2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（二）学案 新人教A版必修5

1、1.2 应用举例（二）学习目标1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决测量高度的实际问题.2.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题知识点一仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角如图所示知识点二坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan )，如图题型一测量高度问题例1如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，

2、所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1)m.反思与感悟(1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解(2)与高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解在作示意图时要加强立体思维的锻炼，分清直角等几何元素跟踪训练1(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_答案a，a解析甲楼的高为atan 60a，乙楼的高为aatan 30aaa.(2)如图，地平面上

3、有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB20 m，在A点处测得P点仰角OAP30，在B点处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在RtAOP中，OAP30，OPh.OAOPh.在RtBOP中，OBP45，OBOPh.在AOB中，AB20，AOB60，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh，解得h2176.4，h13 m.题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度

4、追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t，BD10t，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206.BC.又，sinABC，又ABC(0，60)，ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得，sinBCD.又BCD(0，90)，BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即10t.t

5、小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方向角和方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练2甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而d2 Bd120 m Dd220 m答案B解

6、析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1d2.3如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东5B北偏西10C南偏东5D南偏西10答案B解析由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10.4如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从D，C两点测得A点仰角分别为，()，则点A离地面的高度AB等于()A. B.C. D.答案A解析结合图形可知DAC.在ACD中，由正弦定理得，AC.在RtABC中，ABACsin .5如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于()A. B.C.1 D.1答案C解析在ABC中，由正弦定理，AC100.在ADC中，cos sin(90)1.1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式2测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物