1.1和1.2(1)线性代数.ppt

1、线性代数 Linear Algebra,课程考核:,平时成绩30%= 期中测试15%+作业5%+考勤课堂提问10% 期末成绩70%,Email：,Tel联系方式：,课程简介,线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科，通过该课程学习，应该掌握必要的线性代数基础，以及代数学的逻辑推理、思维方法和代数运算。,主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术）。,在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分

2、；, 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。比如经济学和管理运筹学中的线性规划等。,线性代数在数学、力学、物理学和技术学科 中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；,学 习 方 法,计算ing,学习的主要困难是太抽象! 线性代数确实是从比较具体的数学到抽象的公理化的数学的一个重要过渡，一个必须通过的难关。,抽象 = ?,抽象 = 难得糊涂,忽略差别,提取共同点!,课程安排,参考书 1卢刚主编，线性代数中的典型例题

3、分析与习题，高等教育出版社 2赵树嫄主编，线性代数，中国人民大学出版社 3同济大学应用数学系编，线性代数，高等教育出版社,线性代数主要研究了三种对象： 矩阵、方程组和向量 这三种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此，只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易.,线性代数的核心研究对象是线性方程组， 线性代数的一个重要任务就是 给出线性方程组的解： 1.给出方程组有解、无解的充要条件； 2.方程组有解时，给出 （1）有唯一解的充要条件及求解的方法； （2）有无穷多解的充要条件及解的结构.,行列式和矩阵是研究线性方程解的主要工具,矩

4、 阵,矩阵是线性代数的一个重要的基本概念和数学工具,它是线性代数的主要研究对象之一，贯穿于线性代数的各个方面，是求解线性方程组的有力工具，也是自然科学，工程技术和经济研究等领域处理线性模型的重要工具。,矩阵论的创立者- 凯莱（Arthur Cayley，18211895） 英国纯粹数学的近代学派带头人。 自小即喜欢解决复杂的数学问题。 1839年，进入剑桥大学三一学院， 在希腊语、法语、德语、意大利语 以及数学方面成绩优异。 1842年，毕业后在三一学院任聘3年，开始了毕生从事的数学研究。 1846年，入林肯法律协会学习并于1849年成为律师，以后14年他以律师为职业，同时继续数学研究。 18

5、63年，因大学法规的变化，被任为剑桥大学纯粹数学的第一个萨德勒教授，直至逝世。,一、引例,.1 矩阵的概念,定义 1.2 由 m n 个数 aij , ( i = 1 , 2 , , m ;,j = 1 , 2 , , n ) 排成的一个 m 行 n 列的数表,称为一个 m n 矩阵.,其中 aij 称为矩阵的第 i 行,第 j 列的元 ( i = 1 , 2 , , m ; j = 1 , 2 , , n ) .,或,二、矩阵的概念,52 矩阵,矩阵,是一个16 矩阵,是一个21 矩阵,是一个11 矩阵,是一个33 矩阵,一般情况下，用大写字母A，B，C，表示矩阵.为了标明矩阵的行数m和列数

6、n,可用Amn或(aij)mn表示.,三、几种特殊的矩阵,(1) 行矩阵和列矩阵,只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A = ( a11 a12 a1n ).,如,只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).,(2) 零矩阵 若一个矩阵的所有元都为零，则称这个矩阵,起混淆的情况下，也可记为 ,为零矩阵， m n 零矩阵记为 m n ，在不会引,所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵,(3) 非负矩阵,称A为n 阶方阵，或n 阶矩阵,行数和列数相同的矩阵称为方阵,(4) 方阵,主对角线,零的方阵称为对角矩阵，如,主对角线上的元不全为零，其余的元全都为,(5) 对角矩阵,为 n 阶对

