第三章 平面问题的有限单元法.ppt

1、主要内容：弹性力学平面问题位移模式、单元分析、整体分析、有限元方程的求解、平面问题的应用。 教学重点：结构离散化、单元位移形函数、单元刚度矩阵、总刚度矩阵。 教学难点：单元位移形函数、总刚度矩阵。,第3章 平面问题有限元单元法,求解弹性力学问题，就是在一定边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组，得出应力、应变和位移的函数式解答。 对于工程实际问题，由于物体的形状和受力情况等比较复杂，往往难以求出函数式的解答。为此，在弹性力学中建立了三种数值解法，即变分法、差分法和有限单元法。特别是近半个世纪发展起来的有限单元法，应用计算机进行计算，能够有效地解决各种工程实际问题，并达到所

2、需要的精度。现在，有限单元法已广泛地应用于各种工程结构的分析。,有限单元法的作用：,3.1 基本方程的矩阵表示,一 、基本方程的矩阵表示 在有限单元法中，采用矩阵表示和矩阵运算的方法。因为，用矩阵表示公式，可以使同一类公式统一为一个矩阵公式，且便于运算和编制程序。 在平面问题中，不论是平面应力问题还是平面应变问题，物体所受的体力只有X和Y两个分量，可用体力列阵表示为： R= ,同样，物体所受的面力也只有 和 两个分量，可用面力列阵表示为： R= 与此相似，3个应力分量可用应力列阵表示为： 3个形变分量可用应变列阵表示：,2个位移分量可用位移列阵表示为： U= =（ ）T 现在把本章中要用到的几

3、个基本方程用矩阵来表示。 几何方程表示： 平面应力问题的物理方程： 简写为：,为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型,平面问题的有限单元法,二、有限元法解题的基本步骤,1. 力学模型的分析,（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）,例如：,根据题目的要求，可选择适当的单元进行结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。,平面问题的有限单元法,2. 单元的选取、结构的离散化,例如：,结构离散化后，要用单元结点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来

4、说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。,平面问题的有限单元法,3. 选择单元的位移模式,（3-1）,单元内任一点的位移列阵；,单元的结点位移列阵；,单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）,平面问题的有限单元法,4. 单元的力学特性分析,把（3-1）式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示的单元应变表达式：,（3-2）,式中：,单元内任一点应变列阵；,单元的应变转换矩阵；（它的元素仍为位置坐标的函数）,再把（）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：,（3-3）,最后利用弹

5、性体的虚功方程建立单元结点力列阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：,平面问题的有限单元法,式中：,单元内任一点的应力列阵；,单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）,式中：,单元刚度矩阵,（3-4）,（3-5）,考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（3-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。,用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组集成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：,（3-6）,解出整体结构的结点位移列阵后，再根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（3-3）式就可求出各单元的应力分量值。,平面问题的有限单元法,5. 建立整体

6、结构的刚度方程,6. 求解修改后的整体结构刚度方程,7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力,求解出整体结构的位移和应力后，可有选择 地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别 要输出结构的 变形图、应力图、应变图、结构仿 真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等 等。,平面问题的有限单元法,8. 计算结果输出,返回,3.2 单元位移模式,一、离散化,将连续体用假想的线或面分割成有限个部 分，各部分之间用有限个点相连。,每个部分称为一个单元，连接点称为结点。,三角形网格划分,结点力： 单元结点力：,结点位移： 单元结点位移：,弹性体和有限元计算模型,从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性

7、体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接,在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用

8、。,起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。,二、简单三角形单元的位移模式,单元位移模式：有限元分析中，将结构离散为许多小单元的集合体，用较简单的函数来描述单元内各点位移的变化规律。（P24）,简单三角形单元（三结点三角形单元）特点： 边界适应性强；计算精度较低。,式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个结点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设结点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 上 式，得：,用克莱姆法则，由 上式方程

9、可以求得：,其中:,从解析几何可知，式中的 A就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，结点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向，如右图所示。,并将 1、2、6代入 (3-1) 式的位移模式，经整理后得到 ：,（i , j , m轮换） (3-5),N 形函数矩阵,若令,这样，位移模式 就可以写为,（i , j , m轮换） (3-9),式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 N 叫做形函数矩阵。三结点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共结

