随机变量的分布函数.ppt

1、3.1 随机变量的分布函数一、分布函数的概念,定义: 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P a X bPX bPX a F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、左连续性：对任意实数x，,一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例1 ：设随机变量X具分布律如右表,解：,试求出X的分布函数。,四、离散型随机变量的分布函数,例1 ： 向a,b

2、区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在a,b区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数 解：,3.2 连续型随机变量,1. 定义:对于随机变量X，若存在非负函数p(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量， p(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为 X p(x) , (-x+),一、概率密度,2. 密度函数的性质 (1) 非负性 :p(x)0，(-x)； (2)归一性:,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,例1：设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,（3）,(4) 若x是p(x)的连续点，则,例2：设随机变量X的分布函

3、数为 求p(x),（5）对任意实数b，若Xp(x)，(-x)，则PX=b0。 于是,例3.已知随机变量X的概率密度为 1)求X的分布函数F(x), 2)求PX(0.5,1.5),二、几个常用的连续型分布,1. 均匀分布 若Xp(x),则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 XU(a, b),对任意实数c, d (acdb)，都有,例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。,2. 指数分布 若 X,则称X服从参数为0的指数分布。 其分

4、布函数为,例6 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布. (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解:,例7:某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。,其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,的正态分布,记为N(, 2)，可表为 XN(, 2).,（1）若随机变量,3. 正态分布,1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称； p()maxp(x) .,（1）正态分布有两个特性：,2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻，。

5、 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布 (1)参数0，1的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,(2)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P504附表3)如，若 ZN（0，1）,（0.5)=0.6915, P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066,(3) (x)1 (x)；,（4）若X ，则 N（0，1）。,推论：若X ，则,例1.设随机变量XN(-1,22), 求P-2.45X2.45=?,例2.设 XN(,2),求P-3X+3,本题结果称为3 原则.在工程应用中

6、，通常认为P|X- |3 1，忽略|X - |3的值.,例3. 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x,y)=PXx, Yy 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,一、 联合分布函数,几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,3.3二维随机变量及其分布,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则 Px1 X

7、x2， y1 y y2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),2、分布函数F(x, y)具有如下性质：,且,(1) 归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意x R, 当y1y2时，F(x, y1) F(x , y2)。,(3)左连续 对任意xR, y0 R,(4)矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2

8、, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。 2)求P0 X2,0 Y3,FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边际分布函数.,FX(x)F (x, +) PXx,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边际分布函数；,3、边际分布函数,求FX(x)与FY(y)。,例2.已知(X,Y)的分布函数为,1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负可积函数P (

9、x, y)，使对(x, y)R2，其分布函数,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，P(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为 (X, Y) P(x, y)， (x, y)R2,二、二维连续型随机变量及其密度函数,(1)非负性： P (x, y)0, (x, y)R2; (2)归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数P(x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外,P(x, y)还有下述性质,(3)若P(x, y)在(x, y)R2处连续，则有,2、联合密度f(x, y)的性质(p120),(4)对于任意平面区域G R2,例3：设,求:P

10、XY,求：(1)常数A；(2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,例4. 设,为(X, Y)关于Y的边际密度函数。,设(X, Y)P(x, y), (x, y)R2, 则称 (p121),为(X, Y)关于X的边际密度函数； 同理，称,3、边际密度函数,说明：,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,例3.设(X,Y)的概率密度为,(1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布，对D内任意区域G，有,4. 两个常用的

11、二维连续型分布,其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,结论：N(1, 2, 12, 22, )的边际密度函数PX(x)是N(1, 12)的密度函数，而PY(Y)是N(2, 22)的密度函数。,故二维正态分布的边际分布也是正态分布。,定义1：称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。,定义2：称随机变量X与Y独立的，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y) 其

12、中 F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数， FX(x)、FY(y)分别是 X、Y的分布函数。,三、随机变量的相互独立性,定理 (p127): 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是， P(x,y)=PX(x)PY(y) 定理（复习）:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j， Pij=PiPj 。,独立性的例子,例：书中（P122）例3.7的两个随机变量是否独立？ 例： 设(X,Y) N(1, 2, 12, 22, )，则X与Y独立充要条件为=0。, 3.4 随机变量函数的分布

