微分形式的基本方程.ppt

1、,B3.1 微分形式的质量守恒方程,B3.1.1 流体运动的连续性原理,不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。,17世纪，哈维发现人体血液循环理论,质量守恒在易变形的流体中的体现流动连续性。,历史上对连续性的认识,古 代，漏壶、水流计时,16世纪，达芬奇指出河水流速与河横截面积成反比,18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程,B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1),B3.1.1 流体运动的连续性(2-2),17世纪哈维：血液循环理论,解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向 流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动,定量测量：每小时流出心脏血

2、液245kg,大胆预言：从动脉到静脉再回心脏,45年后发现：毛细血管的存在,血液循环理论流体连续性原理的胜利,血液循环图,B3.1.2 微分形式的连续性方程,x，y，z方向净流出质量为,因密度变化引起的质量减少为,由质量守恒定律,单位时间单位体积内,B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1),B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2),用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为,或改写为：,左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。,不可压缩流体连续性方程,例B3.1.2 不可压缩流动连续性方程,求： v,解： 由不可压缩流动连

3、续性方程的二维形式,可得,（B3.1.11）,B3.2 作用在流体元上的力,B3.2.1 体积力和表面力,1.体积力,单位质量流体上的体积力,单位体积流体上的体积力,B3.2.1 体积力和表面力(2-1),B3.2.1 体积力和表面力(2-2),2.表面力,表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。,n面积元外法线单位矢,n面积元内法线单位矢,（注意： 和 不一定与 垂直）,B3.2.2 重力场,在直角坐标系的重力场中,称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能,B3.2.2 重力场,B3.2.3 应力场,1.运动粘性流体中的应力状态,B3.2.3 应力场(4-1),表面应力的分量式,B3.

4、2.3 应力场(4-2),作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示,B3.2.3 应力场(4-3),2.静止流体中的应力状态,结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.,B3.2.3 应力场(4-4),3.应力的常用表达式,运动粘性流体中的(平均)压强,在法向应力中把压强分离出来,为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）,压强矩阵 偏应力矩阵,应力矩阵表示为,例B3.2.3 平面线性剪切流中的应力状态,已知：平面线性剪切流,求： 应力状态,切应力,法向应力,（k为常数）,例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-1),已知：二维不可压缩平面流场为,求： 试分析该

5、流场中的应力状态,（k为常数）,流体中任一点的法向应力为,切向应力为,例B3.2.3A 刚体旋转流动:纯旋转(2-2),B3.3 微分形式的动量方程,按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为,各面元上 x 方向表面应力的分量如图示。,B3.3 微分形式的动量方程(2-1),表面力合力 dFsx 由应力梯度造成,x方向的体积力分量为,将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用 和质点导数概念，可化为,同理可得,上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。,B3.3 微分形式的动量方程(2-2),B3.4 纳维斯托克斯方程,斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.流体各向同性；

6、 3.静止时法向应力等于静压强。,均代入粘性流体运动一般微分方程,对牛顿流体（常数）,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-1),不可压缩条件（常数）,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-2),可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(NS方程),NS方程的适用条件是：,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-3),NS方程的矢量式为,NS方程的意义和求解：,物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡,对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。,B3.4 纳维斯托克斯方程(4-4),B3.5 边界条件与初始条件,1.常见边界条件,(1)固体壁面,粘性流体：不滑移条件(图a),无粘性流体：法向速度连续

7、(图b),v = v固,vn = v n固,(2)外流无穷远条件,v = v， p = p,B3.5 边界条件与初始条件 (2-1),(3)内流出入口条件,v = vin (out)， p = p in (out),(4)自由面条件,2.初始条件,定常流时无初始条件,不定常流时给出某时刻的参数值：,v(t0), p (t0), (t0) 等,B3.5 边界条件与初始条件(2-2),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-1),已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡()作定常层流流动，流层深h，自由面上为大气压（p0）。,(a),求： (1) 速度分布 (2) 压强分布 (3) 切应力分布

8、(4) 流量,(b),(c),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-2),因v0，由（a）式,由（c）式,积分两次,流量,速度分布为,切应力分布,例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流(3-3),由边界条件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0,由边界条件(3): y=b ,B3.6压强场,由NS方程,B3.6 压强场,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布,均质静止流体 = 常数，uvw0,在重力场中,上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。,积分可得,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布 (3-1),1.压强分布一般表达式,由N-S方程可得,B3.6.1 静止重力

9、流体中的压强分布(3-2),2.具有自由液面的重力液体 压强公式,为自由面上的压强，h为淹深,(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系,(2)在水平方向压强保持常数,B3.6.1 静止重力流体中的压强分布(3-3),3.等压面,在连通的同种流体中的等压强面称为等压面。,在静止重力流体中的等压面为水平面,h常数,非等压面,11 为不连通液体,22 为不同液体,例B3.6.1 静压强分布图,B3.6.2 压强计示方式与单位,压强计示方式,习惯上取,压强基准,真空度,完全真空,表压强,大气压强,B3.6.2 压强计算方法与单位(2-1),由压强公式,p0提供压强基准,B3.6.2 压强计算方法与单位(2

10、-2),2.压强单位,标准大气压atm(标准国际大气模型),液柱高：,国际单位制（SI）：帕斯卡Pa,毫米汞柱mmHg（血压计）,米水柱mH2O （水头高）,测压管高度 h = pA /g,例B3.6.2 单管测压计（21）,已知：图示密封容器中液体(),在A点接上单管测压计,求： 与测压管高度h 的关系,h为被测点的淹深，称为测压管高度.,例B3.6.2 U形管测压计（22）,求： ( ,表压强 真空压强 绝对压强）,例B3.6.2A U形管差压计,已知：图示盛满水封闭容器高差 , U形管水银测压计中液面差h =10cm,求： ( ,表压强 绝对压强）,B3.6.3 运动流场中的压强分布,压强系数,1.惯性力对压强分布的影响,p 0，v 0为参考值，对外流场取p，v,B3.6.3 运动