10、点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。,三 形函数的性质,平面问题的有限单元法,在上式中，提出了形函数的概念，即,其中,（i , j , m轮换）,现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：,返回,1. 在单元的任一点上，三个形函数之和等于1，即,简记为,(3-11),这说明，三个形函数中只有二个是独立的。,将P25式3-5代入,平面问题的有限单元法,2. 形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点 为零”的性质，即,在结点i上，,在结点j、m上，,(a),(b),(c),类似地有,(d),平面问题的有限单元法, 三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节 点

11、坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如，在i j 边上， 有,平面问题的有限单元法,事实上，因i j 边的直线方程方程为,(a),代入P26（3-9）式中的Nm (x , y) 和Nj (x , y)，有,(b),(c),返回,平面问题的有限单元法,故有,(d),另外，由性质1可以求得,(e),利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。,返回,形函数的性质小结：,例：如图所示为三角形单元，求其形函数矩阵N。, 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一

12、部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，,平面问题的有限单元法,为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即, 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当结点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如，在3-2节的位移模式(b)中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。,四 位移模式的收敛性, 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位 移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的 连续性要求总是得到满足的，单元间的

13、位移协调性，就是 要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通 常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移 时，就可以保证位移的协调性。,平面问题的有限单元法,当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。 因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可 能使数值解收敛于正确解。很显然，在前面的位移模式 (b)中，与2、3、5、6 有关的线性项就是提供单元中的 常应变的。,1、位移模式必须包含单元的刚体位移,满足条件1、2的单元为完备单元,2、位移模式必须能包含单元的常应变,3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调,满足条件3的单元为协调单元,位移模式收

14、敛性小结：,上节内容回顾：,三结点三角形单元位移模式：,如果结点位移已知，位移模式：,若令,形函数的性质（3条）,位移模式的收敛性（3条）,一、应变矩阵,平面问题的有限单元法,有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程,3.2 应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵,由位移模式知：,因：,平面问题的有限单元法,可简写成,其中 B 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式,而子矩阵,由于A和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵B中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。,（i , j , m轮换） (3-15),(3-13),(

15、g),二、应力矩阵,平面问题的有限单元法,求得应变之后，再将应变矩阵表达式式代入物理方程 ，便可推导出以结点位移表示的应力。即,(3-16),(h),(3-16),令,则,返回,平面问题的有限单元法,其中 S叫做应力矩阵，若写成分块形式，有,对于平面应力问题，弹性矩阵D为,(3-17),(i),所以，S的子矩阵可记为,（i , j , m轮换） (3-19),平面问题的有限单元法,对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ，换成 /1-，即得到其弹性矩阵,(j),（i , j , m轮换）(3-20),返回,平面问题的有限单元法,注意到（3-7）式，则有,(3-21),由（3-

16、19）、（3-20）式不难看出，S中的诸元素都 是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。,可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线 性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单 元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是 连续的。,返回,应变矩阵小结,应力矩阵小结,应变矩阵为常量，单元内应变是常数,应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移却是连续的。,三、 单元 刚度矩阵,平面问题的有限单元法,为了推导单元的结点力和结点位移之间的关系，可应用虚功原理对图3-1中的单元e进行分析。单元e是在等效结点力的作用下处于平衡的，而这种结点力可采用列

17、阵表示为：,(a),假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个结点i、j、m 的虚位移为,平面问题的有限单元法,参照（3-13）式，单元内的虚应变 *为,于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为,(d),(f),而单元内的应力在虚应变上所做的功为,(g),根据虚功原理，弹性体处于平衡状态时，外力在虚位移上做的功等于应力在虚应变上所做的功。,平面问题的有限单元法,这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及上式代入上式，并将提到积分号的前面，则有,根据虚功原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即,注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得,(3-20),平面问题

18、的有限单元法,记,(3-21),则有,(3-22),上式就是表征单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程，ke就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵D 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，B矩阵中的元素也是常量。当然单元的厚度也是常量时，所以（3-21）式可以简化为,ke =BT DBt (3-23),返回,平面问题的有限单元法,将（3-23）式写成分块形式，即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵,(3-25),其中,( r = i、j、m；s = i、j、m ) (3-26),平面问题的有限单元法,对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成E / 1- 2 和 /

