2018年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 理

1、8.3空间点、线、面之间的位置关系1.理解空间直线与平面位置关系的定义。2.理解可以用作推理基础的公理和定理。3.我们可以用公理、定理和所得结论来证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。试验场1平面的基本特性和应用平面的基本性质(1)公理1:如果直线上的_ _ _ _ _ _ _ _ _在一个平面上，那么直线就在这个平面上。(2)公理2:只有一个平面通过_ _ _ _ _ _ _ _的三个点。(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有并且只有一条通过该点的公共线。(4)公理2的三个推论推论1:只有一个平面穿过一条直线和这条直线外的一个点；推论2:只有一个平面通过两条_ _ _

2、_ _ _ _ _直线；推论3:只有一个平面穿过两条_ _ _ _ _ _ _ _线。回答：(1)两点(2)不在一条直线上(3)一(4)交叉和平行(1)课本习题改编直线甲、乙、丙平行，但不共面。穿过两条直线的平面数是()A.1 B.3C.6 D.0答：乙(2)课本练习适应 _ _ _ _ _平面可以由每两条相交的三条直线确定。回答：3判断点的共线性和共线：直接方法(直接应用公理或定理)。(1)如图所示，四边形ABEF和ABCD为直角梯形，BC=AD=FAb=90，BC=AD，be=fa，g和h分别为fa和FD的中点。(1)四边形BCHG的形状是_ _ _ _ _ _ _ _；c、d、e、f、g

3、点中，共面的四个点是_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：平行四边形C，D，E，F分析表明：G、h分别是前场和前场的中点，GH 广告。公元前，所以公元前，因此，四边形BCHG是一个平行四边形。从be=FA的中点开始，g为FA，be=fg，因此，四边形BEFG是一个平行四边形，所以EFBG。根据(1)，BGCH，所以EFCH，所以EF和CH共面。和DFH，所以c，D，e和f共面。(2)在立方体ABCD-A1B1C1D1中，对角A1C和平面BDC1在点o相交，交流和平面BDC在点m相交，因此点o和直线C1M之间的关系是_ _ _ _ _ _。答：点0在直线C1M上分析：如图所示，因为A1C平面

4、A1ACC1，OA1C，所以O平面A1ACC1，并且O是平面BDC1和直线A1C的交点，所以O平面BDC1，所以点O在平面BDC1和平面A1ACC1的交点上。因为交流BD=m，所以M。标题1 (1)在以下四个命题中，正确命题的数目是()(1)在四个非共面点中，任意三个点不共线；如果点a、b、c和d共面，那么点a、b、c、d和e共面；如果线甲和线乙共面，线甲和线丙共面，那么线乙和线丙共面；依次首尾相连的四条线段必须共面。A.0 B.1C.2 D.3回答乙解析显然是正确的，可以用反证的方法证明；如果甲、乙、丙共线，那么甲、乙、丙、丁、戊不一定共面；长方体的结构如图所示，显然B和C是不同的平面，所以

5、不正确；中间空间四边形中的四条线段不共面，因此只有是正确的。(2)给定空间四边形ABCD(如图所示)，E和F分别是AB和AD的中点，G和H分别是BC和CD上的点，CG=BC和CH=DC。验证：E、F、G和H共面；三条直线FH、EG和AC共用一个点。证明 连接EF、GH、e和f分别是AB和AD的中点。EFBD.和CG=BC，ch=DC，GHBD,EFGH，E、f、g和h共面。很容易知道FH不平行于直线AC，而是共面的。让FHAC=m，M飞机EFHG，M飞机ABC。和飞机efhg飞机ABC=eg，MEG，FH，如AC共同点。共面、共线和公共点问题的证明(1)证明点或线共面的两种方法：在给定条件下，

6、一个平面由一些线(或点)决定，然后证明其他线(或点)在这个平面上；将所有条件分成两部分，然后分别确定平面，然后证明两个平面重合。(2)证明点的共线性的两种方法：首先从两点确定一条直线，然后证明所有其他点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定的直线上。(3)证明直线公共点问题的常用方法：首先证明两条直线在一点相交，然后证明其他直线通过该点。测试场地2空间中两条直线之间的位置关系(1)教材练习改编众所周知，直线甲和直线乙是平行的，直线丙和直线乙相交，所以直线甲和直线丙之间的位置关系是_ _ _ _ _ _。答案：交集还是相异分析：当直线C在直线A和B确定的平面内时，A和C相交；当C线与A线和

