几何辅助线之手拉手模型(初三)

1、手拉手模型手拉手模型 教学目标: 1：理解手拉手模型的概念，并掌握其特点 2：掌握手拉手模型的应用 知识梳理： 1、等边三角形 条件：OAB，OCD 均为等边三角形 结论：； 导角核心： ； 2、等腰直角三角形 条件：OAB，OCD 均为等腰直角三角形 结论：； 导角核心： 3、任意等腰三角形 条件：OAB，OCD 均为等腰三角形，且AOB = COD 结论：； 核心图形： 核心条件：； 典型例题： 例 1:在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 和BCE， 连接 AE 与 CD， 证明： （1） ABEDBC； （2） AE=DC； （3）AE 与 DC 的夹角为 60； （4）AG

2、BDFB； （5）EGBCFB； （6）BH 平分AHC；GFAC D D E E H H G G A A B B F F C C 例 2：如果两个等边三角形ABD 和BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）ABEDBC； （2）AE=DC； （3）AE 与 DC 的夹角为 60； （4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC D D C C E E A AB B 例 3：如果两个等边三角形ABD 和BCE，连接 AE 与 CD，证明： （1）ABEDBC； （2）AE=DC； （3）AE 与 DC 的夹角为 60； （4）AE 与 DC 的交点设为 H,BH 平分AHC D D

3、 A A B B H H E E C C 例 4：如图，两个正方形ABCD 和 DEFG，连接 AG 与 CE，二者相交于 H 问： （1）ADGCDE 是否成立？（2）AG 是否与 CE 相等？ （3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE？ B B C C H HG G A AD D F F E E 例 5：如图两个等腰直角三角形ADC 与 EDG，连接 AG,CE,二者相交于 H.问 AG 是否与 CE 相等？ （3）AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE？ 1）ADGCDE 是否成立？（2）（ C C H H G G A A D D E

4、E 例 6：两个等腰三角形ABD 与 BCE，其中 AB=BD,CB=EB,ABD=CBE，连接 AE 与 CD. 问（1）ABEDBC 是否 成立？ （2）AE 是否与 CD 相等？（3）AE 与 CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC？ D D H H A A B B E E C C 例 7： 如图， 分别以ABC 的边 AB、 AC 同时向外作等腰直角三角形， 其中 AB =AE ， AC =AD， BAE =CAD=90， 点 G 为 BC 中点，点 F 为 BE 中点，点 H 为 CD 中点。探索 GF 与 GH 的位置及数量关系并说明理由。 例 8：如图 1，已知D

5、AC=90，ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 任意一点（P 与 A 不重合） ，连结 CP，将 线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60得到线段 CQ，连结 QB 并延长交直线 AD 于点 E. （1）如图 1，猜想QEP=_； （2）如图 2，3，若当DAC 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP 的度数，选取一种情况加以证明； （3）如图 3，若DAC=135，ACP=15，且 AC=4，求 BQ 的长 例 9： 在ABC 中，AB AC， 点 D 是射线 CB 上的一动点 （不与点 B、 C 重合） ， 以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE， 使AD AE，DAE BAC，

6、连接 CE 1）如图 1，当点 D 在线段 CB 上，且BAC 90时，那么DCE _度； （2）设BAC ，DCE 如图 2，当点 D 在线段 CB 上，BAC 90时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 如图 3，当点D 在线段 CB 的延长线上，BAC 90时，请将图3 补充完整，并直接写出此时与之间的数 量关系 （3）结论：与之间的数量关系是_ 例 10：在ABC中，AB BC 2，ABC 90，BD 为斜边 AC 上的中线，将ABD绕点 D 顺时针旋转 (0180)得到EFD，其中点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F，BE 与 FC 相交于点 H. . （1）如

7、图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系：_; ; （2）如图 2，M、N 分别为 EF、BC 的中点. .求证：MN _; ; （3）连接 BF，CE，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE 与 AC 之间的数量关 系：. . 当堂练习：当堂练习： 1：在ABC 中，AB=AC，BAC=90，点 D 在射线 BC 上（与 B、C 两点不重合），以 AD 为边作正方形 ADEF， 使点 E 与点 B 在直线 AD 的异侧，射线 BA 与射线 CF 相交于点 G若点 D 在线段 BC 上，依题意补全图1； 判断 BC 与 CG 的数量关系与位置关系，并加以证明； 2：已知：如图，点

8、C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形CG、CH分别是ACN、MCB的 高求证：CG CH 3：如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与AC CD相等的理由 4：已知，如图，P是正方形ABCD内一点，且PA:PB:PC 1: 2:3，求APB的度数 5：如图所示，P是等边ABC中的一点，PA 2，PB 2 3，PC 4，试求ABC的边长. 6：在 RtABC 中，ACB 90，D 是 AB 的中点，DEBC 于 E，连接 CD （1）如图 1，如果A 30，那么 DE 与 CE 之间的数量关系是_ （2）如图 2，在（1）的条件下，P 是线段 CB

9、上一点，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转 60，得到线段 DF，连接 BF，请猜想 DE、BF、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论 （3）如图 3，如果A （0 90），P 是射线 CB 上一动点（不与B、C 重合），连接DP，将线段 DP 绕 点 D 逆时针旋转 2，得到线段 DF，连接 BF，请直接写出 DE、BF、BP 三者之间的数量关系（不需证明） AA A DD F D CEBCEPBC E B 课后练习： 1：在ABC中，AB AC，BAC 0 60，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD （1）如图 1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示） ；

10、 （2）如图 2，BCE 150，ABE 60，判断ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC 45，求的值 2：如图， ABC 中，BAC=90，AB=AC，边BA 绕点 B 顺时针旋转 角得到线段 BP，连结PA，PC，过点P 作 PD AC 于点 D （1）如图 1，若 =60，求DPC 的度数； （2）如图 2，若 =30，直接写出DPC 的度数； （3）如图 3，若 =150，依题意补全图，并求DPC 的度数 3：在 ABC 中，AB AC，将线段AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且0180，连接 AD、BD （1）如图 1，当BAC 1

11、00， 60o时，CBD的大小为_； （2）如图 2，当BAC 100， 20时，求CBD的大小； （3）已知BAC 的大小为m60m120，若CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小 4：如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AEAB AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中 心逆时针旋转，设旋转角为，在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG （1）当正方形AEFG旋转至如图 2 所示的位置时，求证：BE=DG； （2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出FCD的度数； （3）如图 3，如果 45，AB 2，AE 4 2，求点G到B

12、E的距离 5： 将等腰RtABC和等腰RtADE按图 1 方式放置，AD 边与 AB 边重合，将ADEA90，AB2，AD 4 绕点 A 逆时针方向旋转一个角度0 180，BD 的延长线交直线 CE 于点 P （1）如图 2，BD 与 CE 的数量关系是_，位置关系是_； （2）在旋转的过程中，当AD BD时，求出 CP 的长； （3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长 6：ABC 中，ABC 45，AHBC 于点 H，将AHC 绕点 H 逆时针旋转 90后，点 C 的对应点为点 D，直线 BD 与直线 AC 交于点 E，连接 EH （1）如图 1，当BAC 为锐角时， 求证：BEAC；求BEH 的度数； （2）当BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段 EC，ED，EH 之间的数量关系 7：如图1，在ACB和AED中，AC BC，AEDE，ACB AED 90，点E在AB上，F是线段BD的 中点，连接CE、FE （1）请你探究