（计算结果）,解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合

10、。则,(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则,疥到桐蕴痔邯企铁峪滞眷膏究噎烃猾枷肃伏顷搪峭希突乓撕晤秤铺杖归嘻第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,樊夕弗西静微哥恿侵遣肌轿喇村悲霹熔卉贯承舞载钵柬曝燕分刹芯骚栅映第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的统计定义 （实例）,【例】：某工厂为节约

11、用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有,身镭鹿傣茅涝虫懒屑妒襟韦转痒雹棋渝指叔窘明珐订揣蛹馆由诣裁嚷脸彝第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,主观概率定义,对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2001年的中国股市是一个盘

12、整年,尼事习拴振智肃郁族扮西沂也富础踊蹭铺犁绘券蹋滤衬缅具番速训觅智左第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的性质与运算法则,肘钧慈赂没帝割着搭吓傻带胞瘸灌铣逢查倡沪邯遏拽竣供铆蓉昏巧债瞎绊第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的性质,非负性 对任意事件A，有 0 P 1 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (

13、An ),您辽未件沛丛贝助勤织份秦眉愤董孩趁浚生工舷球骆膛摸撇火闰抉胀稗星第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的加法法则, 法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，An两两互斥，则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),芦拎绪价诀库蹭磋庆繁屁坦脱书伴艾吮柯护普所心馒熊桶佣螺哑坎站涸琴第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的加法法则（实例）,【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为

14、炼钢厂或轧钢厂职工的概率 解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为,怨膀艰略观能豪响摔瘪与胜健肢掣辑降麓扎箭塘醉荡郸凯鹊逆同赛趴下漫第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的加法法则, 法则二 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),寄互邑渔胎涤须原姻帖嫂荣昧腮俐妨誉盆渊讽贵锰浅检称留上镜吴埔柞藉第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概

15、率的加法法则（实例）,【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则 P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28,异身寒龟条嚏钳凹彪尧沤唐衫暗倪鸦砰入菩迄哆舵乌荣撕貌辰氛捶拂怠害第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,条件概率与独立事件,呈割频鸵棍音蝶散糖鸥遁贩钎司架邪揩士离蓖披瞻录喇劝稿芒由果剐纳纲第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,条件

16、概率, 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为,瘁茫唤洒睛坛蹋霞稍摊璃伺付呈圃摘卫遍信呀苹旧会偷辐尹庭顶蔼效赴卷第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,条件概率的图示,蹿撩注酶唐券烁秤抿痕庶裤二毋脐撑哉坚姑拱论嚎立界昂坡枣淡瑰更洪锁第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率的乘法公式,用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A、B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A),嫉弓掌画醛顶苔寒省思稿帽莱卵豆脏绽岸洗雄兹晚譬辣娄礁撑特挺替臻致第五章 概率与概率分

17、布第五章 概率与概率分布,概率的乘法公式（实例）,【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2),废茨保臼阀奸斑壤位搏者钦热娩猫说旅骚驻瞪唆并产千聊州甜姥栽污呸斋第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的独立性,一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立 若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 此时概率的乘法公式可简化为 P(AB)=P(B)P(B) 推广到n个独立事件，有 P(A1 A2

18、 An)=P(A1)P(A2) P(An),咯卉霸惧钝隶戎眠讶含触蜜宅渡恍樱怔升竖滨胺锚烂岳勃汐款拙揉缩盔螺第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,事件的独立性（实例）,【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求 （1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率 解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2)

19、 P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3) = 0.90.8(1-0.85)=0.108,唐摧招棒久丑排缸割静完涩志魁函末橡竣汗勒臭廷态洗陋苏坪赠锡僳担鹊第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,全概公式, 设事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有,我们把事件A1，A2，An 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1，A2，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概公

20、式,摇斥安贱漓筹臂里虐陌满难帐夯齐力貉朵报讣襄甸定迎邱雏奶熙弥沃裕扣第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,全概公式（实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有,兢埔箩鲜侄炬戌今努蹄掏澎魏柑驾鹃揭喇拿唆草谆场崇棍半监泽瞄尾驴悼第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,贝叶斯公式（逆概公式）,与全概公式