19、1- 即可。于是,( r = i、j、m；s = i、j、m ) (3-27),(1)单元刚度矩阵的物理意义 表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的结点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质例如子块 其中：上标1表示X方向自由度2表示Y方向自由度，后一上标代表单位位移的方向、前一上标代表单位位移引起的结点力方向如 表示j结点产生单位水平位移时在i结点引起的水平结点力分量， 表示j结点产生单位水平位移时在i结点引起的竖直结点力分量，其余类推显然，单元的某结点某自由度产生单位位移引起的单元结点力向量，生成单元刚度矩阵的对应列元素,四、单元刚度矩阵的性质,(2)单元刚度矩阵为对称矩阵

20、 由功的互等定理中的反力互等可以知道 所以【K】为对称矩阵 (3)单元刚度矩阵与单元位置无关(但与方位有关),=,例：平面应力直角三角形单元刚度矩阵,图1-8示出一平面应力直角三角形单元，直角边长分别为a、b，厚度为h，弹性模量为E，泊松比为，计算单元刚度矩阵。,图1-8,第一步：计算bi、ci和单元 面积A。,图1-8,（1-17）,表2-1 单元结点坐标和bi、ci值（i、j、m）,参数,结点,单元面积: A=ab/2, 计算步骤,第二步：求子矩阵 由式(1-41），算得,其他从略。,第三步：形成k 将kii等按式(1-40）组集成k 。,(1-43a）,i,j,m,i,j,m,i、j、m

21、表示单元中3个结点在结构系统中的编号。,当a=b时，即等腰直角三角形单元，有,(1-43b）,i j m,i,j,m,单元刚度矩阵小结：,注意：单元刚度矩阵的阶数,上节内容回顾：,1.,2.,3.,注意：两类平面问题的应力转换矩阵S不同。,单元刚度矩阵,4.,单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的性质,3.3 等效结点力载荷列阵,平面问题的有限单元法,有限单元法分析问题只采用结点载荷，作用于单元上的非结点载荷都必须移置为等效结点载荷。只要移置遵循静力等效原则。就只会对应力分布产生局部影响，且随着单元的细分，影响会逐步降低。所谓静力等效，就是原载荷与等效结点载荷在虚位移上所作的虚功相等。 先讨论集中力的移

22、置，然后讨论分布力的移置。,按弹性体静力等效原理虚功原理移置单元载荷。,平面问题的有限单元法,集中力的等效载荷列阵 F,集中力：,等效结点力阵：,单元结点的虚位移为：,单元内力作用点M处的虚位移为：,平面问题的有限单元法,根据虚功原理解：,由：,即：,其中： 为形函数在集中力作用点处的值。,平面问题的有限单元法,3-27,设在单元ijk上受有分布体力。取微元 体 ，则此微元体可看成一个集 中力： 体力等效结点力：,由（3-27）式，并对三 角形单元体积积分，即 可得到体力位置到结点 上的等效结点力列阵：,平面问题的有限单元法,2. 体积力的等效载荷列阵R,3、面力的移置：,设在单元的某一个边界

23、上作用有分布的面力,单位面积上的面力为PX Y，在此边界上取微面积tds，将微面积上的面力视为集中载荷，利用(327)式，对整个边界面积分，得到:,4、特殊载荷的移置：,已知在ij边受有面力q，则移置到i、j 结点上的等效结点力为：,平面问题的有限单元法,当某一边上有三角形分布的面力时， 可由刚体静力等效直接写出,如果任意三角形单元ijk的重心c上受有自重 则按刚体静力等效原理可把W直接移置到i，j，m三个结点上而组成 ：,等效结点力、载荷列阵小结,例:图示三角形单元的i j m的jm边上作用有如图所示线性均匀分布面载荷，三角形单元厚度为t，求结点载荷向量。,解：运用叠加原理 三角形单元jm边

24、长度为：,习 题,1、 设有三角形单元ijm受自重作用，容重为Pg。 求出其等效结点载荷。 2设有：三角形单元ijm的ij边受线性分布的法向压力作用，ij两点的压力分别为Pi和Pj试求其等效结点载荷。,3.4 整体刚度矩阵,平面问题的有限单元法,讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析。假设弹性体被划分为N个单元和n个结点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到N组形如（3-21）式的方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡关系式。为此，我们先引入整个弹性体的结点位移列阵 2n1 ，它是由各结点位移按结点号码以从小到大的顺序排列组成，即,其中子矩阵,(j),(i =1