7、角矩阵, 其中未标记出的元全为零, 即,aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, , n ,对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , , ann ).,(6) 数量矩阵 主对角线上的元全相等的对角矩阵称为数, 其中 c 为常数.,n 阶数量矩阵,量矩阵.,(7) 单位矩阵,主对角线上的元全为 1 的对角矩阵称为单,n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.,位矩阵, 简记为 E 或 I .,如,(8) 三角矩阵 主对角线下 (上) 方的元全为零的方阵称为上 (下) 三角矩阵.,上 三 角 矩 阵,下三角矩阵

8、,注意： 上、下三角形矩阵必为方阵。,(9) 对称矩阵,如果n 阶方阵,则称A为对称矩阵。,对称矩阵,反对称矩阵 ?,(10) 反对称矩阵,如果n 阶方阵,则称A为反对称矩阵。,矩阵的概念,矩阵运算,矩阵相加减,矩阵的数乘,矩阵相乘,方 阵 的 行 列 式,矩阵转置,几种特殊的矩阵,分块矩阵的运算,初等变换 与初等矩阵,矩阵的秩,逆矩阵,行列式的定义,行列式的性质,行列式的展开,行列式的计算,第二节 矩阵的运算,矩阵的加法,数与矩阵的乘法,矩阵的乘法,矩阵的转置,如果两个矩阵A,B有相同的行数与相同的列数,并且对应位置上的元素均相等,则称矩阵A与矩阵B相等, 记作A=B,同型矩阵,定义1.3,

9、=,与,当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.,定义1.4 设A,B都是m行n 列矩阵,把它们对应位置上的元素相加得到的mn 矩阵,称为矩阵A与B的和,记为A+B 即,一、矩阵的加法,例 1,两个矩阵只有当它们的行数相同列数也相同,即当它们是同型的矩阵时,才可以相加.,注意:不是任意两个矩阵都能相加.,加法运算规律 设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, （零矩阵存

10、在）,(4) A + ( -A ) = O （负矩阵存在）.,其中 O 是与 A 同型矩阵;,零矩阵与数 0 在数的加法运算中有相同性质,把矩阵,中各元素变号得到的矩阵,称为A的负矩阵,记作A.即,由此可定义矩阵的减法,定义1.5 以数k乘矩阵A的每个元素得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作kA .即,如,“遍 乘”,kA=O,k=0 或 A=O,二、数与矩阵的乘法,数乘运算规律 设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数, 则：,(1) 1A = A;（单位元存在） (2) k(lA) = (kl) A;（结合律） (3) k(A + B) = kA + kB;（分配律） (4) (

11、k + l)A = kA + lA. （分配律）,设,且,求矩阵 X .,例2,称为矩阵A与B的乘积,记为C=AB或C=AB,三、矩阵的乘法,ml,ln,mn,例4,已知,求 AB,24,43,B和A相乘没有意义,一般地ABBA,定义 如果矩阵A,B 满足AB=BA,则称矩阵A与B可交换.,此时A与B必是同阶方阵.,求所有与A可交换的矩阵.,例6,例7,但 A C,定义了矩阵的乘法运算后, 对于线性方程组,=,m1,m1,=,mn,n1,=,=A,=X,=B,AX=B,即线性方程组,可以用矩阵方程AX=B表示,矩阵的乘法满足以下运算律：,(1) (AB)C=A(BC) 结合律 (2) (A+B)C=AC+BC 右分配律 (3) C(A+B)=CA+CB 左分配律 (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) 关于数因子的结合律,(5) AO=O OA=O,设A为n 阶方阵，定义A 的n 次方为:,矩阵的乘方满足运算律:,注意: 只有n 阶方阵才有方幂.,由乘法满足结合律，可得到方阵的方幂(乘方),设A，B，C均为n 阶方阵，一般地,只有当AB=BA， 即A，B可交换时，上面等式才成立.,四、矩阵的转置,定义 1.7 将矩阵 A = ( aij )mn 的行与列互换，,得到的n m 矩阵，称为 A 的转置矩阵，称为 A,的转置，记作 AT