材料力学第四章截面的几何性质.ppt

1、,截面几何性质,Geometrical Properties of An Area,截面几何性质： 与截面形状和尺寸有关的几何量。,截面几何性质,拉伸：,扭转：,本次课主要内容,静矩和形心 惯性矩和惯性半径 惯性积 平行移轴公式 转轴公式主惯性轴,1. 静矩(一次矩),2. 形心,I.1 静矩和形心,结论： 1、 Sz = 0 z 轴是形心轴 2、对称轴必定是形心轴,3. 组合截面的静矩和形心,y,z,z,o,y,静矩,(yi,zi),试求图示曲线 下的面积OAB对于y轴的静矩Sy和形心位置xc,x,y,A,o,b,h,B,解：,【例题 1】,面积,形心,负面积法,x,y,o,1. 惯性矩（二

2、次轴矩）,惯性矩恒为正值,2. 惯性半径,I.2 惯性矩和惯性半径,截面对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。,3. 极惯性矩（二次极矩）,试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。,解：,【例题 2】,【例题 3】试计算图示圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,解：,y,z,D,C,4. 组合截面的惯性矩和极惯性矩,【例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。,能否用同样的办法计算抗扭截面系数？,惯性积可正、可负、可为零,I.3 惯性积,坐标系的两个坐标轴中只要有一个是截面的对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。,已知：,求：,( a 和 b 是截面的形心在

3、oyz 坐标系中的坐标 ),I. 平行移轴公式,C,y,z,o,a,b,yc,zc,其中：,IyIyc,在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。,平行移轴公式：,已知：,解：,求：,【例题 5】,【例题6】 求图示截面对与y和z平行形心轴的惯性矩和惯性积。,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47,计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,已知：,求：,I.5 转轴公式主惯性轴,1. 定点

4、转轴公式,Iy1 Iy, Iz , Iyz,转轴公式,定义：若截面对某对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为主轴。,令：,2. 主惯性轴（主轴）,可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。,讨论：主轴方向的惯性矩,3. 主惯性矩,定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。,由：,得：,显然：,主惯性矩的计算公式：,定义： (1)通过形心的主轴称为主形心轴。 (2)对主形心轴的惯性矩称为主形心惯性矩。 (3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称 为主形心惯性平面。,显然：对称轴必定是主形心轴。,4.主形心轴和主形心惯性矩,证明：设通过截面 O 点的y、z 轴为主轴，u、v 为另一对主轴，其中

5、o不是 /2 的整数倍，由转轴公式：,而：,从而：,【例题 5】试证明下列定理：如果通过截面的任一指定点有多于一对的主轴，那么通过该点的所有轴都是主轴。,故过点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。,y,z,o,z1,y1,v,u,推论：,【例题 6】 求图示截面的主形心惯性矩。,计算形心坐标：,8 cm,12 cm,1 cm,1 cm,z,y,o,zc,yc,c,c1,c2,zc,yc,a1,a2,b1,b2,a1 = -1.47 b1 = 2.03 a2 = 2.53 b2 = -3.47,建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：,2、计算对形心轴惯性矩和惯性积,3、计算主形心轴和主形心惯性矩,Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -97 cm4,1、建立参考坐标系，确定整个截面的形心位置 yc 和 zc,2、计算形心轴惯性矩和惯性积 Iyc 、Izc 、Iyczc (用平行轴公式),3、计算主形心轴 的方位角0和主形心惯矩Iy0 、Iz0 （用转轴公式）,小结求主形心惯矩步骤,z,o,Iyc = 279 cm4 Izc = 100 cm4 Iyczc = -97 cm4,c,y,