25、,2, , n ) (k),是结点i的位移分量。,平面问题的有限单元法,继而再引入整个弹性体的载荷列阵R2n1 ，它是移置到结点上的等效结点载荷依结点号码从小到大的顺序排列组成，即,(l),其中子矩阵,(i =1,2, , n ) (m),是结点i上的等效结点载荷。,平面问题的有限单元法,现将各单元的结点力列阵Re61 加以扩充，使之成为2n1阶列阵,其中，子矩阵,(n),(i, j, m 轮换) (o),是单元结点i上的等效结点力。,(n)式中的省略号处的元素均为零，矩阵号上面的i, j, m 表示在分块矩阵意义下Ri 所占的列的位置。此处假定了i, j, m 的次序也是从小到大排列的、并且

26、与结点号,平面问题的有限单元法,码的排序一致。各单元的结点力列阵经过这样的扩充之 后就可以进行相加，把全部单元的结点力列阵叠加在一 起，便可得到 (l)式所表示的弹性体的载荷列阵，即,这是由于相邻单元公共边内力引起的等效结点力，在叠 加过程中必然会全部相互抵消，所以只剩下载荷所引起 的等效结点力。,同样，将单元刚度矩阵的六阶方阵k加以扩充，使之 成为2n阶的方阵,(p),返回,(q),平面问题的有限单元法,平面问题的有限单元法,不难看出，其中的22阶子矩阵ki j 将处于上式中的第i双行、第j双列中。,考虑到k扩充以后，除了对应的i, j, m 双行和双列 上的九个子矩阵之外，其余元素均为零，

27、故（3-33）式 中的单元位移列阵e2n1 便可用整体的位移列阵 2n1 来替代。这样，（3-33）式可改写为,平面问题的有限单元法,把上式对N个单元进行求和叠加，得,(r),上式左边就是弹性体所有单元刚度矩阵的总和， 称为弹性体的整体刚度矩阵（或简称为总刚），记为 K。注意到（3-28）式，有,(3-38),(3-39),平面问题的有限单元法,若写成分块矩阵的形式，则,返回,平面问题的有限单元法,显然，其中的子矩阵为,它是单元刚度矩阵扩充到2n2n 阶之后，在同一 位置上的子矩阵之和。由于(q)式中许多位置上的子矩 阵都是零，所以（3-36）式不必对全部单元求和，只 有当krs 的下标r =

28、 s或者属于同一个单元的结点号码 时，krs 才可能不等于零，否则均为零。,将（3-34）式和 (p) 式代入 (r) 式，便可得到关于 结点位移的所有2n个线性方程，即,K=R (3-41),(3-40),平面问题的有限单元法,组装总刚k的一般规则：,1. 当krs中r=s时，该点被哪几个单元所共有，则总刚子矩阵krs就是这几个单元的刚度矩阵子矩阵krse的相加。,2. 当krs中r s时，若rs边是组合体的内边，则总体刚度矩阵krs就是共用该边的两相邻单元单刚子矩阵krse的相加。,3. 当krs中r和s不同属于任何单元时，则总体刚度矩阵 krs=0。,下面，我们考查一个组装总刚的实例：,

29、1. 整体刚度矩阵及载荷列阵的 组集,根据叠加原理，整体结构的各个刚度矩阵的元素显然是由有关单元的单元刚度矩阵的元素组集而成的，为了便于理解，现结合图3-5说明组集过程。,平面问题的有限单元法,图中有两种编码：一是结点总码：1、2、3、4；二是结点局部码，是每个单元的三个结点按逆时针方向的顺序各自编码为i，j，m。,图中两个单元的局部码与总码的对应关系为：,单元e的刚度矩阵分块形式为：,平面问题的有限单元法,整体刚度矩阵分块形式为：,其中每个子块是按照结点总码排列的。,通常，采用刚度集成法或直接刚度法来组集整体结构刚度矩阵。刚度集成法分两步进行。,第一步，把单元刚度矩阵 扩大成单元的贡献矩阵

30、，使单元刚度矩阵的四个子块按总体编号排列，空白处作零子块填充。,第二步，以单元 2 为例，局部码i，j，m对应于总码3，4，1，按照这个对应关系扩充后，可得出单元 2 的贡献矩阵 。,平面问题的有限单元法,总码 1 2 3 4 2 3 4 m i j 局部码,第三步，把各单元的贡献矩阵对应行和列的子块相叠加，即可得出整体结构的刚度矩阵 ，如（3-42）式。,在这里应该指出，整体刚度矩阵 中每个子块为 阶矩阵，所以若整体结构分为n个结点，则整体刚度矩阵的阶数是 。,总码 1 2 3 4 i j m （3-42） m i j 局部码,平面问题的有限单元法,至于整体结构的结点载荷列阵 的组集，只需将

