17.2一元二次方程的解法

1、21.2.2一元二次方程的解法 -公式法,对于方程,（2）方程两边同除以a，得.,（1）将常数项移到方程的左边，得.,（3）方程两边同时加上_，得,左边写成完全平方式，右边通分，得,（4）开平方,用配方法解,公式的推导很重要,a0, 4a20,当b24ac0时，,公式的推导很重要,特别提醒推导时必须写,一元二次方程,解的情况由,决定:,(1),当,时，,方程有两个不相等的实数根；,(2),当,时，,方程有两个相等的实数根；,(3),当,时，,方程没有实数根.,根的判别式,一元二次方程,的根由方程的系数a，b，c确定,将a，b，c代入式子,当,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,由求根公

2、式可知,一元二次方程最多有两个实数根,一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，,时，,例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, b2-4ac=52-42(-3)=49,1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。, x = = =,即 x1= - 3 ,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,求根公式 : X=,4、写出方程的解： x1=?, x2=?,3、代入求根公式 : X= (a0, b2-4ac0),(a0, b2-4ac0),x2=,填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0,解：a= ，b=

3、，c = . b2-4ac= = . x= = . = . 即 x1 = , x2 = .,3,5,-2,52-43(-2),49,-2,求根公式 : X=,1.用公式法解下列方程： (1) x2 +2x =5,(a0, b2-4ac0),细心填一填：,做一做,例2 用公式法解方程： x2 x - =0,解：方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0,x=,即 x1=2, x2= -,例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x,解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0,a=1，b=-2 ，c=3,b2-4ac=(-2 )2-413=0,x=,x1 = x2 =,=,=,=,=,当 时

4、，一元二次方程有两个相等的实数根。,b2-4ac=0,a=2，b= -3，c= -2.,b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25.,2.用公式法解下列方程：,(4)4x2-3x+2=0,当 时，一元二次方程没有实数根。,b2-4ac0,解：去括号，化简为一般式：,例4 解方程：,这里,方程没有实数解。,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,3、代入求根公式 :,2、求出 的值，,1、把方程化成一般形式，并写出 的值。,4、写出方程的解：,特别注意:当 时,方程无实数解;,3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.,1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= . 2、若

5、关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= .,动手试一试吧！,0,-1或4,1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？,本节课我有哪些收获？,我认为本节课的重点是什么？,想一想 记一记 问一问,我还有哪些疑点？,课下可要多交流呦！,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的根的判别式,通常用表示.,判别式定理,当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根,当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数

6、根,当b2-4ac0时,方程没有实数根,当b2-4ac0时,方程有两个实数根,若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac0,判别式逆定理,若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0,若方程没有实数根,则b2-4ac0,若方程有两个 实数根,则b2-4ac0,即一元二次方程：,当 时，方程有两个不相等的实数根；,当 时，方程有两个相等的实数根；,当 时，方程没有实数根。,当方程有两个相等的实数根， ；,当方程没有实数根， 。,记住了，别忘了!,一元二次方程根的判别式,要点、考点,1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况： (1)当0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当=0时

7、，方程有两个相等的实数根； (3)当0时，方程无实数根. (4)当0时，方程有两个实数根,2.根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面 的知识主要用来求字母取值范围等问题.,1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.,应用1. 不解方程判断方程根的情况：,(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数),(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数),=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2,解：=4 k2-16k+16, 0方程有两个不等实根,解：=m2-4m+8,=m2-4m+4+4

8、=(m-2) 2 +4, 0方程有实根,含有字母系数时，将配方后判断,根的判别式问题,1、不解方程，判断根的情况.,(1)2x2-4x-5=0;,(2)x2-(m+1)x+m=0.,=56,0,方程有两个不相等的实数根；,当m-1=0时，,0,方程有两个相等的实数根；,方程有两个不相等的实数根；,当m-10时，,解：,解：,(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （ ） A 、 m 0 B 、 m 0 C 、 m 0 且m1 D m 0且m1,解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0 解之得，m0且m1，故应选D,D,应用2：

9、根据方程根的情况判断某一字母取值范围,(3) m为何值时,关于x的一元二次方程,m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？,解：=(2m+1)2-4m2,=4m+1,若方程有两个不等实根，则 0,4m+1 0,m -1/4,对吗？,m - 1/4 且m0,注意二次项系数,2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.,例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,根的判别式问题,解：,一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.,k0，,又,= 4-12k,4-12k 0，,解得,当,方程有实数根.,且,k0 时，,问题三 求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m

10、+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根,证明：=-（m+7）2-49（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157,=（m-11）2+36,不论m取何值，均有（m-11）20 （m-11）2+360，即0 不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根,小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式,3、证明字母系数方程有实数根或无实数根,例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.,把判别式配方,根的判别式问题,解：,0,方程有两个不相等的实数根；,问题四：解含有字母系数的方程。,解：,当a=0时，-5x+1=0 x=1.,当a0时，方程为

11、一元二次方程.,相信自己一定行！,(2008年北京市)已知 :关于,的一元二次方程,(1)求证:方程有两个不相等的实数根；,课堂达标检测,【例5】 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程 有两个等根，试判断ABC的形状.,解：利用 0，得出a=b=c. ABC为等边三角形.,典型例题解析,例6.一元二次方程 有两个实数根,则m的取值范围是 _,变,抢答：,2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内） （1） （2） （3） （4） （5） （6）,有两个实数根的方程的序号是（ ） 没有实数根的方程的序号是（ ）,任何一个一元二次方程或者有两

12、个实数根或者没有实数根,a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根,求根公式 : X=,一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 若 b2-4ac0得,这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果,小结:,这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果,二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：,1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :,X=,(a0, b2-4ac0),4、写出方程的解: x1=?, x2=?,这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果,四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不

13、要弄错。,三、当 b2-4ac=0时，一元二次 方程有两个相等的实数根。,当 b2-4ac0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。,当 b2-4ac0时，一元二次 方程没有实数根。,1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、解一元二次方程有哪四种方法？,知识回顾,凡形如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0) 的一元二次方程都可用直接开平方法解.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程; 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解. 公式法是解一元二次方程的通法.,解一元二次方

14、程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流.,公式法是解一元二次方程的通法.,配方法、公式法适用于所有一元二次方程;,因式分解法适用于某些一元二次方程,开平方法适用于缺项的一元二次方程;,课时训练,1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况 是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根,D,2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根,A,3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0,C,4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=1时，方程两根互为倒数 D.当k1/4时，方程有实数根,D,课时训练,5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m0,D,7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= .,2