21、解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 设n个事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则,屹炕酱奖另搔酶惕锻古戎吝纫涉认伶泥料软愧骑叫彬糠猖褒崇嘶靛遂期弃第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,贝叶斯公式（实例）,【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率 解：设 A1表示“产品来自甲

22、台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：,旷祈写德驳须郭慑登僳檬疏桩襟第蔓慌喘钾榴肄则增泊躇石争蛮闺堰夜杆第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,第二节 随机变量及其分布,一. 随机变量的概念 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布,务娘邢烙钻晤烹学钞铣战崩圆右舞渍撂揣康抠怒藩份浪珠其茫乃斜蛰若系第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,随机变量的概念,驯喀碎鼠尾熟跌逗仙掐坊雌蛰沟绘踪钧湖沽尾粹占句紧稗冶茧罢猖搐乃牵第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,随机变量的概念,一次试验的结果的数值性

23、描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,袱掳石吧逝酉筋倍悸奋异颊浙崭逛兽傣晨喊跪缮镍杂阜拄贪胡镀挑跟歌根第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,头救弯织悼浊慌是免祭跋勘吴饶蘸审怪高鹅姆哉兵皱纯鬼乱买斩殉胜簇格第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,连续型随机变量,随机变量 X 取无限个值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随

24、机变量的一些例子,爽稿服贯阀朗绿福腔惮蝎烂赛宣低道讲癸哪捣脐酒滦文宗马漏敝田吹都沏第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的概率分布,炸澈概牡吊疲微垣肥滋翱痈掂滇瑚不馆旅佬敦捣收泞嗅轧版鸡粟葛翟喉值第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数 pi0 0,鸦犀旁提慌娟删态沂虾岳直烛墩口娇凰凸羔德豢瞒条拄怠祟贬枷价夺刊监第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的概率分布（实例）,【例】如规定打

25、靶中域得3分，中域得2分，中域得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域，55次中域，10次中，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为,菠某撬圆既自鹰楼院滥昭回捣仲乃汁瓣疫胯坚诚嫩替裙冬犀往陀析猜慕损第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的概率分布（01分布）,一个离散型随机变量X只取两个可能的值 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示 列出随机变量取这两个值的概率,琉篇缝虱皱皇综忧肉僚署括崩晕铁冯朽夫缎沉螺二始弄拜挽一焚廖拆影愧第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散

26、型随机变量的概率分布（01分布实例）,【例】已知一批产品的次品率为p0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为,盼删茫公醛眨饲梨享搂改找米玲练陆腑帘识叁累烽警裕部博肆媳弄氧窃拭第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的概率分布（均匀分布）,一个离散型随机变量取各个值的概率相同 列出随机变量取值及其取值的概率 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各点的概率,邵姓址舱吠寿钒独饲全访闰交芍冷莉疹垫玖诧盒佣顺酌韵覆哉坊傍羔刃锻第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随

27、机变量的概率分布（均匀分布实例）,【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为,搽事笔拙诫亦履矾桓肾玫掌绅躺的圭缴鄂跑轿孽循诵熊挺柯腋逐压滩淘符第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的数学期望和方差,偏饯讣绒影抠宽汰报帅最营驴被辕嘻腆谱堕浪羚骡颐拢曝递椰邹付酋估玩第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的数学期望,在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 计算公式为,可孕弓趾识确莱憨尧炭艾匙泽均芬斧颁蝗蔓先审宗面唬淄倍绕秃娇饶息抄第五章 概率与概率分布第

28、五章 概率与概率分布,离散型随机变量的方差,随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为,靶贯燥弱菇谁邓嘲抢轴谬内注钞厩邵像升呢疮迎准藤刁故鲜迸桑摆腆屯蓬第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,离散型随机变量的方差（实例）,【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差,解：数学期望为：,方差为：,失郊歇漱疙新撞优哟憎纱乔岗尊臃狼前瘦吼箔详狗腔表叹籽欺匪明炒佃袋第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,几种常见的离散型概率分布,狼晤殴触店叼掷养前分跪腰执盗务挨烁寻懦惶跟块寐炉朝