13、,1、一般方法(p56) 若Xp(x), - x +, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) PYyP g(X) y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“ 分布函数法”,一、一维连续型随机变量函数的密度函数,例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y 0时,当0y 1时,；当y1时,例2:设X的概率密度为pX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。,2、公式法： 若XpX(x), y=g(x)是单调可导函数，则,其中h(y)为yg(x)的反函数.,例3.已知XN(,2),求,解：,的概率密度,关于x严单

14、,反函数为,故,例4： 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度(a0)。,1、一般的方法：分布函数法 若(X, Y)p (x,y), (x,y)R2, Z=g(X, Y), 则可先求Z的分布函数:,然后再求出Z的密度函数:,二、二维随机变量函数的密度函数,(1)和的分布 已知(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。,2、几个常用形式函数的密度函数,对z求导，即得z密度函数,若(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 则ZXY的密度为：,若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数为,例3.13(P133): 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+

15、Y服从N(0,2)分布。,解：,一般地，设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则,例2：卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,已知(X, Y)p(x, y), (x, y)R2, 求Z 的密度。,(2)商的分布,特别，当X，Y相互独立时，上式可化为,其中pX(x), pY(y)分别为X和Y的密度函数。,三、统计学上的几个常用分布,1、 -分布,若X的密度函数为,则称X服从自由度为n的 -分布.,(2)可加性:若X (n)

16、,Y (m),X,Y独立，则X+Y (n+m)。,2、t分布,若 N(0,1), (n), 与 独立，则 的密度函数为,(常称其为自由度为n的t分布，记为t(n) ),证明：,3、F分布,若 (m)， (n)， 与 独立，则,的密度函数为,称其为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布 记为F(m,n),一.数学期望的定义,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1.定义 若Xp(x), -x,当,为X的数学期望。,则称,3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式,例1. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为,试求E(X).,解,2.几个重要r.v.的期望,（1） 均匀分布U(a, b),（2

17、）指数分布,（3）正态分布N(, 2),例2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a0),3.随机变量函数的期望,定理3.2 若Xp(x), -x, 则Y=g(X)的期望,定理3.3 若(X, Y) p(x, y), -x, -y, 则Z=g(X, Y)的期望,例3 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,例4：设X服从N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),解：,(1) E(c)=c,c为常数; (2)E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y), c,d为常数

18、; (3) 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,4. 数学期望的性质,例5：设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望。,例6： 设随机变量,相互独立，且均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称 EX-E(X)2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,易见，若Xp(x)分布，则,二.方差,2.推论 D(X)=E(X2)-E(X)2.,例1：设随机变量X的概率密度为,1)求D(X), 2)求,若r.v.

19、X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的契贝晓夫 (Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式：,3.契贝晓夫不等式,证明：,(1) D(c)=0。反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1, 且C=E(X);,(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,证明:,4. 方差的性质,(1) 均匀分布U(a, b)：,(2)指数分布：,(3) 正态分布N(, 2),5. 几个重要的r.v.的方差,解：,解:,例3：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，利用契贝晓夫不等式求a,使股价超过1+

20、a元或低于1-a元的概率小于10%。,1.协方差定义与性质,(1)协方差定义:若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 为X与Y的协方差。 易见 COV(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,三.协方差与相关系数,1) COV(X, Y)=COV(Y, X); 2) COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数； 4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); 5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).

21、,(2)协方差性质,例2:设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。,解：,(1) 定义 若r.v. X，Y的方差和协方差均存在, 且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数. 注：1)若记,称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,2.相关系数,2)当XY =0时，称X与Y不相关。,1) |XY|1； 2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； 3) X与Y不相关 XY =0 COV(X, Y)=0,证明：设,(2)相关系数的性质,引理：若(X,Y)是一个二维随机变量,又 则有,因为对一切t,有 ,所以 ,从而二次方程 或者没有实根,或者只有一个重根,由此知它的判别式非正,即有,注：（1） 只是随机变量间线性关系强弱的一个 度量；,（2）当 ，X与Y之间存在线性关系（以概率1）； 当 较大时，说明X与Y线性关系程度较好； 当 较小时，说明X与Y线性关系程度较差； 当 时，X与Y不相关。,以上例5的结果说明了什么？,解:1),2),例5：,问题:“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,例6( p1853.36):设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+