2019版高考数学一轮复习 高考必考题突破讲座（五）直线与圆锥曲线的综合应用学案

1、高考必考题突破讲座(五)直线与圆锥曲线的综合应用题型特点考情分析命题趋势1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想.2017全国卷，202017北京卷，182017江苏卷，172017山东卷，211.求直线或曲线所过的定点2求与圆锥曲线有关的定值问题3求与圆锥曲线相关的面积、距离的最值4探求与圆锥曲线有关的存在性问题.分值：1214分1直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长问题(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2 项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用但

2、对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解(2)涉及弦的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不解法简化运算、计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解处理中点弦问题常用的求解之法点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率， 借用中点公式即可求得斜率根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解2范围、最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法，一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以

3、及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解3定点、定值以及探索性问题(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法：引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关(2)解决定值问题一般有两种方法：从特殊情况入手，求出定值，再证明定值与变量无关；直接计算、推理，在推理过程中消去变量，注意设而不求，整体思想和消元思想的运用(3)解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结

4、论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要发散思维，采取另外合适的方法【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解析 (1)椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，c1，又点P(0,1)在曲线C1上，b1，a2b2c22，故椭圆C1的方程为y21.(2)由题意，设直线l的方程为ykxm.代入x22y220中

5、，得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y，得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.由，解得或所以直线l的方程为yx或yx.【例2】 (2017浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解析 (1)设直线AP的斜率为k，则kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线AP与BQ的方程解得

6、点Q的横坐标是xQ.因为|PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，故当k时，|PA|PQ|取得最大值.【例3】 设抛物线过定点A(1,0)，且以直线x1为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围解析 (1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点为F(2x1，y)由抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹C的方程为x21(x1)

7、(2)设MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km，所以my0ky0.由点P在线段BB上(B，B为直线x与椭圆的交点，如图所示)，所以yBy0yB，也即y0.所以m0)的一个焦点为F(1,0)，左右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆的方程；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解析 (1)因为F(1,0)为椭圆的焦点，所以c1，又b23，

8、所以a24，所以椭圆方程为1.(2)若lx轴，则直线l的方程为x1，此时D，C，ABD，ABC面积相等，|S1S2|0.若直线l与x不垂直，设直线方程为yk(x1)(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，将yk(x1)代入3x24y212中，得(34k2)x28k2x4k2120，显然0，方程有根，x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y1|y2|2|y1y2|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|，所以|S1S2|的最大值为.【例5】 (2016全国卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当

9、t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解析 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2，代入3x24y212中得7y212y0，解得y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意知t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t

10、3等价于0，即0.由此得或解得kb0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解析 (1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得故C的方程为y21.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x1，y2)，则x1x2，x1x2.则k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x

11、1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)【例7】 如图，椭圆有两顶点A(1,0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：为定值解析 (1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知得b1，c1，a，椭圆的方程为x21，若lx轴，则|CD|2与已知矛盾，可设直线l的方程为ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立化简得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.|CD|，

12、解得k.直线l的方程为xy10或xy10.(2)证明：依题意，l与x轴不垂直，设直线l的方程为ykx1(k0，k1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，点P的坐标为.由(1)知x1x2，x1x2，且直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y(x1)，将两直线方程联立，消去y，得.1x11，1x2b0)的离心率为，以该椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长等于6.(1)求椭圆C的方程；(2)设过C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数，使|恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解析 (1)e，ca，又2a2c6，则a2，c1，b23，椭圆C的方程为1.(2)由(1

13、)可得F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)若lx轴，则x11时，不妨取y1，|3，；若l与x轴不垂直，则设直线l的方程为yk(x1)代入3x24y2120中整理得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k212)122(1k2)0，x1x2，x1x2，|，又(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2(k21)(x11)(x21)，.综上所述，存在实数，使|恒成立1已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，求实数m的值解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得

14、3(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2，3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得m218，解得m0或8，经检验都符合2(2018陕西部分学校摸底)已知抛物线C：y22px(p0)，焦点为F，O为坐标原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为p.(1)求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：2.解析 (1)直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，F，直线AB(不垂直于x轴)的方程可设为yk(k0)设A(x1，y1)，B(x2，

15、y2)，y2px1，y2px2.直线OA与OB的斜率之积为p，p，2p2，得x1x24.由得k2x2(k2p2p)x0，其中(k2p2p)2k2p2k20，x1x2，x1x2.又p0，p4，抛物线C的方程为y28x.(2)设M(x0，y0)，D(x3，y3)，M为线段AB的中点，x0(x1x2)，y0k(x02).直线OD的斜率为kOD，直线OD的方程为ykODxx，代入抛物线C：y28x，得x3，k22.k20，k222.3(2018安徽十校联考)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1

16、)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解析 (1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将l的方程yxc代入E的方程b2x2a2y2a2b2，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为|AB|x2x1|，即a，故a22b2，c2a2b2b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点N为(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.4(2018广东广州联考)已知点P是圆O：

17、x2y21上任意一点，过点P作PQy轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中曲线E于A，B两点，求AOB面积的最大值解析 (1)设点M(x，y)，P为QM的中点，又PQy轴，P.点P是圆O：x2y21上的点，2y21，即点M的轨迹E的方程为y21.(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)l与圆O：x2y21相切，1，即m2t21.联立消去x，得(t24)y22mtym240.其中(2mt)24(t24)(m24)16(t2m2)64480.y1y2，y1y2.|AB|.将代

18、入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立(SAOB)max1.5(2018湖北七市联考)已知椭圆C：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解析 (1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率.又直线xy20经过椭圆的右顶点(a,0)，a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2，m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m2b0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，AOB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是