7、B线定义的平面相交时，A线和C线在平面之外。(2)课本练习改编如图所示，在立方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ是不同平面上的直线A1D和AQ的公共垂线，所以直线PQ和BD1的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _(填入序号)(1)平行；不同的面孔；相交但不垂直；垂直。回答：解析：a1db1c，pqb1c. pqa1d和pqpqac的AB1C飞机。ACBD,ACDD1,ACBD1，同样，bd1b1cbd1飞机AB1C，PQBD1.判断两条直线之间关系的错误：对非平面直线的概念，了解甚少。下列关于不同平面上的直线的陈述是正确的。(1)如果a ，b ，那么a和b是面外直线；如果甲和乙不同，乙和

8、丙不同，那么甲和丙就不同；如果A和B在平面上不同，那么A和B在平面外；如果甲和乙在任何一个平面上不同，那么甲和乙就在平面外。回答：分析： 中的两条直线可能平行、相交或在平面外。从平面外直线的定义来看，是正确的。【考点】判断空间中两条直线的位置关系是每年高考的内容，经常被作为一个选项来考查，其中不同平面上的直线和平行关系是考查的重点。主要有以下主张：角度一两条直线之间位置关系的判断标题2 (1)已知A、B和C是三条不重合的直线，并已知以下结论：(1)如果ab和ac，那么bc；如果ab，ac，那么bc；如果ab，bc，那么a C .正确的数字是()A.0 B.1C.2 D.3回答乙【解析】解1:在

9、空间中，如果ab和ac，那么b和c可能平行，相交，或者在平面外，所以 是错误的，显然是正确的。解决方案2:构建长方体或正方体模型可以快速判断， 是错的，是对的。(2) 2017浙江余姚模拟如图所示，在立方体ABCD-A1B1C1D1中，m和n分别是BC1和CD1的中点，那么下面的说法是错误的()A.锰垂直于CC1B.锰垂直于交流电C.锰与硼平行D.Mn与A1B1平行答案 D【解析】如图所示，连接C1D，在C1DB中，MNBD，所以c是正确的；CC1飞机ABCD，BD飞机ABCD，CC1BD，MN垂直于CC1，所以a是正确的；ACBD,MNBD，MN垂直于交流，所以b是正确的；A1B1不同于BD

10、，MNBD，MN和A1B1不能平行，所以d是错的。因此，选择d。借助立方体模型，以立方体为主线，可以直观地感知和理解点、线、面之间的位置关系，从而准确地确定线是平行的、垂直的、平行的、垂直的、平行的、垂直的。角度2非平面直线的判定标题3 (1)在下图中，G、N、M和H是正三棱柱的顶点或边的中点，这意味着直线GH和MN是非平面直线。(填写所有正确答案的序列号) 答案 分析在图1中，直线GHMn；在图2中，G、H和N是共面的，但M是GHN平面，所以直线GH与MN在同一平面之外；在图3中，MG和GMHN相连，因此GH和MN共面；在图中，g、m和n共面，但是h平面GMN，所以GH和MN不共面。因此，在

11、图 中，GH和MN不共面。(2)如果图形是立方体表面上的展开图，则原始立方体中四条线段AB、CD、EF和GH的对数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 3【分析】应注意平面图形折叠前后的相对位置变化，因此AB、CD、EF和GH在原立方体中，显然AB和CD、EF和GH、AB和GH在不同平面上是直线，AB和EF相交，CD和GH相交，CD和EF平行。因此，在不同的平面上只有三对直线。反证法是判断非平面直线的常用方法。首先，假设两条直线不是非平面直线，即两条直线平行或相交。从假设条件出发，经过严格的推理，推导出矛盾，从而否定了假设，肯定了两条直线是非平面的。这种方法常用于

