第四章 随机变量的数学期望.ppt

1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望 方差 协方差和相关系数 矩与协方差矩阵,4.1 数学期望,4.1.1 概念,例1、盒子中有6个球（如图），,从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。,定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列是 ， 若级数 收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且称级数 的和为 X 的数学期望，并记为EX，有时也称 EX 为 X 的均值。,对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下：,注1、若 ，仍称X的 数学期望不存在。,2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。,3、离散型只取非负值，连续型只在x0时f(x)0

2、，则只需直接计算期望。,4.1.2 常见随机变量的数学期望,（2）二项分布B(n,p),（3）泊松分布P(),（4）几何分布G(p),（5）超几何分布H(N, M ,n),（6）均匀分布U(a,b),（7）指数分布,（8）正态分布 N(,2),4.1.3 随机变量函数的数学期望,定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即 （g 是连续函数）， （1）若X是离散型随机变量，其分布律为 而级数 绝对收敛，则有,（2）若 X 是连续型随机变量，其密 度函数为 ，若积分 绝对收敛，则有,（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有,例1：设 XB（n，p），求EX(X1)。,解：因XB（n，p），则X的分布

3、律为,令 Yg（X） X(X1),例2、已知XN(0,1)，求E(X4),解：,例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布 N（0，1），求 E（maxX,Y）。,解：由题设，(X，Y)的联合密度为,（1） ECC，(C为常数) （2） E(CX)CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)EXEY E(aX+b)aEXb， E( ) （4）若X、Y是相互独立的随机变量，则 E(XY)EXEY 。,4.1.4 数学期望的性质,例6、盒中有N个球，其中M个黑球，N-M个 白球，从中任取n个球，令X表示取得黑球的 个数，求 EX。,4.2 随机变量的方差,4.2.1 方差的定义,对随机变量的特征进行

4、考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于XEX可正可负，因此用XEX2 来考虑。,定义4.3：设X是一个随机变量，若(XEX)2 的数学期望存在，则称E(XEX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即DXE(XEX)2,离散型随机变量：,连续型随机变量：,方差的计算公式：,4.2.2 几种常见的随机变量的方差,（2）二项分布：,（3）泊松分布：,（4）均匀分布：,（5）指数分布：,（6）正态分布：,4.2.3 方差的性质,（1）D(C)0，(C为常数),（2）D(CX)C2DX ，(C为常数),（3）若X、Y是相互独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X-Y)DXDY,

5、（4）DX0,例1、已知 XN(1,22)，YN(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。,定理：切比雪夫不等式,4.3.1 协方差与相关系数的概念,我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有,但当 X 和 Y 不相互独立时，它们之间的关系呢？,称 为 X、Y 的相关系数。,定义4.4：设 X、Y 是两个随机变量，称 为随机变量 X、Y 的协方差，记为 即：,相关系数的特征： 是一个无量纲的 量。它描述的是 X、Y 之间的线性相关程 度。,结论：X、Y相互独立，则其一定不相关； 但若 X，Y不相关，却未必相互独立。,4.3.2 协方差与相关系数的性质

6、,1、协方差的性质:,2、相关系数的性质:,（1）| | 1 ; （2）| | = 1 的充要条件为 X 与 Y 以概 率1线性相关。即存在常数 a、b，a0 ， 使,独立与不相关的关系： X、Y相互独立，则其一定不相关； 但若 X，Y不相关，却未必相互独立。,4.4 矩、协方差矩阵,4.4.1 矩,定义4.5：设X、Y是随机变量， 称为X的k阶原点矩,称为X的k阶中心矩,称为X与Y的k+l阶混合中心矩,4.4.2 协方差矩阵,设n维随机变量 X ，记 称 为X的期望向量，记 为 Xi 与Xj 的协方差，则称n阶矩阵,协方差矩阵的性质：,（1） （2） ，即协方差矩阵是对称的。 （3）协方差矩阵是非负定矩阵，即对任 意的 n 维实向量 t ，有 t t （4）,4.4.3 n维正态分布,特殊的，n=2时，即：,其中,