2018年全国一卷数学(试卷+答题卡+答案解析)

1、理科数学试卷第 1 页共 4 页理科数学试卷第 1 页共 4 页 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 数学试题卷共 12 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦 干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题和答题卷一并交回。 一、选择题

2、： （本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ） 1.设 z=，则z=（） A.0B.? ? C.1D.2 2.已知集合 A=x|x 2-x-20，则C RA =（） A、x|-1x2B、x|-1x2 C、x|x2D、x|x-1x|x 2 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第

3、三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 3S3= S2+ S4，a1=2，则 a5=（） A.-12B.-10C.10D.12 5.设函数 f（x）=x+（a-1）x+ax .若 f（x）为奇函数，则曲线 y= f（x）在点（0，0）处的切线方 程为（） A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x 6.在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB ? ?=（ ） A. 3 4AB ? ?- 1 4AC ?B. 1 4AB ? ?- 3 4AC ?C. 3 4AB ? ?+ 1 4AC ?D. 1 4AB ? ?+

4、3 4AC ? 7.某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A， 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长 度为（） A. 2 17 B. 2 5 C. 3 D. 2 8.设抛物线 C： y=4x 的焦点为 F， 过点 （-2， 0） 且斜率为2 3的直线与 C 交于 M， N 两点， 则FM ? ? FN ? ?=( ) A.5B.6C.7D.8 9.已知函数 f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围 是() A. -1，0）B.

5、0，+）C. -1，+）D. 1，+） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC. ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为 ，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3， 则() A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线 C： x2 3 - y=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点 分别为 M，N. 若OMN 为直角三角形，则MN=() A. 3 2 B

6、.3 C.32 D.4 12.已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面 积的最大值为（） A.B.C.D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 x，y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为. 14.记 Sn为数列an的前 n 项和. 若 Sn= 2an+1，则 S6=. 15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案） 16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是. 理科数学试卷第 3 页共 4 页理科数学试

7、卷第 4 页共 4 页 三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。 17.（12 分） 在平面四边形 ABCD 中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5. （1）求 cosADB； （2）若DC=，求BC. 18.（12 分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到 达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所

8、成角的正弦值. 19.（12 分） 设椭圆 C： ? ? + + y y =1=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（2，0）. （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：OMA =OMB. 20、 （12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验 出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件产品作检验，再根据检验结果决 定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0P1），且各件产品是否为 不合格品相互独

9、立。 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f（P） ，求f（P）的最大值点 。 （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的作为 P 的值，已知 每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔 偿费用。 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21、 （12 分） 已知函数. （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1, x2, 证明

10、：. （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分。请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C的方程为 y=kx+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为+2cos -3=0. （1）求 C的直角坐标方程: （2）若 C与 C有且仅有三个公共点，求 C的方程. 23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知f（x）=x+1-ax-1. （1）当 a=1 时，求不等式f（x）1 的

11、解集； （2）若 x（0，1）时不等式f（x）x 成立，求 a 的取值范围. 姓名 XXXX考生号 XXXXXXXXXXXXXXX 贴 条 形 码 区 考场号 XXXX座位号 XX 数学答题卡第 1页共 2 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答题卡 试卷类型：AB 准考证号： 注 意 事 项 1.答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考 场号和座位号填写在相应位置同时将背面的座位号填涂在指定位置。 2.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用 2B 铅笔，笔记要清楚；选择题填涂时， 必须用 2B

12、铅笔u按图示规范填涂。 3.必须在题目所指定的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。 此栏考生禁填缺考标记缺考考生由监考员贴条形码，并用 2B 铅笔填涂左边的缺考标记 一、选择题 123456789101112 AAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCC DDDDDDDDDDDD 二、填空题 13_14_ 15_16_ 三、解答题 17. （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑

13、色矩形边框限定区域的答案无效 （2） 18. （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学校_班级_姓名_准考证号_座位号_ 密封线 【选考题】 uu 2223 u u 请考生从 22、23 两题中任选一题作答，如果多做则按所 做的第一道题计分。作答时用 2B 铅笔将所选题目对应的题号 涂黑，并且在解答过程中写清每小问的题号 数学答题卡第 2页共 2 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域

14、的答案无效 20. （1） （2） （i） （ii） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 理科数学答案第 1 页共 4 页理科数学答案第 2 页共 4 页 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1C2B3A4B5D6A 7B8D9C10A11

15、B12A 二、填空题 1361463151616 3 3 2 三、解答题 17解： （1）在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB AADB . 由题设知， 52 , sin45sinADB 所以 2 sin 5 ADB. 由题设知，90ADB，所以 223 cos1 255 ADB. （2）由题设及（1）知， 2 cossin 5 BDCADB. 在BCD中，由余弦定理得 222 2cos 2 258252 2 5 25. BCBDDCBD DCBDC 所以5BC . 18解： （1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF 平面PEF. 又BF 平面ABFD，所以平面PEF 平面A

16、BFD. （2）作PHEF，垂足为H. 由（1）得，PH 平面ABFD. 以H为坐标原点，HF uuu r 的方向为 y 轴正方向，|BF uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. 由（1）可得，DEPE. 又2DP ，1DE ，所以3PE . 又1PF ，2EF ，故PEPF. 可得 3 2 PH ， 3 2 EH . 则(0,0,0)H， 3 (0,0,) 2 P, 3 ( 1,0) 2 D ， 33 (1,) 22 DP uuu r ， 3 (0,0,) 2 HP uuu r 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为，则 3 3 4 sin| 43 |

17、| HP DP HPDP uuu r uuu r uuu ruuu r. 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 . 19解： （1）由已知得(1,0)F，l的方程为1x . 由已知可得，点 A 的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以 AM 的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB . 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB . 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为(1) (0)yk xk， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 则 1 2x ，

18、 2 2x ， 直线 MA，MB 的斜率之和为 12 12 22 MAMB yy kk xx . 由 11 ykxk， 22 ykxk得 1212 12 23 ()4 (2)(2) MAMB kx xk xxk kk xx . 将(1)yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 (21)4220kxk xk. 所以， 22 1212 22 422 , 2121 kk xxx x kk . 则 333 1212 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kx xk xxk k . 从而0 MAMB kk，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以OMAOMB . 理科数学试卷第 3 页

19、共 4 页理科数学试卷第 4 页共 4 页 综上，OMAOMB . 20解： （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2218 20 ( )C(1)f ppp. 因此 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp. 令( )0fp，得0.1p . 当(0,0.1)p时，( )0fp；当(0.1,1)p时，( )0fp.所以( )f p的最大值点 为 0 0.1p . （2）由（1）知，0.1p . （）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB，20225XY，即 4025XY. 所

20、以(4025 )4025490EXEYEY. （）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于400EX ，故应该对余下的产品作检验. 21解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx . （）若2a，则( )0fx，当且仅当2a ，1x 时( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递减. （）若2a ，令( )0fx得， 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x . 当 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x U时，( )0fx； 当 22 44 (,) 22 aaaa x 时，( )0fx. 所以

21、( )f x在 2 4 (0,) 2 aa ， 2 4 (,) 2 aa 单调递 减，在 22 44 (,) 22 aaaa 单调递增. （2）由（1）知，( )f x存在两个极值点当且仅当2a . 由于( )f x的两个极值点 1 x， 2 x满足 2 10 xax ，所以 12 1x x ，不妨设 12 xx，则 2 1x . 由于 1212122 12121212 2 2 ()()lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x ， 所以 12 12 ()() 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0 xx x . 设函数 1 ( )2lng xxx x ， 由 （1） 知，( )g x在(0,)单调递减， 又(1)0g， 从而当(1,)x时，( )0g x . 所以 22 2 1 2lnxx x 0，即 12 12 ()() 2 f xf x a xx . 22解： （1）由cosx，siny得 2 C的直角