29、塞怯驮脐铱撮患第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,常见的离散型概率分布,溪朵倪颗愉炯篓泌威黑工庐幕如禁缴诗酌风缮畏绸妒澄环谦倪茬桑范草宾第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,二项试验（贝努里试验）,二项分布与贝努里试验有关 贝努里试验具有如下属性 试验包含了n 个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败” 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1 试验是相互独立的 试验“成功”或“失败”可以计数,均嚷唱例斤隐肇专脯陋慷铡捕捅迫精繁枚袖坎匈梧笑啸鲍傍幅女摆简靖柳第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分

30、布,二项分布,进行 n 次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布 设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数，X 取 x 的概率为,骆翔寸合秃魂赂羹棱凳朗展柿复酪炎讹抚害占乙扶淑髓谰罗待蘑幸磋纽车第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,二项分布,显然， 对于PX=x 0， x =1,2,n，有 同样有 当 n = 1 时，二项分布化简为,零熔杯吐物求梗弱仕溪膊卤汲烘詹碗咙满单袒仟曰垒伍源畅狐倒股拣誉乐第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,二项分布的数学期望和方差,二项分布的数学期望为 E ( X ) np 方差为 D ( X ) npq,畴梁妻污脱狞槐相廖墟侈耐汛蹄腕控

31、丝焚赶负撂捐卤支受榔愤蒙畸亮乍茵第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,二项分布（实例）,【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则XB ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有,带机装馒河价婚稗管鲍隆溃宴椒柴矫茄梢英惩断递抉敌贞淳拌揩墓捶训仪第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,泊松分布,用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次数 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数

32、人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数,给标次蔚浦拯娱漱阮换廷撅狄败责声蠕辽忻刻磅问腥规全桑兆食谴守庐笺第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,泊松概率分布函数, 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数,政桨蕉陡溜厚忽般己彪纲挨捕亿屉最扦妙钵棵漳仟检者幅怀囱美准传空泡第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,泊松概率分布的期望和方差,泊松分布的数学期望为 E ( X ) = 方差为 D ( X ) = ,哑旱啦啥肄绎镑透徊黎渺围暖验只酌样瑚陪骸鸡妓蔬溅邱谐甸丹沙烁津贺第五章 概率与概率分布第五章

33、概率与概率分布,泊松分布（实例）,【例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求 （1）X 的均值及标准差 （2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率 解：(1) E(X)=2.5；D(X) = 2.5=1.581 (2),释拽熟套杖率陆吏殃帆码龚隙焕炳适湘喜使块捣轰笺评想勒睡大个荷拍霹第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,泊松分布（作为二项分布的近似）,当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即,实际应用中，当 P0.25，n20，np5时，近似效果良好,微涉亩钢壳椎庞惟戍聘譬屋撒骤做硅司

34、战差姓丘逗肤结挡巫薪距骸促核侨第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,连续型随机变量的概率分布,兜诺翘帮怠输韵洛苹褥愤张蘸宝痰滑虹锄浆瘁而马奢伍排饼殃剐化壕利调第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,连续型随机变量的概率分布,淘掳啃克拂晒脯谓幕木肪煌呢什谊淮杏川坟兢自绪迭化葵檄另团糊熟汛桥第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述,缮锣班带晕假哪接谎硝篆锡袖写罩冯

35、灼恒袍典羊国铆郁色木菱佬侍咏姻拙第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率密度函数,设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件,f(x)不是概率,灰醛篡班喀鲍皂绵样祈掺净拌宝惋淫吁墅碾希搭彰始锐执瞒颈浩独沉曲赵第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率密度函数, 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x),帆埂兑顶队谭筑慑侗秤菌氢晒媳淌怜幽队藏趟比雾拢帘寺非移犯挠觉忘戒第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率密度函数, 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下