12、判断非平面直线。测试点3不同表面上直线形成的角度标题4如图所示，在底面为正方形且侧边垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2ab=2，则面外直线A1B和AD1形成的角度的余弦为()A.B.C.D.答案 D【解析】连接BC1，容易证明BC1AD1、那么A1BC1是由直线A1B和AD1形成的角度。连接A1C1由ab=1可知。AA1=2，A1C1=，A1B=BC1=，因此，cosa1b C1=。那么直线A1B和AD1之间的夹角的余弦为。主题分歧1将词干条件“aA1=2ab=2”更改为“ab=1”。如果在平面ABCD中只有一个点到顶点a1的距离为1”的点，则问题保持不变。解决方案：因

13、为在平面ABCD中只有一个点与A1的距离为1，那么AA1=1。此时，正四棱柱变成立方体ABCD-A1B1C1D1，从图中可以看出，A1B和AD1形成的角度A1BC1，连接A1C1。那么A1BC1是等边三角形，A1BC1=60，cosA1BC1=，因此，直线A1B和AD1之间的夹角的余弦为。主题散度2将主干条件“AA1=2ab=2”更改为“AB=1，如果由直线A1B和AD1形成的角度的余弦为”，尝试找到该值。解决方案：让=t，然后AA1=tAB。AB=1,AA1=t.* A1C 1=，A1B=BC1，cosA1BC1=， t=3，也就是说=3。主题分歧3如果主干条件“aA1=2AB=2”被更改为

14、“AB=1，并且在平面ABCD中只有一个点到顶点A1的距离为1”，是否有一条直线l穿过顶点a，使得l与边ab、AD和aA1形成的角度相等？如果有，有多少条线？如果不存在，请说明原因。解决方法：根据条件，正四棱柱是立方体。如图所示，连接对角线AC1、显然，AC1和边AB、AD、AA1形成的角度都相等，这与其他立方体的对角线相关。如果BD1是连通的，那么BD1与边BC、BA和BB1形成的角度是相等的，因为BB1AA1、BCAD，因此，由主体对角线BD1和边缘AB、AD和AA1形成的角度相等。同样，由对角线A1C和DB1以及边AB、AD和AA1形成的角度相等，因此对于BD1、A1C和DB1，通过a的

15、平行线都满足，因此可以形成四条这样的直线。【化石为金】用平移法寻找不同平面直线形成的角度的三个步骤(1)第一项工作：根据定义，在不同的平面上画平行线和由直线构成的角；(2)两个证明：即证明所成的角是不同平面上直线形成的角；(3)三寻：解三角形并找出角度。如果角度是锐角或直角，它就是所需的角度；如果得到的角度是钝角，它的余角就是所需的角度。在已知的三棱锥中，a-AB=CD，AB=CD，直线AB和CD形成的角度为60，点m和n分别是BC和AD的中点。找出直线ab和MN形成的角度。解决方案：解决方案1:如图所示，取交流中点p，连接永磁体、永磁体、那么PMAB，pm=ab，PNCD，pn=CD，因此，

16、MPN(或其余角)是AB和CD形成的角度。那么MPN=60或MPN=120。如果MPN=60，因为PMAB，因此，PMN(或其余角)是AB和MN形成的角度。因为ab=CD，pm=pn，PMN是一个等边三角形，所以PMN=60，也就是说，AB和MN之间的角度是60。如果MPN=120，PMN是一个等腰三角形，这很容易知道。所以PMN=30，也就是说，AB和MN之间的角度是30。总而言之，直线AB和MN形成的角度是60或30。解决方案2:当ab=CD时，可以将三棱锥放在长方体AA1BB1-C1CD1D中考虑，如图所示。M因此，直线AB和MN形成的角度是60或30。方法和技巧 1。为了证明“线是共面

17、的”或“点是共面的”，一个平面可以先由一些线或点确定，然后其他的线或点也在这个平面上(即“包含法”)。2.为了证明“点是共线的”，一条线可以被视为两个平面的交点，只要证明这些点是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点是共线的，因为它们在交点上。3.判断空间中两条直线是否为平面外直线的方法(1)判定定理：平面外的点a和平面内的点b之间的连线与平面内不通过点b的直线是不同平面内的直线。(2)反证：证明两条直线不能平行或相交，或者两条直线不能共面，从而可以发现两条直线在平面之外。4.求两条非平面直线所成角度的一般方法是通过平行移动直线将非平面问题转化为共面问题。根据空间等角定理和推论，可以知道非平面直线形成的角度与顶点位置无关。易