31、各单元 的等效结点力列阵 扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节 点位移分量的编号，对应相叠加即可,三 整体刚度矩阵的性质,平面问题的有限单元法,由总刚度方程可知：,返回,平面问题的有限单元法,1. 刚度矩阵K是一个稀疏矩阵。,如果遵守一定的结点编号规则，就可使矩阵的非零元素都集中在主对角线附近呈带状。,前面在讨论总刚子矩阵的计算时曾指出，总刚中第 r双行的子矩阵Krs ，有很多位置上的元素都等于零， 只有当第二个下标s等于r或者s与r同属于一个单元的节 点号码时才不为零，这就说明，在第r双行中非零子矩 阵的块数，应该等于结点r周围直接相邻的结点数目加 一。可见，K的元素一般都不是填满的，而是呈

32、稀疏 状（带状）。,以图3-6a所示的单元网格为例，其整体刚度矩阵中 的非零子块（每个子块为2行2列）的分布情况如图3-6b 所示。,2.带状性,图 3-6 a,平面问题的有限单元法,半带宽D=（相邻结点号的最大差值+1*2,图 3-6 b,平面问题的有限单元法,通常的有限元程序，一般都利用刚度矩阵的对称和稀 疏带状的特点，在计算求解中，只存储上半带的元素，即 所谓的半带存储。因此，在划分完有限元网格进行结点编 号时，要采用合理的编码方式，使同一单元中相邻两结点 的号码差尽可能小，以便节省存储空间、提高计算效率。,平面问题的有限单元法,3. 刚度矩阵K中主对角元素总是正的。,例如，刚度矩阵K中

33、的元素k33 是表示结点3在x方向产生单位位移，而其它位移均为零时，在结点3的x方向上必须施加的力，很显然，力的方向应该与位移方向一致，故应为正号。,4.刚度矩阵K是一个对称矩阵，即Krs = Ksr T。,由（3-32）、（3-36）式得,所以，可以只存储上三角或下三角矩阵。,(t),返回,平面问题的有限单元法,4. 刚度矩阵K是一个奇异矩阵，,弹性体在R的作用下处于平衡，R的分量应该满足三个静力平衡方程。这反映在整体刚度矩阵K中就意味着存在三个线性相关的行或列，所以K是个奇异阵，不存在逆矩阵。,因,代入（3-30）得,(u),返回,平面问题的有限单元法,上式左乘T ，并注意到 (3-13)

34、 式， 在集合过程中将B扩充到32n阶后，有B32n e2n 1 = B3 2n 2n 1 ，故,(v),由于弹性矩阵D是正定的，且t和都是正的，所以只有当每个单元中都有 =0时，才有,否则,也就是说，当排除了弹性体的刚体位移 =0之后，若 0，则二次型 T K 恒大于零，于是K必定为正定阵。有关排除整体刚度矩阵奇异性的方法将在后面的章节中予以讨论。,返回,整体分析小结：,K=R (3-41),整体结点位移列阵：,整体结点力列阵：,整体刚度矩阵：,整体刚度矩阵的性质,3.5 位移边界条件的处理,.对角元素改1法,2.乘大数法,3.降阶法,3.6 计算实例,图3-14所示为一厚度t=1cm的均质

35、正方形薄板，上 下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为E，泊松比 ，不记自重，试用有限元法求其应力分量。,例3-1,平面问题的有限单元法,平面问题的有限单元法,解：,.力学模型的确定,.结构离散,由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。,该1/4结构被离散为两个三角形单元，结点编号，单元划分及取坐标如图3-15所示，其各结点的坐标值见表3-1。,.求单元的刚度矩阵,计算单元的结点坐标差及单元面积 单元（i、j、m1，2，3）,计算各单元的刚度矩阵 先计算用到的常数,平面问题的有限单元法,代入可得:,返回,所以单元1的刚度矩阵为:,1,2,3,1,2,3,平面问题的有限单元法,由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有:,3,4,1,3,4,1,平面问题的有限单元法,返回,组集整体刚度矩阵,由于Krs=KsrT，又单元1和单元2的结点号按123对应341，