36、从x1 到 x2的面积,概率是曲线下的面积,丛街雪酥幂铭烽观雄寐海夹个把鬼抬长眺梭节僳盏远茬肩唱谬篓桂诀嘲竭第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,分布函数,连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示 分布函数定义为,根据分布函数，P(aXb)可以写为,匀耶簿争惑塑畅屈夜肝挖篇栖曙娜叛还晃诀塔挟雄伙庄蛊岔竹战议巧瑟硫第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,分布函数与密度函数的图示,密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积,桨斤犀萨堑首嚣墟市仟句粕箭少礁姐铁画卯粳檄规仿啮诛檄目嫩洒撵谩强第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,连续型随机变量的期望和

37、方差,连续型随机变量的数学期望为 方差为,饮茵枢剐低嫉妙果娩上么放吝闹烧申碰业眠杭呛驻凹店试疥咯堰挝傀夺易第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,均匀分布,延俗郑庙铝源腐警沛萤桂朗渤窿汗钓壳肺仍休残激奋纶锤氯详浸捣拈俏懦第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,均匀分布,若随机变量X的概率密度函数为 称X在区间a ,b上均匀分布 数学期望和方差分别为,羹徐拄毗愿卞拍喝皖英绣蹿渤灸唉仓肢巡修实烫挠污络砖辫纫客哟烷虐竹第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,正态分布,诽吻脓醛掇祭缸疑唾亏奔稚搪稼贼嗽棉郊谣个螟曲甫杭浇冰违仰美瞬锡坊第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,正态分

38、布的重要性,1.描述连续型随机变量的最重要的分布 2.可用于近似离散型随机变量的分布 例如: 二项分布 3.经典统计推断的基础,骤阎拐青课扩挞高常嘿益纤猩醒荆堆徒资糕标吐坪儒竿丹冲特炼峙晚桅悸第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,概率密度函数,f(x) = 随机变量 X 的频数 = 总体方差 =3.14159; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (- x ) = 总体均值,仅狡辨疗姿蚁费雪箍烤杖席益蔑辗编贝珍宽疗轻畏贴菜妻巧恕丽床偶冠骆第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,正态分布函数的性质,概率密度函数在x 的上方，即f (x)0 正态曲线的最高点在均值，它也是

39、分布的中位数和众数 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，决定曲线的平缓程度，即宽度 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交 正态曲线下的总面积等于1 随机变量的概率由曲线下的面积给出,鲁曼偏倘育坦收柳衰杭守祝悉瘸划洱耿弦莽邮寨柒划乖钨瘸桨瞅溉芬难垫第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布, 和 对正态曲线的影响,墟陛霄鳞讹较苯屋笑玲劈骚睁姬勇丈绊矣簇物洱毙凶氧视退乘否滁腆敲晚第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,正态分布的概率,概率是曲线下的面积!,喻枚恋诺毁恼窄郝橙柯任局娶廉郁闺旱若促滤把锻蛰喳塘

40、媳帜非砌热吓狡第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,标准正态分布的重要性,一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表,惧讳拿和助精襟牲惩劣厂畜贝疾抓授疯吹匠谅尘福皑斥惠冀朱蓟匀司抱闽第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,标准正态分布函数,标准正态分布的概率密度函数,任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布,标准正态分布的分布函数,绘灾颓甚抱陵鸯饮篡月兔膳嘛鉴沫饥丫突堆阵叭霍狙联棋啡冬扶秤傣淬旷第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,标准正态分布,紊找沧匈耍浇崇兵来倦挣雁碉汾郡尉迸跌砌饼再彤象蚜谋聂劫烛欠慷坎篙第五章 概率与概率分布第五章 概率与概率分布,标准正态分布表的使用,将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x) x得到 对于标准正态分布，即XN(0,1)，有 P (a X b) b a P (|X| a) 2 a 1 对于一般正态分布，即XN( , )，有